四邊形（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編（江蘇專用）

專題07四邊形

1.（2024?江蘇南通?二模）如圖，RtABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,P為邊AC上

的一動(dòng)點(diǎn)，以叢，依為邊作平行四邊形APB。，則線段尸。長(zhǎng)的最小值為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=5,記AB與PQ的交點(diǎn)為。，由平行四邊形的性質(zhì)可得

PQ=2PO,AO=BO=^AB=3,當(dāng)尸。最小時(shí)，尸。最??；過。作OPUAC,證得

一AOPs&ACB,從而利用相似三角形的性質(zhì)求出OP的長(zhǎng)，即可得到PQ的最小值.

【詳解】解：N45C=90。，AB=6,BC=8,,

在RtAABC中，AC=yjAB2+BC2=A/32+42=5，

記AB與PQ的交點(diǎn)為。，

四邊形AM。是平行四邊形，

PQ=2PO,AO=BO=^AB=3,

???當(dāng)P。最小時(shí)，尸。最小，

過。作OP_LAC,

：.ZAP'O=90o=ZABC,

ZP'AO=ZBAC,

AOPs_ACB,

AOOP'nn3OP'

ACCB54

0T

.尸2的最小值為2。尸，=行.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以

及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作高線，構(gòu)造相似三角形.

2.（2024?江蘇南通?二模）四邊形具有不穩(wěn)定性.對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角

度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變.如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角大小，且其各

邊長(zhǎng)度不變，得到四邊形連接AC,若鉆=5,sin則線段AC的長(zhǎng)

為（）

A.4A/3B.8C.4A/5D.10

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。，作DE，4?于點(diǎn)E,過點(diǎn)C'作CNLA5,交A3延長(zhǎng)線于過點(diǎn)。作

,先解RtAG。，求得。G=3,AG=4,再證明ADG絲.DAE(AAS),得AE=OG=3,

D'E=AG=4,再證明四邊形是平行四邊形，得EF=C'D=5,C'F=D'E=4,貝lj

AF=AE+EF=3+5=8,然后用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。必乍于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作交AB延長(zhǎng)線于R,

過點(diǎn)。作,

正方形ABCD,

AD=AB=BC=CD=5,ZZMB=90°,

??.改變正方形ABC。的內(nèi)角大小，且其各邊長(zhǎng)度不變,

Aiy=AB=BC'=C'iy=5,

四邊形是菱形,

AB//CD'

■：sinZDAD^—=-,

AD5

DG=3,

由勾股定理，得AG=JAD、AG2=4,

PG±AD,,D'E±AB,

：.ZAGD=ZAED'=90°,

■：ZDAG'+ZADG=ZDAD1+ZUAE=90°,

ZADG=ZD'AE,

AD=AD'-

一ADG會(huì)D'AE（AAS）,

.,.AE=DG=3,D'E=AG=4,

,/D'ELAB,CFLAB,

/.OEZ/CF9

?四邊形ERC'。是平行四邊形，

EF=C'D'=5,C'F=iyE=4,

：.AF=AE+EF=3+5=8,

?：CFLAB,

：.ZAFC'=90°,

由勾股定理，得AC'=口盧+C'F2=,8?+4、=4后.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，本題屬四邊形綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判

定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?江蘇鹽城?二模）在菱形ABCD中，AB=1,ZZMB=60°,則3D的長(zhǎng)為（）

A.1B.也C.1D.V3

22

【答案】C

【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握菱形

的性質(zhì).連接與AC交于0.先證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求

出8。的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：連接曲與AC交于。

四邊形ABCD是菱形，

AB=AD,

1.?ZZMB=60°,且AB=M）=1,

.△相￡）是等邊三角形，

??.BD=AB=1,

故選：C.

4.（2024?江蘇泰州?二模）如圖，矩形A3CD中，AB=9,BC=12,點(diǎn)R在CD上，且CF=6,

E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AE、E尸上的點(diǎn)，AM=^AE,FN=；EF,則在點(diǎn)

E從3向C運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN所掃過的圖形面積是（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

知識(shí)，分情況進(jìn)行討論，當(dāng)E與B或當(dāng)E與C重合時(shí)找到的位置，結(jié)合圖象即可判

斷跖V掃過區(qū)域的形狀并求出面積，解題的關(guān)鍵是作出正確的圖形.

【詳解】解：如圖所示：連接AF,當(dāng)點(diǎn)E與5點(diǎn)重合時(shí)，AM=|AB,FN=gBF,

FN^-BF,ZABF=ZMBN,

3

:.ABFs2MBN,

2

:.MN//AF//M'N',MN=-AF=M'N',

，四邊形為平行四邊形，

掃過的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅?

同上理可得，AAMM's4ABC,4FNN'sAFBC,

122

W和AW'的星巨離為jAB-gCR=6-4=2,

，線段MN所掃過的圖形面積是4x2=8,

故選：A.

5.（2024?江蘇泰州?二模）如圖，YABCD中，ZBAD=11O°,E,R分別為AB,8的中

點(diǎn)，將YABCD沿直線所折疊，點(diǎn)C落在邊AD上點(diǎn)G處，則/GFD的度數(shù)為（）

A.70°B.55°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的判定以及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根

據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出鉆CD,AB=CD,得出/RW+/G。/=180。，求出NGDP,

由題意可得出跖ADBC,再利用平行線的性質(zhì)得出ZEFC=NGDb=70。，由折疊的性

質(zhì)可得，最后利用平角的定義即可求出NGFD.

【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形,

.ABCD,AB=CD,

.ZBAD+ZGDF=180°

■：ZBAD=110°

：.NGDF=10。，

E,R分別為A3,CD的中點(diǎn),

EFADCB,

：.ZEFC=ZGDF=10°,

由折疊的性質(zhì)可得出NEFC=ZGFE=70°,

GFD=1800-ZEFC-ZGFE=40°,

故選：D.

6.（2024?江蘇連云港?二模）如圖，已知矩形紙片ABCD,其中AB=6,BC=8,現(xiàn)將紙

片進(jìn)行如下操作：

第一步，如圖①將紙片對(duì)折，使AB與。C重合，折痕為所，展開后如圖②；

第二步，再將圖②中的紙片沿對(duì)角線3。折疊，展開后如圖③；

第三步，將圖③中的紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線3。上的點(diǎn)H處，

如圖④.

則七發(fā)的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】過點(diǎn)〃作MG,9于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理求得即=10,由折疊可知

BE=CE=EH=^BC=4,NC=NEHM=90。,CM=,進(jìn)而得出3E=E",ZEBH=ZEHB,

利用等角的余角相等可得=則。欣=切欣，于是可得

DM=HM=CM=；CD=3,由等腰三角形的性質(zhì)可得DH=2DG,易證明.MGDs；灰刀，

利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)〃作于點(diǎn)G,

，?,四邊形ABC。為矩形，AB=6,BC=8,

：.AB=CD=6,ZC=90°,

在Rt8CQ中，BD=y/BC2^-CD2=782+62=10,

木艮據(jù)折疊的t生質(zhì)可得，BE=CE=^BC=4,NC=/EHM=90。,CE=EH=4,CM=HM,

/.BE=EH=4,

△BEH為等腰三角形，ZEBH=NEHB,

,/NEBH+/HDM=90。,/EHB+ZDHM=9伊,

：.ZHDM=ZDHM,

.?.AOHM為等腰三角形，DM=HM9

：.DM=HM=CM=-CD=3,

2

,/MGLBD,

：.DH=2DG,ZMGD=ZBCD=90°,

,/ZMDG=ZBDC,

：.BCD,

DGDMpDG3

??kF即1n

DG=~,

5

1Q

DH=2DG=—.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)推理論證出。0=胸，以此得出點(diǎn)

“為8的中點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

7.(2024?江蘇無錫?二模)如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線44，，乙上,

3

這四條平行線中相鄰兩條之間的距離依次為“、b、c.若：a+6=l,當(dāng)。變化時(shí)，正方形

ABCD面積的最小值為()

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的

最值，過8作E/F4于點(diǎn)E交乙于點(diǎn)尸，過。作OHM于點(diǎn)//交。于點(diǎn)G,根據(jù)正方形的

性質(zhì)可證明DAH緣ABE(AAS),DAH^CDG(AAS),得。=。，CG=HD=a+b,再由勾

股定理得c?=1+i-1。：+/即可求解；熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，過3作所口于點(diǎn)E交。于點(diǎn)尸，過。作。以從于點(diǎn)H交乙于點(diǎn)G,

?/lx//12//13//1^,

/.EFjGH1%,

：.ZAEB=ZDHA=ZCGD=90°,

/.ZABE+ZBAE=9O°,

?「四邊形ABC。是正方形，

/.ZBAD=90°,AB=AD,

./HAD+NBAE=90。,

ZHAD=ZABE,

：.DAH^ABE(AAS),

同理：ZMH與。G(AAS),

/.工DAHAABEACDG,

...a=c,CG=HD=〃+/?,

/.CD2=(6Z+Z?)2+C2,

?.37I

.—Q+Z?=1,

2

CZ)2++〃2,

521

——d—Q+1,

4

744

當(dāng)CD?有最小值不即當(dāng)。變化時(shí)，正方形鉆8面積的最小值為不

故選：A.

8.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，矩形ABC。中，AB=3巫,3C=12,E為A。中點(diǎn)，F(xiàn)

為上一點(diǎn)，將△用'沿跖折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕E尸的長(zhǎng)

是.

【答案】2^/15

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；連接CE,由折疊的

性質(zhì)易得△口?￡1經(jīng)△CGE,則CG=C￡>=3#；設(shè)AF=FG=x,則M=3#-x,

CF=CG+FG=3&x,由勾股定理建立方程即可求得X,再由勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接CE,如圖，

在矩形ASCD中，ZA=ZD=ZB=9O°,AD=BC=12,CD=AB=3屈；

E為AD中點(diǎn)，

...AE=DE=6；

由折疊的性質(zhì)得：AE=GE,AF=GF,ZFGE=ZA=90°,

:.DE=GE,NEGC=ZD=90°；

CE=CE,

RtAC￡>￡^RtACGE,

：.CG=CD=3巫;

設(shè)AF=FG=x,則=AB-AB=3"—尤，CF=CG+FG=3^+x,

在RtAEBC中，由勾股定理得：BF2+BC1=CF2,

即(3面-X『+122=(3>/6+X)2,

解得：x=2娓;

在RtAE4F中，由勾股定理得EF='松+亦=,36+24=2后;

故答案為：2幅.

9.（2024?江蘇無錫?二模）如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=m,點(diǎn)E在3D上（端點(diǎn)

除外），AE=AB,作CFL3D,垂足為R.當(dāng)m=4時(shí)，所的長(zhǎng)是_；當(dāng)3E+D廠>班>時(shí),

m的取值范圍是

7

【答案】—/0.40<m<342

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理.當(dāng)加=4時(shí)，利用勾股定理結(jié)合等積法求

得AG=CT=q,BG=|,利用等腰三角形的性質(zhì)求得BE=2BG=g,據(jù)此求解即可;

27

當(dāng)4?=3,AD=那時(shí)，同理求得8石+。尸=的。，根據(jù)題意列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：作AGLBD于點(diǎn)G,

：.AB=3,AD=4,即=6+不=5,

1.?CFYBD,

???S^ABD=SACBD=/S矩形MCD=~BDxAG=-BDxCF,

2

19

解得AG=CT=M

BG=^AB--AG1=^=DF,

'：AE=AB,

1Q

/.BE=2BG=——

5

/.EF=BE+DF-BD=-

5

A8=3,AD=m,

,?BD=』￥+M=血+1,

3m

同理求得AG=CF=7^U，BG=染DF,

27

BE+DF=.

79+m2

當(dāng)防+ER=BD時(shí)，貝!］囪￥~^=，9+/，

解得機(jī)=3應(yīng)（負(fù)值已舍）,

,/BE+DF>BD,

???0<m<3A/29

故答案為：g；0＜帆＜3夜.

10.（2024?江蘇南京?二模）如圖，在YABCD中，AB=6,8c=8,ZABC=120。，點(diǎn)E是AD

上一動(dòng)點(diǎn)，將..A席沿BE折疊得到當(dāng)點(diǎn)A恰好落在EC上時(shí)，DE的長(zhǎng)為_.

【答案】V37-3/-3+V37

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握折疊的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)C作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

以及已知條件得出ZAT）C=Z/WC=120。，/HDC=60。，進(jìn)而求得DH,HC,根據(jù)折疊的

性質(zhì)得出3C=CE,進(jìn)而Rt.CE”在中，根據(jù)勾股定理求出E3即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作S_LAD交相）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

AEpH

\/\\：?在YABCD中，AB=6,BC=8,ZAfiC=120°,

Bc

?.ZADC=ZABC=120°,ZHDC=60°,CD=AB=6,AD-=BC=8,

/.DH=CDg:osZHDC=1x6=3,

在Rt_CDH■中，CHZcb1-DH。-寸=3下)，

ABE沿BE折疊得到ABE,當(dāng)點(diǎn)A恰好落在EC上，

??.ZAEB=ZCEB,

又AD〃BC,

二.ZEBC=ZAEB,

:.NEBC=NCEB,

/.BC=CE=8,

在RtCE“中，EH=^CE2-CH2=,-(36j=屈,

DE=EH—DH=E—3,

故答案為：V37-3.

11.（2024?江蘇泰州?二模）如圖，E、F、G、H分別是YABCD各邊的中點(diǎn)，YABCD的

【分析】本題考查中點(diǎn)四邊形，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理,

結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，推出SAEH=SBEF=SCFG=DHG~ZABCD，進(jìn)而得到四邊

O

形EFGH的面積為gsABCD即可.

=

【詳解】解：連接AC,8Z),則：SABD=SABC=SADC=SBCD

E.F、G、H分別是YABCD各邊的中點(diǎn)，

：.EH//BD//FG,EH=FG^-BD,EF//AC//HG,EF^HG=-AC,

：./\AEH^/\ABD,

?c_J_Q——K

,?0AEH-4-ABD-8?MCD，

同理：S.BEF=S.CFG=DHG=gSABCD，

?四邊形EFGH的面積=SABCD-§AEH-SBEF~.CFG~,DHG=萬ABCD=6；

故答案為：6.

12.（2024?江蘇連云港?二模）如圖，正方形的邊ABC。長(zhǎng)為4,E是的中點(diǎn)，P是DE

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸GLDE,分別交AD,8c于點(diǎn)RG.當(dāng)OG+￡F取最小值時(shí)，則

EF的長(zhǎng)是.

H

【答案】皆L

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得DA與AE,再由勾股定理求得??；過G作GM,仞于

G,,證明DAEMGMF得DE=GF,再將尸G沿FE方向平移至E",連接G"，當(dāng)。、G、

“三點(diǎn)共線時(shí)，EF+ZX7=GH+DG=7汨的值最小，此時(shí)△￡>￡//為等腰直角三角形，得

NH=NGFE=45。,進(jìn)而得△尸正是等腰直角三角形，再證」MEs-OPp得出

PF=PE，DE=還,進(jìn)而即可得解.

33

【詳解】過G作GM_LAD于"，貝！==ZDAE=ZGMF=90°,

正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,

/.AB=DA=4,ZDAB=9Q°,

,「￡是A5的中點(diǎn)，

/.AE=—AB=2,

2

;DE=^AD2+AE2=742+22=2A/5，

,/FG1DE,

：.ZADE+/DFP=ZDFP+/FGM=90。,

：.ZADE=ZFGM,

/.DA?,GMF(ASA),

/.DE=GF,

將FG沿莊方向平移至石"，連接GH,則/G=E",/DEH=90。,FE=GH,

D

當(dāng)。、G、H三點(diǎn)共線時(shí)，"+Z）G=G"+DG=。"的值最小,

此時(shí)MDEH為等腰直角三角形，

/.NH=NGFE=45。，

莊是等腰直角三角形,

/.FP=PE,

,：ZFDP=ZEDA,ZDPF=ZDAE,

?...DAEs&DPF,

.DP_FP

一~DA~~\E"

.DPFP

?■一,

42

/.DP=2FP=2PE9

...pp=PE=-DE==^~,

33

22

?1.FE=GH=y/FP+PE

3

故答案為：巫.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定

和性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是通過平移變換確定

EF+DG取最小值的位置.

13.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，在矩形A3CD中，AB=8,BC=1,M、N分別是邊

A3上的點(diǎn)，將四邊形沿。W翻折至四邊形E7MV,點(diǎn)E落在BC邊上，且BE=4,

則八施的長(zhǎng)為

【答案】I

【分析】本題主要考查矩形與折疊的問題、勾股定理、解直角三角形，設(shè)EP與。交于

點(diǎn)G,由折疊可知￡>"=刊1公4￡>=收=7,AN=EN,ZA=ZNEF=90°,ZD=ZF=90°,再

根據(jù)同角的余角相等以及等角的余角相等可得NCEG=ZFMG=ZBNE,再設(shè)AN=EN=x,

則BN=8-x,在RtBEN中,根據(jù)勾股定理列出方程，求出NE=5,則

43

sinZCEG=sinZFMG=sinZBNE=-,cosZCEG=cosZFMG=cos/BNE=-,

55

CE

在RtZ\C￡G中，GE=------------=5,因止匕/G=￡F—GE=7—5=2,在Rt.A/FG中，

cosZCEG

FG

MG=.PM=MG-cosNPMG,以此計(jì)算即可求解?

smZFMG

【詳解】解：如圖，設(shè)石尸與交于點(diǎn)G.

?「四邊形ABC。為矩形，AB=8,BC=7,

AD=BC=y9AB=CD=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

將四邊形4加W沿的V翻折至四邊形ETMV,

/.DM=FM,AD=EF=J,AN=ENZA=NNEF=90。ND=NF=90。

ZBNE+ZBEN=ZBEN+ZCEG,ZCEG+ZCGE=90°,NFMG+NFGM=90。

：.ZBNE=ZCEG,

'：ZCGE=ZFGM,

...ZCEG=ZFMG=ZBNE,

,/BE=4,

CE=BC—BE=7-4=3,

AN=EN=x,則_BN=AB_4V=8_x,

在RtABEN中，BN?+BE2=EN2，

/.（8-X）2+42=X2,

解得：x=5,

/.NE=5,

在硒中，sinZBNE=-=-,cosZBNE=-=-,

EN5NE5

43

sinZCEG=sinZFMG=sinZBNE=一,cosZCEG=cosZFMG=cosZBNE=-,

55

在RtZ\C￡G中，

CE3V

GE=-----------=—=5

cosZCEG3,

5

.\FG=EF-GE=l-5=2,

在RtMEG中，

“FG25

sinZFMG42，

5

533

FM=MGcos/FMG=

252

3

故答案為：y.

14.（2024?江蘇連云港?二模）如圖，矩形A￡B。的對(duì)角線AB、OE交于點(diǎn)、F,延長(zhǎng)4。到

點(diǎn)C,使OC=CM,延長(zhǎng)3。到點(diǎn)。，使?！?gt;=08,連接AD、DC、BC.

⑴求證：四邊形ABC。是菱形.

⑵若OE=20,ZBCD=60。,則菱形A8CD的面積為

【答案】⑴見解析

（2）2006

【分析】(1)先證明四邊形鉆。是平行四邊形，再證明四邊形ABC。是菱形即可；

(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得出得出AB=OE=20,根據(jù)菱形性質(zhì)得出得出45=8。=。。=">=20,

AC1BD,證明△BCD為等邊三角形，得出血=BC=20,根據(jù)勾股定理得出

COABC—BO?=，求出AC=2CO=20&,根據(jù)菱形的面積求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）證明：：OC=OA,DO=BO,

四邊形ABC。是平行四邊形，

四邊形岫。是矩形，

.,.ZAOB=90°,

：.BD±AC9

???四邊形ABC。是菱形；

（2）解：四邊形極。是矩形，

AB=OE=20,

四邊形ABC。是菱形，

/.AB=BC=CD=AD=20,AC1BD,

,/ZBC?=60°,

ABCD為等邊三角形，

/.BD=BC=2G,

,/AC1BD,

：.BO=-BD=1Q,

2

?e?CO=JBC2-BO2=104，

AC=2CO=20y5,

S菱3=；ACxBO=200反

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

15.（2024?江蘇蘇州?二模）如圖，將矩形ABCD沿著所折疊，使得點(diǎn)A落在8邊上的

點(diǎn)M處（點(diǎn)"不與C、。重合），點(diǎn)3對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N,AB=2,AD=4.

⑴當(dāng)=1時(shí)，求E尸的長(zhǎng)；

⑵設(shè)求四邊形至FE的面積S與/的函數(shù)表達(dá)式.（不要求寫出自變量/的取值范

圍）

【答案】⑴跖=乎；

1291

（2）S=-t--t+4.

【分析】（1）設(shè)DE=x,BF=y,根據(jù)矩形性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱性質(zhì)，得。E=￥；

O

17

根據(jù)相似三角形性質(zhì)，通過證明△DEMSACMG,得GM=話;再通過證明

ADEMsANFG,得NG=萼；求得＞=抹，即*=?,作EHJLBC于H,根據(jù)勾股定理

計(jì)算即可得到答案；

（2）設(shè)。E=x,BF=y,根據(jù)矩形性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱性質(zhì)，得天=字；根據(jù)

O

相似三角形性質(zhì)，通過證明得GM=（產(chǎn)+16）（2-）；再通過證明

16-/

ADEMsANFG,得NG=￡］；求得y,一甘巴根據(jù)梯形面積公式計(jì)算，即可得到

Io—8

答案.

【詳解】（1）解：：AB=2,DM=1,

CM=2-1^1,

^DE=x,BF=y,

根據(jù)題意，得AE=EM,BF=FN=y,

'：AD=4,

：.AE=EM=4-x9

???矩形紙片ABC。，

/.ZC=ZD=ZEMN=90°,

222

DEDM=EM,即12+/=（4一同2,

x=—,BPDE=—,

88

17

EM=AE=4-x=—,

8

,/NDME+NCMG=90。，/DME+/DEM=90。，

Z.CMG=ZDEM,

/.ADEM^ACMG,

GM_1

GMCM即互飛,

~EM~~DE

GM*

,/ZNGF=ZCGM,

ZNGF+ZBMG=9Q0,

/.ZNGF=ZDME,

/.ADEM^ANFG,

NG_FN

~DM~~DE即1一”，

T

.NG喂

,/GM+NG=MN=AB=2,

聶*2

13

13即BF飛，

…y=￥=

作EH，BC于H,

矩形紙片ABC。,

/.ZA=ZB=90°,

???四邊形ABHE是矩形,

...BH=AE=—17

89

FH=BH-BF=~,

2

.1.EF=^FH2+EH2=—;

2

(2)解：：AB=2,DM=t,

.CM=2—t,

設(shè)=BF=y,

根據(jù)題意，得AE=EM,BF=FN=y,

'.1AD=4,

AE=EM=4—xf

矩形紙片ABCD,

NC=ND=NEMN=90°,

?DE-+DM2=EM2,即/+產(chǎn)=(4一力二

??X-

NDME+/CMG=900,/DME+NDEM=90。，

/CMG=ZDEM,

...ADEM^ACMG,

GM2-t

GMCM

BP?+16-Ie-?,

~EM~~DE

88

(產(chǎn)+16)(2-.)

GM=

16—產(chǎn)

ZNGF=ZCGM,

ZNGF+ZBMG=90°9

/.ZNGF=ZDME,

/.ADEM^/\NFG,

NGy

NGFN即丁一4F,

~DM~~DE

8

8yt

NG=

16—產(chǎn)

1.1GM+NG=MN=AB=2,

...(d+16)(2-f),8"

―16-216-產(chǎn)-，

,t2-4r+16

.7=---,

2

.o1/、t—4z+16r+16121A

??S——(BF+AE)xAB----------1------——t—/+4,

2'78842

故答案為：S=：/_；f+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱、梯形的知識(shí);

解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、勾股定理、相似三角形、軸對(duì)稱的性質(zhì)，從而完成求解.

16.（2024?江蘇鹽城二模）如圖，已知.ABCD（AD>AB）,連接AC.

⑴請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）

作AC的垂直平分線MN,分別交AD,3cAe于點(diǎn)般，N,O,連接CM和AV；

⑵在（1）的條件下，若四邊形AMCN的周長(zhǎng)為16,求的長(zhǎng).

【答案】⑴詳見解析

（2）4

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的作圖和性質(zhì)，全等三角形的

判定和性質(zhì)，證明四邊形AWCN是菱形是解題的關(guān)鍵.

（1）按照垂直平分線的作圖方法作圖即可；

（2）證明AOM^tCON（AAS）,則AM=QV.又由AM〃OV即可證明四邊形AMOV是平

行四邊形.由垂直平分線段AC得到AM=CM,即可證明四邊形AMCN是菱形，根

據(jù)菱形的周長(zhǎng)即可求出AM的長(zhǎng).

【詳解】（1）如圖所示：

(2)四邊形ABCD是平行四邊形,

ADCB,AO=OC.

：.ZAMO=NCNO.

又；ZAOM=ZCON,

AOM^CON(AAS),

：.AM=CN.

又AM//CN,

-四邊形AMGV是平行四邊形.

1?1上W垂直平分線段AC,

AM=CM.

■■■四邊形AMCN是菱形，

四邊形AMGV的周長(zhǎng)=4AM=16.

.1.AM=4.

17.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，在四邊形ABCD中，ZB^ZD,E為BC上一點(diǎn),AE,DC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)RZDAE=ZBEA.

⑴求證：ZBAF=NF；

CF1

⑵若《=巳直接寫出AC即和△ZMF的周長(zhǎng)之比?

ADJ

【答案】⑴見解析

⑵L

'14

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判

定與性質(zhì)，掌握這些判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）由㈤4E=ZBE4得位）〃3C,由平行線的性質(zhì)結(jié)合ZB=ZD,得AB〃DF,再由平

行線的性質(zhì)即可得結(jié)論；

（2）由（1）知，四邊形ABCD是平行四邊形，則有CD=AB；易得.CEFsaDAF,由相

似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：ZDAE=ZBEA,

.-.AD//BC,

:.ZD=ZBCF；

NB=ZD,

:.NB=NBCF,

:.AB//DF,

:.ZBAF=ZF；

(2)解：由(1)知，AD//BC,AB//DF,

四邊形ABCD是平行四邊形,

:.CD=AB；

CF1

AB-3?

CF1

CD3

從而好:

AD//BC,

:ACEFsADAF,

CF1

FD4

「CEF和3的周長(zhǎng)之比為;.

18.（2024?江蘇徐州?二模）如圖,已知YABCD,請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（保留

作圖痕跡，不寫作法）.

圖1圖2

⑴在圖1的BC邊上作點(diǎn)P,使44P=?4；

(2)在圖2的3C邊上作點(diǎn)P,使PC+PD=AD.

【答案】⑴畫圖見解析

⑵畫圖見解析

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì).

(1)在BC上截取線段3P,使得BP=AB,連接轉(zhuǎn)即可；

(2)連接班)，作線段3D的垂直平分線交3C于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)尸即為所求；

NBAP=NBPA；

證明：,??線段8。的垂直平分線交BC于點(diǎn)P,

；.BP=PD,

：.PD+PC=BP+PC=BC,

■：YABCD,

AD=BC,

：.PC+PD=AD.

19.(2024?江蘇揚(yáng)州?二模)如圖，已知CE、CF分別是平行四邊形ABCD的邊A3、AD上

的高，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，且CE=C尸.

F

⑴求證：四邊形ABC。是菱形；

⑵當(dāng)tan/CAE=；,CE=4時(shí)，求菱形ABC。的邊長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

⑵菱形的邊長(zhǎng)為三

【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握

這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的面積公式，結(jié)合CE=CF,即可證明=根據(jù)一組鄰

邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

CF1

（2）設(shè)CB為x,根據(jù)tanNCAE=F=q,CE=4,即可算出AE=12,在Rf3CE中，根據(jù)

AE3

勾股定理列方程即可求出冗=2三0，即可求解；

【詳解】（1）CE、C方分別是平行四邊形ABC。的邊AB、相＞上的高，

??SABCD=?CRSABCD=，CE,

ADCF=ABCE,

,/CF=CE,

AD=AB,

YABCD是菱形.

(2)設(shè)CB為x,則BEnAE-ABuAE'-CSud-x,

CE1

...tanNCA.E==—,CE=4,

AE3

/.AE=n,

在RMCE中，BC2=EC2+BE1,

BPX2=(12-X)2+42,

解得：X言20,

故菱形ABCD的邊長(zhǎng)為手.

20.（2024?江蘇鹽城?二模）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，且隹=AD.

/D

BEC

⑴尺規(guī)作圖：在BC的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)尸，使"平分/ZME；（不直接作的角平

分線，保留作圖痕跡，不寫作法）；

⑵連接試判斷四邊形A￡7刃的形狀，并說明理由.

【答案】⑴見解析；

⑵四邊形但D是菱形，理由見解析.

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

（1）以E為圓心，E4為半徑作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接。尸即可；

（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】（1）解：圖形如圖所示：

(2)結(jié)論：四邊形AEFD是菱形.

理由：四邊形ABCD是矩形，

AD//BF,

:.ZDAF=ZAFC,

AF平分—ZME,

??.NDAF=NFAE,

:.ZFAE=ZAFC.

,\EA=EF,

AE=AD,

.\AD=EF9

二.四邊形AEFD是平行四邊形,

AE=AD,

，四邊形A￡FD是平行四邊形.

21.（2024?江蘇無錫?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,點(diǎn)E、R分別在AD、BC

上，將四邊形ABFE沿著直線所翻折，使得點(diǎn)3落在0c邊上（不與端點(diǎn)重合），落點(diǎn)

記作夕，點(diǎn)A的落點(diǎn)記作A.。是政的中點(diǎn)，連接夕。并延長(zhǎng)，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

G,連接3'E,B'F,GF,BG.

、A'

D

⑴求證：OG=OB'；

（2）若tan/GR4=x,設(shè)四邊形GFBE的面積為S,請(qǐng)求出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】⑴見解析

（2）S=12/+12

【分析】（1）根據(jù)矩形ABCD和折疊，得到ZA=ZA，=90o,ZABC=NF?4=90。，繼而得到

AGB'F,結(jié)合OE=OF,證明」GOE絲右？。尸，得證OG=O3'；

（2）連接。6班'，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到QB=O3',q=q'結(jié)合儀?=0￡得至1」

OB=OG=OB',得至I」ZGBB'=90°,根據(jù)矩形的性質(zhì)，得至UNGBA=ZB'BC,結(jié)合tanZGBA=x,

Hr

則tanNGBA=tan287^="=無，得到EC=6x,設(shè)=利用勾股定理，平行四

nC

邊形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和矩形ABCD,

ZA=ZA=90°,ZABC=ZFB'A'=90°,

ZA+ZFB'A=180°,

：.A'GB'F,

/.NEGO=NFB'O,

ZEGO=ZFB'O

,：*NEOG=NFOB',

OE=OF

：.GOE瑪B，OF(AAS),

OG=OB'；

(2)連接08,83',

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到03=03',FB=FB,

■：GOE^B'OF(AAS),

：.OG=OB'?

：.OB=OG=OB',

ZOGB=ZOBG,NOB'B=ZOBB',

1--Z.OGB+ZOBG+NOB'B+NO3B'=180。，

ZGBB'=90°,

在矩形ABCD中，ZABC=90°,

：.ZGBA=ZB'BC

tanZ.GBA=tanABrBC

tanZGBA=x,BC=6,

Hr

：.tanNG8A=tanN8'BC=——=無，

BC

：.B'C=6x,

設(shè)FB=FB'=m,

則FT=BC—EB=6―相，

?BF2=FC2+B'C2,

.1.m2=(6x)2+(6-7M)~,

解得m=3x2+3，

OE=OF,OG=OB',

■■■四邊形EGEB，是平行四邊形，

EGFB',

r

■：ZA=ZA=90°,AB=5^=4,

.平行四邊形GF?E的高為4,

?1.四邊形GFBE的面積為S=B'F.A'B'=12/+12.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，矩形的性質(zhì)，折疊

的性質(zhì)，正切函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正切函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

22.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，在菱形A3co中，對(duì)角線AC與3D相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：四邊形AC即是平行四邊形；

⑵若比）=8,AC=6,求tan/CDE的值.

【答案】⑴見解析

（2）1

【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，銳角三角函數(shù)；

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得4）〃3C,AC1BD,OA=OC,OB=OD,再根據(jù)DEL叨得

DE//AC,由此即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)DE〃AC得NCDEnZAC。，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得（M=OC=3,OB=OD=4,在

Rt_OCD中得XanZACD=器=g，由此可得tan/CDE的直

【詳解】(1)證明：四邊形ABC。是菱形，

AD//BC,ACLBD,OA=OC,OB=OD,

DELBD,

■.DE//AC,

又AD//BC,AD//CE,

，四邊形ACE。是平行四邊形；

(2)解：DE//AC,

:.ZCDE=ZACD,

BD=8,AC=69

：.OA=OC=-AC=3,OB=OD=-BD=4,

22

在RtOCD中，tanZACD=^=g,

4

/.tanZCDE=tanZACZ)=—.

23.（2024?江蘇連云港?二模）如圖，ABC中，AB=AC=10,AD13C交BC于。點(diǎn)，E

點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別過。，E兩點(diǎn)作線段AC的垂線，垂足分別為G,R兩點(diǎn).

⑴求DE的長(zhǎng)；

⑵求證：四邊形。及6為矩形.

【答案】⑴5

⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)題意可得DE是三角形中線，即可求解；

（2）欲證明四邊形。屏6為矩形，只需推知該四邊形為平行四邊形，且有一內(nèi)角為直

角即可.

【詳解】（1）AB=AC=10,ADIBC

，。點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，

DE=-AC=5

2

（2）證明：AB=AC=10,AD1BC

，。點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

E點(diǎn)是的中點(diǎn)，

DE//AC

■：DG±AC,EF.LAC

：.EF//DG

■.四邊形。班G為平行四邊形

1.?ZEFG=90°

四邊形DENG為矩形

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性

質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

24.（2024?江蘇揚(yáng)州?二模）如圖，中，。是邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A

作8C的平行線交BE的延長(zhǎng)線于尸，且AF=C￡>,連接CF.

⑴求證：7AEF4DEB；

⑵若N&LC=90。，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴見解析

⑵四邊形是菱形，證明見解析

【分析】（1）由AF〃BC得ZAFE=ZEBD,繼而結(jié)合ZE4F=ZEDB、AE=D￡即可判定全

等;

（2）根據(jù)/BAC=90。，且AD是邊上的中線可得AD=CD,結(jié)合四邊形ADCV是平行

四邊形可得答案.

【詳解】（1）解：.E是AD的中點(diǎn),

.\AE=DE,

AF^BC9

,\ZAFE=ZDBE,ZEAF=ZEDB,

AAEF^AZ)EB(AAS)；

(2)四邊形4XT是菱形.

AF//CD,AF=CD,

，四邊形4XT是平行四邊形，

AEF^DEB

:.AF=BD

AF=CD

:.BD=CD

ABAC=9Q°,A。是3C邊上的中線,

DC=AD,

，四邊形ADCV是菱形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵.

25.（2024?江蘇南通?二模）小明正在思考一道幾何證明題：如圖1,在正方形旗CD中，

點(diǎn)E,E在對(duì)角線AC上，連接DE,DF,BE,BF,且DE=D尸.求證：四邊形3FDE是菱

形.

小明是這樣想的：

第一步：由DE=DF,DA=DC,ZDAE=ZDCF^45°,可證明△￡>&!絲△?《，得AE=CF；

第二步：連接(如圖2),交AC于點(diǎn)。，可證得Ofi=OD,OE=OF,進(jìn)而可得四邊形

加DE是平行四邊形；

第三步：由DE=DF,四邊形3FDE是平行四邊形，可得四邊形3FDE是菱形.

請(qǐng)指出小明想法中的錯(cuò)誤之處，并按小明的思路，寫出正確的證明.

【答案】小明的第一步有錯(cuò)，正確證明見解析

【分析】由DE=DF,可得NDEF=NDFE,則NAED=/。尸C.如圖2,連接B。，交AC于

點(diǎn)。，由正方形ABC。，可得05=8,OA=OC,ZDAE=ZDCF,證明DEA^^DFC(AAS),

則AE=CF,OE=。尸.進(jìn)而可證四邊形97圮是平行四邊形，由DE=D尸，可證四邊形即DE

是菱形.

【詳解】解：小明的第一步有錯(cuò)，用"SSA"不能證明△￡?￡<也

證明：DE=DF,

ZDEF=/DFE,

：.ZAED=ZDFC.

如圖2,連接交AC于點(diǎn)。，

正方形ABCD,

OB=OD,OA=OC,ZDAE=-ZDAB=45°,^DCF=-^DCB=45°,

22

/DAE=/DCF.

在△AED和△CFD中，