一元一次不等式組中的整數(shù)解問題（解析版）

專題17一元一次不等式組中的整數(shù)解問題(解析版)

第一部分典例剖析

類型一正(負)整數(shù)解問題

比+53久+2

1.不等式丁-1>一§一的非負整數(shù)解是

思路引領(lǐng)：先求解一元一次不等式，然后再求出其符合條件的非負整數(shù)解即可.

解：原不等式可化為：3(x+5)-6>2(3x+2)

3x+15-6>6x+4

移項得：6x-3x<15-6-4,

5

合并同類項、化系數(shù)為1得：

非負整數(shù)解是0,1.

故答案為：0,1.

總結(jié)提升：考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵.解不等式應(yīng)

根據(jù)不等式的基本性質(zhì).

2.(2022秋?鹿城區(qū)校級期中)定義新運算：a※6=1-必，則不等式xX2>-3的正整數(shù)解為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)新定義的運算得出1-2x>-3,求出1-2x>-3的正整數(shù)解即可.

解：根據(jù)新定義的運算方法可得，xX2>-3,即1-2x>-3,

解得x<2,

而無<2的正整數(shù)為1,

故答案為：1.

總結(jié)提升：本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，理解新定義的運算是正確解答的關(guān)鍵，求出一元一次不

等式的解集是得出正確答案的前提.

3—4%

<6一下―,并寫出它的所有整數(shù)解.

g、-3)<3(l-x)+1

思路引領(lǐng)：分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小

小無解了確定不等式組的解集，再寫出它的所有整數(shù)解.

解:{II-

解不等式①得x>-3,

解不等式②得xW2,

故原不等式組的解集為-3<xW2.

則它的所有整數(shù)解為-2,-1,0,1,2.

總結(jié)提升：本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

類型二整數(shù)解的個數(shù)問題

4.（2020春?南崗區(qū)校級月考）不等式萬+11的自然數(shù)解有（）個.

A.2B.3C.4D.5

思路引領(lǐng)：不等式去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1,求出解集，確定出自然數(shù)解即可.

解：去分母得：x+222x-2,

移項合并得：-x2-4,

解得：xW4,

則不等式的自然數(shù)解為0,1,2,3,4共5個.

故選：D.

總結(jié)提升：此題考查了一元一次不等式的自然數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

2%—15x+l

5.（2021春?仁壽縣校級期末）不等式一y-—-^―W1與不等式5x-1<3（x+1）所組成的不等式組的整

數(shù)解的個數(shù)是（）

A.0B.2C.3D.4

思路引領(lǐng)：分別求出不等式組中的兩個不等式的解集，利用數(shù)軸找出其解集的公共部分，進而得出不等

式組的解集，再得出整數(shù)解即可.

解：由題意得，

15%-1<3（%+1）@'

解不等式①得，X2-1,

解不等式②得，x<2,

把兩個不等式的解集在一條數(shù)軸上表示如下：

-I■-L—11_$-?_

-3-2-101?34

所以不等式組的解集為-lWx<2,

不等式組的整數(shù)解有-1,0,1,共3個，

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，理解整數(shù)解的定義，掌握一元一次不等式組的解法是

正確解答的前提.

類型三整數(shù)解的和的問題

（2x>3x—2

6.（2022秋?明山區(qū)校級月考）不等式組：2久—112的所有整數(shù)解的和為（）

A.0B.2C.-2D.-1

思路引領(lǐng)：分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分求出不等式組的解集，進而求

出整數(shù)解之和即可.

由①得：x<2,

由②得：X》-2,

不等式組的解集為-2Wx<2,即整數(shù)解為-2,-1,0,I,

則所有整數(shù)解的和為-2-1+0+1=-2.

故選：C.

總結(jié)提升：此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵.

7.（2022?興寧區(qū)校級開學(xué)）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為-5,則加的取值范圍為

（）

A.--3或3<%W6B.--3或3Wa<6

C.-6^m<-3D.-6<m^-3

思路引領(lǐng)：分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解的情況列出關(guān)于機的不等式，解之即

可.

m

解：由3x-加<0,得：X<y,

又x>-4,且不等式組所有整數(shù)解的和為-5,

...不等式組的整數(shù)解為-3、-2或-3、-2、7、0、1,

mm

-2<y<-1或

解得-6<niW-3或3V加W6,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

%+12冗+2

8.(2017春?鹽城期末)不等式〒>一§--1的所有正整數(shù)解的和為10.

思路引領(lǐng)：先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集找出所有正整數(shù)解即可.

解：去分母，得：3(x+1)>2(2x+2)-6,

去括號，得：3x+3>4x+4-6,

移項，得：3x-4x>4-6-3,

合并同類項，得：-x>-5,

系數(shù)化為1,得：x<5,

不等式所有正整數(shù)解得和為：1+2+3+4=10,

故答案為：10.

總結(jié)提升：本題考查了不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解的應(yīng)用，解此題的

關(guān)鍵是求出不等式的解集.

類型四最大或最小整數(shù)解問題

f2(x+3)-4<0

9.(2019?蘭陵縣一模)一元一次不等式組1%+1>%-1的最大整數(shù)解是()

A.-1B.0C.1D.2

思路引領(lǐng)：先求出每個不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可.

f2(x+3)-4<00

解：傳②

解不等式①得：xW-1,

解不等式②得：x<2,

不等式組的解集為xW-1,

???不等式組的最大整數(shù)解是-1,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)不等式的解集找出不等

式組的解集是解此題的關(guān)鍵.

3%—1x—1

10.(2019春?全椒縣期中)不等式飛一-亍21的最小整數(shù)解是.

思路引領(lǐng)：先求出不等式的解集，即可得出答案.

解：6x-2-5x+5210

3x-1x-1

.?.不等式飛--《一21的最小整數(shù)解是7,

故答案為：7.

總結(jié)提升：本題考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出不等式的解集.

第二部分專題理優(yōu)別綜

選擇題

1.不等式2x-5<5-2x的正整數(shù)解有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

思路引領(lǐng)：先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集找出即可.

解：\'2x-5<5-2x,

.'.2x+2x<5+5,

A4x<10,

.,.x<2.5,

不等式的正整數(shù)解有1,2共兩個，

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解的應(yīng)用，解此題的

關(guān)鍵是求出不等式的解集.

2x+a12

2.（2020春?涪城區(qū)校級期末）不等式一y-25久+工的最小整數(shù)解是3,則a的取值范圍是（）

313133

A.-^<a<5B.Ca2一茄D.aW-五

思路引領(lǐng)：解不等式求得不等式的解集，根據(jù)不等式的最小整數(shù)解是3,得到一個關(guān)于a的不等式組，

從而確定a的取值范圍.

2x+a1212—10a

解：由一|—2萬為+^得，x>-----------，

??,不等式的最小整數(shù)解是3,

12-10a

：.2<---<3,

31

解得一記44〈丁

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，根據(jù)不等式的最小整數(shù)解確定關(guān)于。的不等式組是解

題的關(guān)鍵.

3.（2021春?淅川縣期末）若不等式組｛打的最小整數(shù)解是°,最大整數(shù)解是6,則a+6=（）

A.2B.1C.4D.0

思路引領(lǐng)：分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小

小找不到確定不等式組的解集，繼而得出其最大、最小整數(shù)解，從而得出答案.

解：解不等式5-x>2,得：x<3,

解不等式2x+3>0,得：x>-1.5,

則不等式組的解集為-1.5<x<3,

其最小整數(shù)解。=-1,最大整數(shù)解6=2,

a+b=-1+2=1,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大

取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

4.（2018?長樂區(qū)模擬）不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則該不等式組的整數(shù)解是（）

-4-3-2-101234

A.2B.1和2C.2和3D.1和2和3

思路引領(lǐng)：根據(jù)數(shù)軸得到兩個不等式解集的公共部分即可.

解：由數(shù)軸知該不等式組的解集為1<XW3,

所以，該不等式組的整數(shù)解是2、3,

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查的是解一元一次不等式組，根據(jù)數(shù)軸得到兩個解集的公共部分是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2021春?招遠市期末）如果關(guān)于x的不等式組只有5個整數(shù)解，那么a的取值范圍是（）

A.5Wa<6B.5caW6C.4Wa<5D.4caW5

思路引領(lǐng)：由關(guān)于x的不等式組只有5個整數(shù)解知不等式組的整數(shù)解分別為0、1、2、3、4,據(jù)

此可得答案.

解：..?關(guān)于x的不等式組只有5個整數(shù)解,

...此不等式組的整數(shù)解分別為0、1、2、3、4,

：.4^a<5,

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定具體的整數(shù)

解，繼而確定。的范圍.

二.填空題

6.（2019春?鄧州市期中）不等式3x-2W5x+6的最大負整數(shù)解為.

思路引領(lǐng)：解不等式求出x的范圍即可得.

解：：3x-2W5x+6,

3x-5xW6+2,

-2xW8,

貝！I龍2-4,

???不等式的最大負整數(shù)解為x=-1,

故答案為：尤=-1.

總結(jié)提升：本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需

要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變.

7.（2017春?龍泉驛區(qū)期末）不等式2無+3<0的最大整數(shù)解是.

思路引領(lǐng)：求出不等式的解集后，然后在解集范圍內(nèi)找出最大整數(shù)解即可.

解：2x+3<0,

2x<-3,

3

x<--）

最大整數(shù)解是-2,

故答案為-2.

總結(jié)提升：本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，求出解集是解答本題的關(guān)鍵.解不等式應(yīng)根據(jù)不等式

的基本性質(zhì).

三.解答題

f3（x-l）<5%+2

8.（2020春?大興區(qū)期末）解不等式組也久_7<_工％+1，寫出它的正整數(shù)解.

1-2

思路引領(lǐng)：分別解出兩個不等式的解集，再根據(jù)解集的規(guī)律：大小小大中間找確定不等式組的解集，然

后再確定它的正整數(shù)解.

f3(x-l)<5x+20

解：(|x-7<-1x+l@

?5

解①得：

解②得：xW4,

5