山東省棗莊市滕州市2023-2024學年高二年級上冊期末數(shù)學試題（解析版）

2023-2024學年山東省棗莊市滕州市高二（上）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知A,B,C,。是空間中互不相同的四個點，則AB——AC=（）

A.ADB.CDC.BCD.DA

【答案】B

【解析】

【分析】運用向量加法法則、減法法則計算即可.

【詳解】AB-DB-AC=AB+BD-AC=AD-AC=CD

故選：B.

2.直線氐+y+2=0的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】先求出直線斜率，再由斜率與傾斜角的關系可求得結果.

【詳解】直線百無+y+2=0的斜率為-石，設直線的傾斜角為戊，

則tane=—G，0°<?<180°,所以a=120°.

故選：B

22

3.橢圓土+乙=1的長軸長是（）.

94

A.3B.6C.9D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程有。=3,即可確定長軸長.

【詳解】由橢圓方程知：a=3,故長軸長為6.

故選：B

4.已知圓G：（x—2y+（y+4）2=16,圓。2：/+/+2%—3=0,則兩圓的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關系求解.

【詳解】因為圓G：(x—2p+(y+4)2=16,圓。2：(%+1)2+/=4,

所以|CC|=J(T—2y+(—盯=5,4+鳥=6,國一周=2,

所以禺—鳥|<|GCj<K+鳥,

所以兩圓相交，

所以兩圓的公切線的條數(shù)為2,

故選：B

5.在等差數(shù)列｛4｝中，/+%+%=3。，則%+延的值為()

A.20B.15C.10D.5

【答案】A

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質計算即可得.

【詳解】在等差數(shù)列｛?！埃?，。3+。4+。5=3。4=30,則%=10，因此％+。6=2。4=20.

故選：A.

22

6.若離心率為百的雙曲線C:工-谷=1(。>0,6>0)的一條漸近線與直線x+沖+1=0垂直，貝0〃=

ab

()

A.±1B.土乎C.±2D.+75

【答案】C

【解析】

b

【分析】根據(jù)雙曲線離心率求得2,再根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線1+加y+l=0垂直列出

a

因為其中一條漸近線與直線X+“y+l=O垂直，則±2?-1,得加=±2.

故選：C

7.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為用,=100-3”，若〃=。必+24+4,當數(shù)列也｝的前幾項和5“取最大值時,

n=()

A.29B.32C.33D.34

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得邑9<53，5<即可得到結果.

34S29,

,100

【詳解】因為d=aaa,令=100-3”>0,貝n!J“<——)

nn+2n+43

所以當〃W33時，an>0,當〃之34時，aH<0,

則b29—。29'。31'。33〉0，'30—。30.。32'。34<0，

a

%=3l'。33,。35<。’&2=。32-。34-。36>°>

則當〃W29時，〉0，當〃234時，bn<Q,

所以只需要考慮S29,532,S33,S34的大小即可；

S32—S29=&()+41+&2=l°x4x(—2)+7xlx(—5)+4x(—2)x(—8)=—51<0，則S32<S2<)>

邑3—S29=&o+&1+。32+033=—51+1X(—5)X(—[1)=4>0，則S^t)<S33,

S34—S29=b3Q+831+832+"33+%=4+(—2)(—8)(—14)<0,則534<529,

所以當〃=33時，S"取最大值.

故選：C

8.已知三棱錐尸—A3C中，AP=BC=BP=AC=5A3=PC=2,則異面直線AP與BC所成角的

余弦值為()

A.1B.旦C.同D.2

3333

【答案】A

【解析】

【分析】對棱相等，根據(jù)意將圖形補全成一個長、寬、高分別為后，1,行的長方體，再建系寫出坐標

利用向量法即可得出答案.

【詳解】如圖，將三棱錐尸-A3C補成長方體，設長寬高分別為“,仇c,

/+=4a=A/2

則</+人2=3,解得。=1

b2+c1=3c=A/2

以尸為原點，分別以PE,PF,PH為x,%z軸建立空間直角坐標系,

A（l,0,V2）,P（0,0,0）,B（1,A/2,0）,C（0,A/2,V2）,

AP=（-l,0,-V2）,BC=（-1,0,72）,

設直線AP與BC所成角為e,

IIAPBC|l-2l1

cos6-cosAP,BC\=----n----------=/_L——\.

11AP^BCy/l+2xy/M.3

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.在等差數(shù)列｛4｝中，已知。4=8,卬2=-8，5〃是其前〃項和，則下列選項正確的是（）

A.d=—2B./=。

C,兀=54D.邑〉區(qū)

78

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得為與d的方程組，可求出為與d，再結合等差數(shù)列通項公

式和前n項和公式可判斷各選項.

+3d—8[a,=14

【詳解】由%=8,%2=-8,可得｛。，解得<C，

3+112=-8[d=-2

「.4=4+7d=14+7x(—2)=0,故A,B正確；

「15x(15-1)皿…口

又Si5=15qH----------------d=0故C錯慶；

同理，87=56,58=56,

.?.邑=8,邑=7,則邑〉園，故D正確.

7878

故選：ABD.

10.已知直線/:丘一y—左+1=0(左W1)與。。：/+>2=9交于A,B兩點，貝U()

A.直線/恒過定點(1,1)

B.使得AB=472的直線/有2條

C.QAJ3面積的最大值為&I

D.。。在A,8兩點處的切線的交點在直線x+y—9=。上

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用直線方程判定其過定點可判定A,利用弦長公式結合直線過定點可判定B,利用三角形面積公

式可判定C,利用切點弦方程可判定D.

【詳解】對于A,直線方程可化為/"(X—1)—(y―1)=0,顯然x=lny=l,

即直線/恒過定點(1,1),故A正確；

對于B,由=472，圓的半徑為3,得弦心距d='32—(2⑹2=1，

結合圖形及A易知，滿足題意得弦所在直線為％=1或y=l,即直線/斜率左=0,或不存在，由題意/斜

率存在，故只有1條滿足題意，故B錯誤；

對于C,設弦心距為d,則.。鉆的面積+2,

結合A可知上《，儼+仔=J],由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當[=拒時，=714,故C正確；

對于D,設兩切線交點為月(不，兀)，則。、P、43四點共圓，以OP為直徑，

故其圓心為半徑為,該圓方程為(X—申)+(y—=芯等，

與必+y2=9作差得切點弦AB的方程為xox+yoy=9,

又A3過點(1/)，所以/+%=9=>x+y=9,

即交點尸在直線x+y=9上，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，已知正方體ABC。-4與。|。的棱長為I,點〃為CG的中點，點P為該正方體的上底面

A.滿足CP//平面BDAX的點p的軌跡長度為0

B.存在唯一的點尸滿足APIPM

C.滿足MP_LAM的點P的軌跡長度為正

4

D.存在點尸滿足E4+?M=2

【答案】ABC

【解析】

【分析】在正方體中，證得平面BD&//平面5c。，得到CP//平面求得點P的軌跡長度，可

判定A正確；以D為原點，建立空間直角坐標系，結合向量的垂直的坐標表示，列出方程，可判定B、C

3

正確；求得點/關于平面的對稱點為MIO』,]),結合%+?揚之對，，可判定D錯誤.

【詳解】對于A,如圖(1)所示，在正方體中，可得BD//BQI，AD//BC，

因為用2<z平面BDu平面所以用￡>]//平面

同理可證：用C//平面BD4],因為用2cBic=耳，且42,4。u平面與C。

所以平面8￡典//平面與CR,又因為CPU平面與CD],所以CP//平面

所以點尸在線段瓦，上運動，所以點尸的軌跡長度為4〃=0,所以A正確；

對于B,以。為原點，以所在的直線分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標系，如圖（2）所

不，

可得A(1,O,O),M(O/」)，設P(x,y,D，KO<x<l,O<y<l,

2

則AP=(x-1,y,l),MP=(x,y-l,^),AM=(-1,1,1),

由APMP=(x_l,y,l)-(x,y-l,1)=x2-x+y-y+|=(x-1)2+(x-1)2=0,

解得x=^,y=L,所以存在唯一的點使得AQIPM，所以B正確；

2222

--111

對于C,由MPJ_AW,KTMAM-AfP=(-1,1,-)-(%,y-l,-)=-x+y-l+-=0,

224

3

即丁=工+—,因為0<x<l,0<y<l,

31

當X=O時，可得y=—；當y=l時，可得x=—；

-44

31

所以點尸的軌跡為線段EF,且石(0,—,1),F(-,l,l),

■44

則但司=j(；)2+(；)2+02=乎,所以C正確；

3

對于D,如圖(2)所示，點〃關于平面ABC。的對稱點為“'(0，1，萬)，

當點A,P,”三點共線時，9+911=如+/^'最短，

所以PA+PM2AM'=』仔+12+>2,

所以不存在點尸使得Q4+PM=2,所以D不正確.

故選：ABC.

圖⑵

12.如圖，尸為拋物線。：丁2=21（〃>0）的焦點，O為坐標原點，過y軸左側一點P作拋物線C的兩條

切線，切點為A、B,PA，P3分別交y軸于〃、N兩點，則下列結論一定正確的是（）

B.ZAFB+ZAPB=180°

、\OM\J_FM\0M|\MA\

D.—

\ON\~\FB\\0N\\MP\

【答案】AD

【解析】

TT7T

【分析】求得過點A的切線方程，得至！J《“左”=-1，得出=5和NPNP=5,可判斷A正確;

\OM\_FA

當點P在準線片/上‘求得"+->?！膳卸˙錯誤；由嬴=而,求得為%=-。2,

|。叫2

帶和制可判定D正確.

可判定c錯誤；分別求得

【詳解】設拋物線。：丁2=2。彳5>0）上一點M（后,為），貝I」需=2力0,

過點加（毛,為）的切線方程為丁一%=左0-玉））,

聯(lián)立方程組［:］一/)，整理丁一修樣+才3

pP

令A=0,解得％=上，即過拋物線上一點的切線的斜率為工,

M%

對于A中，設42,%),5(三,%),(％力>2)，則過點A的切線方程為y='x+g,

2p2pM2

令X=0,可得,即M

又由拋物線C:>2=2px的焦點為嗎,0),所以L=一放，

71

則左“尸心戶=一1，所以即NPAfP=5，

JT

同理可得NPNE=—,則尸,N,F,M四點共圓，所以NAPB+/MFN=71,所以A正確;

2

對于B中，若點尸在準線x=上，可直線A3的方程為為y="(x—f),

此時直線過焦點/(4,0),則NAEB=71,所以NAEB+NAPB>71,所以B錯誤；

yL+p

X+P

對于C中，由山吟),N吟,可得概二卡,胃I22P2y；+p2

yl,py；+p?’

p

-2-----1---

2p2

若必也」E4jy；_y~+p'.vv22_22

右|ON廠陷「可,一0一寸〒，則%為+XP-fy2fp-

所以此時直線AB過焦點/，

設直線y=k(x—3),代入拋物線V=2X，可得/一"丁一02=0,

2k

設方程的兩根為%,%，可得

即當直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標之積為-°2,

而直線A5不一定過拋物線的交點，所以C錯誤;

\OM\可得網(wǎng)

對于口中，由網(wǎng)=A

%|ON「y；

聯(lián)立方程組:；解得.當”暫，即。節(jié),胃）,

42

%1X

|AMF_4p2了一寸（y；+"）=y；斫110Ml\MA\

,所以D正確.

IMPF一心片一￡（y；+p2）-￡'所"|0N|\MP\

4.24

故選：AD.

【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略:

1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離（拋物線上的點到焦點

的距離、拋物線上的點到準線的距離）進行等量轉化.如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)

系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋

物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化.

2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結合根與系數(shù)的關系，

合理進行轉化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導數(shù)在解答中的應用.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在等比數(shù)列｛4｝中，若%+%=2,%+。4=4,則％+4=

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質直接得出答案即可.

【詳解】在等比數(shù)列｛4｝中，q+4，%+%，%+%也成等比數(shù)列，

因為q+2=2,%+%=4,

所以%+4=8,

故答案為：8

14.過定點(1,2)且與直線x-3y+1=0平行的直線的一般式方程為

【答案】x—3y+5=0

【解析】

【分析】利用兩直線平行時方程的特點直接可寫出所求直線.

【詳解】過點(1,2)且與直線％—3y+l=0平行的直線方程為：(x—1)—3(y—2)=0,即x—3y+5=0.

故答案為：x-3y+5=O

15.在三棱錐尸—ABC中，N在線段Q4上，滿足尸A=3PN,M是平面ABC內(nèi)任意一點,

4PM=5PN+xPB+2PC，則實數(shù)彳=.

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量運算、四點共面等知識求得正確答案.

【詳解】依題意，4PM=5PN+xPB+2PC，

5r151-x1

則+二P3+—PC=9x—PA+二尸3+—PC

4424342

5一x_1_.

=-PA+-PB+-PC,

1242

5x11

由于A,5,四點共面，所以一+二+—=l,x=—.

12423

故答案：—

22

16.已知雙曲線二-斗=1(。＞0乃＞0),過點42〃,0)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為M,直線AM

ab

與雙曲線的左支交于點N,且2AN=5A"，則雙曲線的離心率為

【答案】叵

2

【解析】

【分析】由己知求出點M的坐標，由2AN=5AM求出點N的坐標，代入雙曲線方程即可求得離心率.

b

【詳解】不妨設雙曲線的漸近線為y=—九,則直線AM為y=—@(x—2a),

ab

b2a3

y-—x%=―

a__,2a32a2b

由＜得，《，即nnx

y=-^(x-2a)2a2bcc

y丁

r\3Q27

設點N(xO,%),則A7V=(x-2a,y0),AM=(3一2a,二-），

0cc~

因為2AN=5AM，

3_5a3-3ac2

2(%-2。)=5嚀-2。)

所以解得二「，即N（『竽,

RR2a2b

2%=5?——

c

V2,5〃3—3〃02、2(號y

由點N在雙曲線不代入得(H)

aa2

整理得￡=",貝|6=邊5,

a"42

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

2

17.已知正項數(shù)列｛4｝滿足a；+域+a；+…+4=號烏〃wN*

（1）求｛4｝的通項公式;

1

(2)記用=，數(shù)列｛〃｝的前前項和為s”,求S".

4+%

【答案】(1)an=4n

(2)Sn=4n+i-i

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)列通項和前〃項和公式求解；

(2)由(1)得到包=而1—血，再利用裂項相消法求解.

【小問1詳解】

2

解：因為。；+遍+。；+…+q

當時，a：+a；+d+…+a；T=fcd^zl("eN*)，

兩式相減得片=〃，因為?！啊?,可得%=J7,n>2,

令〃=1,可得%=1,滿足

所以｛4｝的通項公式為4=冊；

【小問2詳解】

l

bn-r,——^^4n+l-4n，

7n+\n+l

所以S〃=y/l,—1+V3—V2+—V3H----Fy/n+1—y[n=y/n+1—1.

18.已知以點A(—L2)為圓心的圓與直線/:x+2y+7=0相切.過點3(—2,0)的直線「與圓A相交于

M,N兩點.

(1)求圓A的標準方程；

(2)當|MN|=2ji3時，求直線/'的方程.

【答案】(1)(%+1)2+(y-2)2=20；

(2)%=—2或3x—4y+6=0.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線與圓相切，由點到直線距離公式可得半徑，結合圓心坐標即可得解;

(2)對直線/'的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式以及弦長公式即可求解.

【小問1詳解】

設圓A的半徑為廣，由題意知，

-1+4+7I-廣

圓心到直線/的距離為d=25，即廠=26，

Vl2+22

所以圓A的方程為(x+l)2+(y-2)2=20；

【小問2詳解】

當直線/'與x軸垂直時，直線方程為1=—2,即x+2=0,

點A到直線的距離為1,此時|M/V|=2j20—l=2M，符合題意;

當直線/'與x軸不垂直時，設/':，=左(工+2),即6—y+2左=0,

取肱V的中點。，連接A。，則AQ_LMN,

因為|肱V|=2jl?,所以|A0=j2O—19=1,

.,\k-2\

又點A到直線I'的距離為|AQ|=,

人—23

所以+^=1,解得k=2,所以直線/'方程為3x—4y+6=0.

心+14

綜上，直線/'的方程為％=—2或3x—4y+6=0.

19.已知數(shù)列｛。"｝滿足q=1,a2=2,an+2-?n=3-

⑴求出"；

(2)當〃為奇數(shù)時，求數(shù)列｛4｝的前幾項和S,.

【答案】(1)=3?-1

⑵s'

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件4+2-4=3,得出數(shù)列。2，。4,…，。2”為等差數(shù)列，即可求出結果;

（2）根據(jù)條件得出=3附-2,由（1）知出“=3"-1,再利用分組求和即可求出結果.

【小問1詳解】

因為。“+2-4=3,所以數(shù)列。2，%，…，。2〃構成首項為。2=2,公差為3的等差數(shù)列，

所以4n=a2+（?-l）-3=3zz-l.

【小問2詳解】

由4+2—4=3,所以數(shù)列％,。3,…，。2”一1構成首項為4=1，公差為3的等差數(shù)列，得到

a筋_]=O[+（?-1）-3=3^-2,

設〃=2左—1,

則$24-1=（/+/++a”_i）+（。°+%+*+%左-2）=（1+4+7++3k—2）+（2+5+8++3k—4）

J（l+3"2）+（I）（2+3左-4）=3心3左+1,

22

〃+1-AL大皿Qc+?3zi2+1

又左=——，所er以HI“為奇數(shù)時，S,=3（——）2-3（——）+1=------.

2"224

20.在四棱錐P—A5CD中，底面ABC。是正方形，側棱垂直于底面ABC。，PD=DC,E是PC的

中點，作跖，F(xiàn)5于點R求證：

（1）Q4//平面EDB；

（2）平面EFD

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設DC=a,連接AC交2。于點G,連接EG,求得向量

UUIU_________

PA和EG，結合PA=2EG和線面平行的判定定理，即可證得瓶//平面￡/史.

（2）由（1）求得PBDE=0,得到QBLQE，根據(jù)跖，依，結合線面垂直的判定定理，即可證得

QB_L平面EFD.

【小問1詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，設DC=a,連接AC交8。于點G,連接EG,

可得0（0,0,0）,A（Q,0,0）,P（0,0,6Z）,E0,|,|,

因為底面A8CC是正方形，所以G是此正方形的中心,

所以石G=

故點G的坐標為5,5,oJ,爭。苫

又因為Bl=（a,O,—a）,所以24=2EG，所以B4//EG.

而EGu平面￡DB,且B4a平面￡DB,所以B4//平面￡DB.

【小問2詳解】

解：由（1）得5（a,a,0）,所以PB=（a,a,-a）,DE=吟外

可得PBDE=0+±-——=0,所以P3LOE，即PBLDE.

22

又由所，依，且EFcDE=E，所以平面EED.

21.如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，平面PBC1平面ABCD,O,E分別是BC,PA

的中點，平面戊經(jīng)過點。，D,E與棱尸3交于點尸，PB=PC=CD=2.

(2)求直線A廠與平面CDE所成角的余弦值.

【答案】(1)2

e3麗

(ZJ-------------

10

【解析】

【分析】(1)過點P作直線/與BC平行，則〃/AD,所以/、A￡＞共面，延長OE與/交于點G,連接

OG,OG與依的交點即為點產(chǎn)，再利用三角形相似計算可得；

(2)連接0尸，取AD的中點M,連接即可證明。尸，平面A3CD,建立空間直角坐標系，利用

空間向量法計算可得.

【小問1詳解】

過點尸作直線/與5C平行，則〃/AD,所以/、A。共面,延長。E與/交于點G,

連接。G,OG與網(wǎng)的交點即為點產(chǎn)，

因為A3CD為正方形，。是的中點，

所以AD=205,又WBC,所以〃/AD,

因為E是E4的中點，所以PG=AD,則PG=2O5,

PF

又_PGFsBOF,所以——=——=2.

FBOB

GPI

燙F\【小問2詳解】

D

連接0尸，取A￡＞的中點M,連接OM,因為PB=PC=CD=2,

所以「。工BC,且PO7PC?-oc?=5

又平面PBC1平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=L3C,OPu平面「5C,

所以OP,平面A3CD,

C（0,l,0）,D（2,l,o）,4（2,—1,0）,E，,—

如圖建立空間直角坐標系，則0(0,0,0),

I22J

\33J

所以C￡=1,一：，￥,AF=-2,^-,-旺,CD=（2,0,0）,

122J13

m-CD=2x=0

設平面CDE的法向量為加=（羽y,z）,貝卜取根=（o』,6）,

m-CE=x——y+z=0

22

4

|m-AF|

所以kosm,A@=3-M

|m|-|AF|21

設直線AF與平面CDE所成角為9,則sin。=巫，所以cos6=2叵，

1010

所以直線,與平面CDE所成角的余弦值為獨。.

10

>

y

X22

22.已知橢圓。：J+y=1（。〉6〉0）過點4—2,—1）,焦距為2癡.

a

（1）求橢圓c的方程;

（2）直線/：