相似三角形的常見模型（10大題型）（解析版）

專題22相似三角形的常見模型（10大題型）

旨【題型目錄】

題型一A字型相似

題型二8字型相似

題型三AX型相似

題型四母子型相似

題型五三角形內(nèi)接矩形相似

題型六射影定理相似

題型七旋轉(zhuǎn)相似

題型八k字型相似

題型九折疊相似

題型十動態(tài)相似

J【經(jīng)典例題一A字型相似】

【模型解讀】

①如圖，在△NBC中，點。在48上，點E在NC上，DE//BC,則

ADAEDE

下一旅一瓦?

②模型拓展1：斜交N字型條件：NC=/ADE,圖2結(jié)論：“DE~AACB；

反4字型（不平行,

….工1=上皿ADACCD

③模型拓展2：如圖，ZACD=ZB^AADC^AACB^——=—=——

ACABBC

1.（2023秋?江蘇無錫?九年級江蘇省天一中學?？茧A段練習）如圖，在。8C中，NB/C=45。，BD、CE

分別是NC、4B邊上的高，連接DE,若8c=2,則。石的長為（）

A.V5B.|C.V2D.y

22

【答案】c

【分析】根據(jù)垂直及各角之間的關系可得與△/配＞是等腰直角三角形，得出段=華=當，利用相

ACAB2

似三角形的判定和性質(zhì)可得△/BC,黑=與=咚，代入求解即可得到答案.

BCAC2

【詳解】解：；AD、CE分別是4C、A8邊上的高，

NAEC=NADB=90°,

ABAC=45°,

△/方與△43。是等腰直角三角形，

AC=yjAE2+CE2=42AE，AB='AD2+DB。=6AD，

,AE_AD_y/2

一就一商一彳，

又；NDAE=ABAC,

：.AADE-AABC,

,DE_AE_42

一疏一就一號‘

BC=2,

DE=亞,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握運

用各個知識點是解題的關鍵.

2.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,NC為對角線，E、尸分別為邊

AB,CD上的動點，且EF1AC于點M,連接/尸、CE,求AF+CE的最小值是

【答案】5

【分析】//與EC兩條線段不在同一條直線上，只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可，&CGIIEF,

且CG=EF,連接/G,又因點尸是。C上是一動點，由三角形的邊與邊關系/尸+FG24G,只有當點尸

在直線4G上時，4F+FG最小，由平行四邊形CEbG可知尸G=EC時，可求NF+CE的最小值

【詳解】解：如圖所示：過點C作CG〃環(huán)，且CG=EF,連接尸G,

設=x,則/C=4-x,

當點“、F、G三點共線時，/尸+FG的最值小,

■,■CG//EF,且CG=E尸，

.??四邊形CEFG是平行四邊形；

：.EC//FG,EC=FG,

又???點/、F、G三點共線，

.-.AFIIEC,

又?四邊形4BCD是矩形，

：.AEIIDC,DZ>=90°,

???四邊形/ECF是平行四邊形，

又?；EFJ.AC,

???四邊形/ECF是菱形，

；.4F=FC=4-x,

在廠中，由勾股定理得:

AD2+DF2=AF2^

又,；AD=2,DF=x,則//=4—x,

.??22+x2=(4-%)2,

3

解得：x=j,

???AF=~,

2

在放△/QC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2=22+42,所以力C=26

**,,

又?:MFIICG,

/.ZAMF=ZACG,ZAFM=ZAGC,

：NAMF3ACG,

AM_AF

,,萬―茄’

2

即65,

26一NG

AG=5,

又?:AG=AF+FG,FG=EC,

.-.AF+EC=5,即最小值是5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理和最短

距離問題等知識點，解題的關鍵是掌握輔助線的作法以及相似三角形的性質(zhì)與判定.

3.(2023秋?上海長寧?九年級上海市第三女子初級中學校考階段練習)如圖，在尺/AIBC中，-03=9()。,

血C=60。，AC=6,AD平分乙BAC,交邊3c于點。，過點。作C4的平行線，交邊48于點￡

(1)求線段DE的長；

FF

⑵取線段AD的中點M,連接交線段DE于點下，延長線段8M交邊/C于點G,求^的值.

DF

【答案】⑴4

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可;

(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可.

【詳解】(1)解：???4D平分乙B/C,^LBAC=60°,

???z￡MC=30。，

在用A4C。中，Z^CZ)=90°,

N"C=30°,AC=6,

CD=2>/3,

在用A4C5中，乙4cB=90。，乙BAC=60。,AC=6,

-'-BC=Gs/3,

:?BD=BC—CD=A6,

vZ)￡||G4,

DE_BD_2

,~CA一疏―H'

.-.DE=4；

(2)解：如圖.

??,點M是線段4。的中點，

-DEWCA,

DFDM

.\DF=AG.

-DEWCA,

EF_BFBF_BD

??茄—茄’

EF_BD

??茄一拓.

???5。=4百,BC=60DF=AG,

EF_2

??~~.

DF3

【點睛】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對應關系.

4.(2023?全國?九年級專題練習)△A8C中，AC=BC,ZC=90°,CDL/8于。，點E在線段上，點

尸在射線。上，連接C￡,DF,滿足/40尸=

圖2圖3

(1)如圖1,若DF=2拒,AC=4,求好'的長;

(2)如圖2,若AF=BE,求證：BC=2DE；

(3)如圖3,將繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)打(0。<。4360。)得到△C0E',連接CE',點尸為CE'的中點，連接

BP,若EB=46-4,NDCE=30°.當AP最小時，直接寫出ABCP的面積.

【答案】⑴20-2;

(2)見解析;

小60-4V15

(J)7?

【分析】(1)過點。作DGJ./C于G,通過解直角三角形可求出的的長；

(2)過點E作助，N5交8c于通過44s證明△￡>/尸絲△CHE,得AD=CH,設HE=BE=x,設

CD=BD=CH=y,用x和了的代數(shù)式表示出3C和DE的長，即可解決問題；

(3)取CD的中點O,連接OP,OB,其中05交CE，于。，過0作于“，過點0作0N,3c

于N,設DE=x,可表示出DE和DC的長，再根據(jù)BE的長，可求出x=4,可求得。尸=2,則點尸在以。

為圓心，2為半徑的圓上運動，且點P與點。重合時，8P最小，再利用相似三角形的性質(zhì)求出。N的長即

可.

【詳解】(1)如圖，過點。作。GL/C于G,則/尸GZ)=90。，

在“3C中，AC=BC=4,ZACB=90°,

ABAC=AB=45°,AB=ylAC2+BC2=472>

???CDAB,AC=BC=4,ZACB=90°,

:.CD=AD=BD=-AB=-x442=2y[2,

22

又?.?(?￡)_L48,DGLAC,

.-.AG=CG=DG=-AC=-x4=2,

22

在Rt△戶GO中，由勾股定理得：

FG=ylDF2~DG2=2V2，

AF=FG-AG=2亞-2;

(2)如圖，過點、E作EH工AB交BC于H,則/麻^二川。,

ZHEB=90°,ZB=45°,

4BHE=ZB=45°,

BE=HE,/CHE=180。—ZBHE=180。—45。=135。，

???AF=BE,

:.AF=HE,

vNBAC=45。,

/.ZDAF=180?！狝BAC=180?！?5。=135。，

ZDAF=ACHE,

在△DAF與ACHE中，

ZADF=/ECB

<ZDAF=ACHE,

AF=HE

.△DAF會小CHE,

AD=CH,

vAD=BD=CD,

CD=BD=CH,

設HE=BE=x,

貝1BH=y/HE2+BE2=缶，

設CD=BD=CH=y,

貝1BC=y/CD2+BD2=Cy，

?;CH+BH=BC,

y+V2x=yply,

_.x=2y-^2yt

2

.,DE=BD-BE=y-X=y-^^=^y,

BC_V2y_2

-■?DF-V2

——y

2

/.BC=IDE；

(3)如圖，取CD的中點。，連接OP,05,其中03交CE'于0,過。作(WLBC于過點。作。NJL8C

于N,

A

X

cMN\/ciB

圖3

設DE=x,

?.?CD_L4B,ADCE=30°,

DC=DB=?,

■：BE=4有-4,

瓜-x=4百-4,

/.x=4,

.-.DE=4,CD=46，

:.OP=-DE'=-DE=2,

22

二點尸在以。為圓心，2為半徑的圓上運動，

點尸與點。重合時，BP最小，

?.?△OCM是等腰直角三角形，OC=：CD=2拒,

OM=CM=46,

,:BM=BC-CM=4&-a=3瓜,

在RtZ^O初中，由勾股定理得80=2后，

當點尸與點0重合時，OQ=OP=2,

BP=BQ=2y/15-2,

QN//OM,

:.ABQN^ABOM,

.ONBQ

QN2vH-2

?飛

回,

<1"1zi后5GM60-4V15

S、BCQ=~BCXQN=-X4^6X——---=——-——，

綜上所述：當8尸最小時，ABCP的面積為處嚴.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，綜合性較強，對學生的邏輯思維能力要求較高，屬于中考壓軸

題.

▲【經(jīng)典例題二8字型相似】

【模型解讀】

?,“ABOAOB

①如圖1,AB〃CD=LAOBs△COD0——=——=——；

CDOCOD

?向“ABOAOB

②如圖2,AA=ZD^>AAOB^/\DOC^——=——=——.

AOTAJR

③模型拓展：如圖，AA=ZC^^AJB^/\CJD<^——=——=——.

CDJCJD

1.（2022春?九年級課時練習）如圖，在平行四邊形N8CZ）中，點E是/。上一點，AE=2ED,連接"

交/C于點G,延長交CD的延長線于點尸，則”的值為（）

GF

E

D

3

A，-3C.D.

34

【答案】A

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到/Biicn貝!!可判斷A48G?△WG,AABEFDFE,于是根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形為平行四邊形,

：.AB\\CD.

???^ABGFCFG,

BGAB

''GF~~CF

?；AABE?ADFE,

AE_AB

,,京—岳'

"E=2ED,

：,AB=2DF,

AB_2

,,，

CF3

BG_2

''~GF~3'

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)進行解題.

2.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，正方形/BCD邊長為3,點七是40上一點，且4E=1,連接BE,

過C作CN_LB￡,垂足為尸，CF交對角線5。于G,將△5CG沿CG翻折得到△〃CG,交對角線于

M，貝！JS&HGM

【答案】《9

2o

【分析】過點G作GRl2c于尺，過點〃作圳LBC交AD于N,由正方形性質(zhì)可證明：AABE-AFCB,由

勾股定理可求8R由翻折性質(zhì)可得△〃GCmASGC,進而可證明：△BHN-4BED,可求得再由

s

AHNMMCBM,可求得芍””，再由△CGRs^cg尸即可求得結(jié)論.

3△HGC

【詳解】解：如圖，過點G作GELBC于H,過點、H作HN〃BC交BD于N

則NBRG=NCRG=90。，

-CF1BE

.../BFC=90°

:.ZCBF+ZBCF=90°

???正方形Z3CQ

NA=ZABC=90。，AB=AD=BC=3

:.ZABE+ZCBF=90°

/ABE=ABCF

.,△ABE~AFCB

在RMABE中，BE=y/AB2+AE2=732+12=V10

BFAEBF1

----=-----,即Rn—=I——

BCBE3V10

3V10

BF=------,

10

由翻折知：FH=BF=^~,=HC=BC=3,△HGCz小BGC

105

\'HN//BC:.ABHN~ABED

3回

HNBH

——，即HV5

DEBE

-一M

6

HN=-?：^HNM-△CBM

5

HMHN2

MC~~BC~5

HM2

HC一一7,

V

*&HGM_HM_2

V

a&HGCHC7'

GRLBC,NC5G=45。

.?.△BGR是等腰直角三角形，設BR=GR=x,則CR=3-x,

入CGRNCBF

GR_BF口r%13

即----=一解得x*

~CR~~CF~33—x3

1139

??

S"BRCcGr=—2xBCxGR2=—x43x—8=—

.s-2

…°AHGC_8

.&_2._29_2_

一口AHGM_}3HGC_77_=，

9

故答案為：—.

2o

【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和

性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點；解題關鍵是利用平行線證明相似三角形進行轉(zhuǎn)化，

有一定難度，屬于中考填空壓軸題類型.

3.（2023?全國?九年級專題練習）（1）某學?！皩W習落實”數(shù)學興趣小組遇到這樣一個題目

如圖，在A42C中，點。在線段2c上，48/0=30。，4OAC=75°,AO=日BO：CO=2：1,求48的

長經(jīng)過數(shù)學小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點8作由川/C,交NO的延長線于點。，通過構(gòu)造館臺。就可以解決問

題（如圖2）

AA

D

圖1圖2

請回答：UDB=°,AB=

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3在四邊形/BCD中對角線/C與加）相交于點O,ACLAD,A0=6,443C=zJCB=75。，BO：OD

=2：1,求DC的長

【答案】（1）75,36；（2）8=正

2

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出乙403=4。/C=75。，結(jié)合乙B0D=NCCM可得出△BODsaco/,利用

相似三角形的性質(zhì)可求出的值，進而可得出4。的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出430=75。=4

由等角對等邊可得出AB=AD即可求解；

（2）過點3作交/C于點￡,同（1）可得出4E=3g，在RtMEB中,利用勾股定理可求出

的長度，再在此中，利用勾股定理即可求出DC的長.

【詳解】解：（1）如圖2中，過點2作2DII/C,交/。的延長線于點。，

D

圖2

-BD\\ACf

山。B=NCMC=75。.

???乙BOD=^COA,

:.ABODMCOA,

ODOB八

?*?--=-----=2,.

OAOC

又以0=V3，

'.OD=2AO=243,

??,AD=AO+OD=36

?4/。=30。，乙408=75。，

.-.^ABD=180°-乙BAD-UDB=750=UDB,

：,AB=AD=36；

故答案為：75,36

(2)如圖3中，過點8作8磯/。交ZC于點￡.

-ACLAD,BEWAD,

：.ZJDAC=Z.BEA=90°.

?&OD=(EOB,

???AAOD~AEOB,

.BO=EO=BE—9

,ODAOAD?

-BO：OD=1：3,

'：AO=V3,

.-.￡0=2V3,

，AE=3C.

；BC=UCB=75。,

??ZA4C=3O。，AB=AC,

:?AB=2BE.

22222

在RtA4班中，BE+AE=ABf即(45爐)^+BE=QBE),

解得：BE=3,

3

.,.AB=AC=6,AD=—

2

3

在RtZ\C4。中，AC2+AD2=CD2,即6?+(-)2=CD2,

2

解得：CD=^~(負根已經(jīng)舍棄).

2

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)，掌握平

行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關鍵.

4.(2023春?河南?九年級專題練習)綜合與實踐：

數(shù)學活動課上，老師讓同學們根據(jù)下面情境提出問題并解答.

問題情境：在口43。中，點尸是邊ND上一點.將△尸。C沿直線PC折疊，點。的對應點為E.

“興趣小組'’提出的問題是：如圖1,若點尸與點/重合，過點￡作E尸〃4D,與PC交于點F,連接75尸,

則四邊形/EFD是菱形.

圖1圖2圖3

(1)數(shù)學思考：請你證明“興趣小組”提出的問題；

(2)拓展探究：“智慧小組''提出的問題是：如圖2,當點P為4D的中點時，延長CE交48于點尸，連接

P尸.試判斷P尸與尸C的位置關系，并說明理由.

請你幫助他們解決此問題.

(3)問題解決“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下,提出的問題是如圖3,當點E恰好落在邊上時，AP=3,

PD=4,0c=10.則4E的長為.(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)見解析

(2)PF工PC,理由見解析

【分析】(1)先證明。尸〃/E,得到兩組對邊分別平行，再用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定，也可以

用四條邊相等的四邊形是菱形進行判斷；

(2)證明△力尸三APM,得到乙4尸尸N尸PE,再由折疊得到乙DPC=Z￡PC,從而證明NEPC=90。；

(3)延長R4、CP相交于點R得△AFPMDCP,再證￡F=C￡即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)證法一：由折疊得，AD=AE,ZDAF=ZEAF,ADFA=AEFA

EF//AD

NDAF=ZEFA

ZDFA=ZEAF

???DF〃AE

二四邊形AEFD是平行四邊形

AD=AE

???四邊形NEED是菱形.

證法二：

證明：由折疊得，AD=AE,DF=EF,ZDAF=ZEAF

???EF//AD

ZDAF=ZEFA

???ZEFA=ZEAF

EA=EF

；.AD=DF=EF=AE

.??四邊形NET*是菱形.

(2)解:PFLPC.

連接/E

由折疊可得=ZPEC=2PDC,NDPC=ZEPC

???四邊形ABCD是平行四邊形

：.AADC+ADAB=\^°

又???APEC+NPEF=180°

??./DAB=ZPEF

???點尸是ND的中點

PA=PD

???/PAE=ZPEA

???ZDAB-ZPAE=ZPEF-ZPEA

???ZAEF=ZEAF

AF=EF

??.△PAF義APEFCSSS)

ZAPF=/EPF

又???ZDPC+/CPE+/EPF+ZAPF=180。，即2ZCPE+2ZFPE=180°

??.ZFPC=90°

PF1PC.

(3)解：延長A4、。尸相交于點尸，

AFAPAF3

——二——即Rn——=一

DCDP104

-15

AF=——

2

'：Z.DCP=Z-ECP,/-DCP=Z-F

"ECP

：.EF=EC=DC=\Q

.-.^￡,=10--=-.

22

故答案為1.

【點睛】本題考查折疊、平行四邊形、相似、菱形的判定等，屬于綜合性題目，解題關鍵在于靈活運用幾

何知識，構(gòu)造常見的模型.

41經(jīng)典例題三AX型相似】

【模型解讀】

A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.

1、（2022?河南新鄉(xiāng)?九年級期末）如圖，在平行四邊形/BCD中，//2C的平分線交/C于點E,交4D于

RF

點尸，交CD的延長線于點G,若4F=2FD,則標的值為（）

EG

【答案】C

【詳解】解：由4b=2DR可以假設=左，則4尸=2左，AD=3k,

???四邊形45co是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

?；BE平分NABC,

???/ABF=/CBG,

：.ZABF=ZAFB=ZDFG=NG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

■:AB〃DG,

：.LABEsACGE,

.BEAB2k_2

??訪―節(jié)_互一1，

故選：C.

2、（2022?河北石家莊?九年級期末）已知用“8C中，/ACB=90。,ZCAB=30°（如圖）.以線段為邊

向外作等邊三角形點￡是線段45的中點，連接庭并延長交線段4。于點尸.

H

(1)求證：四邊形5a力為平行四邊形；

(2)連接C。，交45于點

①若48=6,求3M的長；

②作MN_L/C,垂足為N,求證：.

BCADMN

【答案】(1)證明見解析；(2)①BM=2：②證明見解析.

【詳解】(1);△ZB。是等邊三角形

：.AD=AB=BD,/BAD=/ABD=/D=60。

在此△4BC中，ZCAB=30°

：./ABC=60°

??,點￡是線段48的中點

：.CE=BE=AE=-AB

2

.??△5CE是等邊三角形

ZCEB=ZCBE=ZABC=60°,BC=CE

：./ABD=/CEB=60°

???CF//BD

???ZCBD+ZD=/CBE+/ABD+/D=60°+60°+60。=180°

???BC//FD

???四邊形3CED為平行四邊形；

(2)①如圖，連接C。，交于點”

BC//FD

?9?心CM~^ADM

.BMBC

??而—茄

*.*BC=CE=—AB,AB=AD

2

.BM_BC

AM~AD~2

;AB=BM+AM=6

：.BM=-AB=2；

3

②如圖，作垂足為N

9：ZACB=90°,ACAD=ABAC+ABAD=300+60°=90°,MNLAC

：.BC//MN//DA

"AMNfABC,衛(wèi)MNz衛(wèi)DA

.MN_ANMN_CN

花’~DA~~CA

_M__N___|_MN_A__N__|_CNAN+CN，AC—],

??BCDA~ACCA~AC~AC~

111

?_____?_____=_____

"BCADMN'

3、（2022?河南?鶴壁市淇濱中學九年級期中）已知，平行四邊形23CD中，點E是N8的中點，在直線ND

上截取/歹=2FD,連接EF,EF交AC于G,則上=.

AC

22

【答案】|5I.

【詳解】解：（1）點F在線段AD上時，設EF與CD的延長線交于H,

.".HD：AE=DF：AF=1:2,即HD」AE,

2

VAB//CD,AACHG^AAEG,AAG：CG=AE：CH,

15

AB=CD=2AE,???CH=CD+DH=2AE+-AE=-AE,

22

AAG：CG=2：5,

AAG：(AG+CG)=2：(2+5),

即AG：AC=2：7；

(2)點F在線段AD的延長線上時，設EF與CD交于H,

F

VAB//CD,

.,.△EAF^AHDF,

AHD：AE=DF：AF=1：2,即HD=；AE,

VAB//CD,

AAG：CG=AE：CH

VAB=CD=2AE,

CH=CD-DH=2AE--AE=-AE,

22

AAG：CG=2：3,

AAG：(AG+CG)=2：(2+3),

即AG：AC=2：5.

22

故答案為：工或7.

4、(2022?湖南株洲?九年級期末)如圖(1)所示：等邊A4BC中，線段4。為其內(nèi)角角平分線，過。點的

直線BQL4C于C］交AB的延長線于Bj.

⑴請你探究：條黑，轟=靠是否都成立?

（2）請你繼續(xù)探究：若八45。為任意三角形，線段4。為其內(nèi)角角平分線，請問.二"一定成立嗎？并

ABDB

證明你的判斷.

（3）如圖（2）所示RtZUBC中，N/CB=90°,NC=8,5C=—,DE〃/C交48于點E,試求變的

3FA

值.

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）J

O

【詳解】解：（1）???等邊645。中，線段4。為其內(nèi)角角平分線，

:.AC=AB,CD=DB,

ACCD?

---=---=1.

ABDB

因為BjCjlAC于C]交AB的延長線于B],

二.ZC45=60°,/B產(chǎn)/CAD=/BAD=300,

AD=BQ,C^D=—AD——B^D,AC^——,

ACt1CXD

一區(qū)一萬一西，

綜上：這兩個等式都成立；

（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：

如圖所示，A48c為任意三角形，過3點作3E〃/C交ND的延長線于瓦點,

線段為其內(nèi)角角平分線

c

NE=/CAD=/BAD,^EBD^AACD

ACCD

:?BE=AB,

~BE~~DB

又?：BE=AB.

.ACCD

即對任意三角形結(jié)論仍然成立;

'：AD為AABC的內(nèi)角角平分線,

CDAC83

???法一方—亞_1

■:DE//AC,

.CDAE_3

?BE_5

.?布

?:DE〃AC,

:.ADEFsAACF,\BDE^\BCA.

,竺_DEDE_BE

??可一就'就一俞

DFDEBE5

FA~AC~AB~8

「31經(jīng)典例題四母子型相似】

【模型解讀】

如圖為籍A”字型基本圖形.當乙時，A4BCsA4ED,則有二="=些.AE-AC=AD-AB.

ABACBC

如圖所示，當E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型.

ACADrn

當=時，AABCsAACD,則有——=——=—

ABACBC

1.（2021春?全國?九年級專題練習）如圖，在用中，乙BAC=90。,BA=CA=6M,。為3C邊的中

點，點E是CZ延長線上一點，把/CQE沿。E翻折，點C落在。處，EC與AB交于點、F,連接5C.當

=FA=?4時，5c的長為（）

EA3

A.1V5B.6廂C.gD.672

【答案】D

【分析】如圖，連接CC',過點。作C7UEC于〃.設AB交DE于N,過點N作N-LEF于T,過點。作

0M于證明4CC5=90。，求出CC,5c即可解決問題.

【詳解】解如圖，連接CC,過點C作CHJ上C于H.設AB交DE于N,過點N作NT,■于T,過點。

作DMLEC于M.

FA4

Z.FAE=Z.CAB=90°,——=—,

EA3

???EF：AF：AE=5：4：3,

-CH\\AFf

???△EAFFEHC,

-.EC：CH：EH=EF：AF：AE=5：4：3,

設,EH=3k,CH=4k,EC=EC=5k,則CH=2總

由翻折可知，UEN="EN,

???NAtEA,NTIET,

:?(NAE=(NTE,

?：NE=NE,

???△NEA34NET(AAS)f

??.AN=NT,EA=ET,

設4E=3加，AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,貝!)Z￡=￡T=3加，TF=2m,

在R3NT中,F^Nr+FT2,

(4wx)2=x2+(2m)2,

3

解得：x=-m,

?：AC=AB=6M,4G45=90。,

:.BC=GAC=12后,

CD=BD=,

-DMVCM,ZZ)CM=45°,

*'?CM=DM=3A/109

-AN\\DM,

AN_EA

3

m

.-.ANDM2_19

.,.EM=6410,

??EC=9A/TO=5k,

.g亞，

5

18V1036V10

?,Cz/l------------,(_Z11.-----------------,

55

22

■■CC=^CH+C'H=^(1^2)2+(^o)2=18后,

■：DC=DC'=DB,

.?"（73=90°,

:.BC=d（BC￥-CC?=7（12V5）2-（18A/2）2=672，

故選：D.

【點睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方

程解決問題.

2.（2022秋?江西撫州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在。8C中，點。在上，請再添一個適當?shù)臈l件，使

△ADCsAACB,那么可添加的條件是.

A

二C—

【答案】ZACD=ZABC（答案不唯一，也可以增加條件：ZADC=ZACBAC2=AD-AB）.

【分析】題目中相似的兩個三角形已經(jīng)有一個公共角，可以再增加一對相等的角，用兩組角相等判定兩三

角形相似，也可以增加兩組對應邊成比例，利用兩組邊對應成比例及夾角相等判定兩三角形相似.

【詳解】若增加條件：乙4CD=UBC,

■：Z-ACD=Z.ABC,且乙4=乙4,

:NADC：\JACB.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解題的關鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，/8C中，點。在邊48上，S.ZACD=ZABC,若AC=C,

【答案】2

ADAC

【分析】由乙48=乙45。、乙4=乙4,即可得出A45C?△4C。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出「=），代

ACAB

入AC、的值可求出45的長，再根據(jù)即可求出結(jié)論.

【詳解】解：；CD=UBC,乙4=乙4,

；,AABC?AACD,

ADAC

"AC-AB,

,：AC=6，AD=1,

1V3

飛F

■■.AB=3,

：.BD=AB-AD=3-1=2.

故答案為2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

4.（2023春?陜西榆林?九年級?？计谥校静僮靼l(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，”3C的頂點4B、C都在格點上，將

繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△NBC一點8、C的對應點分別是耳，C，連接CG，則

【問題探究】

（2）如圖2,在RtZ\48C中，。為斜邊48上的一點，點E、尸分別在ZC、BC上，AD=2,BD=1,且

四邊形DEC廠是正方形，求陰影部分的面積.

小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將AD8/繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DGE(如圖3所示)

請你利用小明的方法求陰影部分的面積；

【問題解決】

(3)如圖4,有一個四邊形的試驗田/3C。，其中8C=40米，C￡>=60米，AD=2AB,/4BC與NADC

互余.點E處是一個肥料池，點E是8C的中點，且點A到3C的距離等于4E之間的距離，為使灌溉方便,

現(xiàn)要沿AD修建一條水渠，請你幫助管理者計算出水渠2。的長度.

【答案】(1)45°；(2)1；(3)100米

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△/cq為等腰直角三角形，即可求得乙4CC的度數(shù);

(2)首先根據(jù)正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DG=3。=1,S^DGE=SADBF,//DG=90。，點4E、G在

一條直線上，然后利用三角形面積公式計算陰影部分的面積即可；

(3)連接4E、AC,由題意可得/￡垂直平分3C,則有48=2C；將繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)得到

MCG,連接。G,證明△4BCS4/OG,由相似三角形的性質(zhì)可解得DG=80米，再證明NGOC=90。，

然后在RtaOCG中由勾股定理解得CG=VEB廠二5/=100(米)，即可獲得答案.

【詳解】解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NC=ZG，/c4G=90。，

ZACQ=N4CC[=^(180°-ZCACl)=45°.

故答案為：45°；

(2)???四邊形DEC尸是正方形，

ZEDF=ZDFC=NDFB=NDEC=NDEA=90°,DE=DF,

.-.ZADE+ZBDF=90°,

■■■GBF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到叢DGE,

NEDG=ZFDB,ZDEG=ZDFB=NDEA=90°,DG=BD=1,S^DGE=S^DBF,

：.ZADG=ZADE+ZEDG=90°,點4E、G在一條直線上,

t*'S陰影=S^ADE+S4BDF=S&ADG='"D'DG=1

(3)如下圖，連接力￡、AC,

由題意知BE=EC,即/E垂直平分BC,

AB=AC,

將AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AACG,連接DG,

則BO=CG,AD=AG,ABAD=ZCAG,

ABAC+/CAD=ACAD+/DAG,

/.ABAC=ZDAG,

vAB=AC,AD=AG,

ZABC=NACB=ZADG=ZAGD,

???△ABCs/\ADG,

ABBC

,?茄一茄’

???AD=2AB,

BC

一，

DG2

.-.DG=2BC=S0^z,

ZABC與NADC互余，即ZABC+ZADC=90°,

.-.ZADG+ZADC=90°,

ZGDC=90°,

???CG=ylCD2+DG2=V602+802=100(米)，

.?.2。=。6=100米.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的

判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，理解并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正確作出輔助線是解題關鍵.

一31經(jīng)典例題五三角形內(nèi)接矩形相似】

【模型解讀】

由之前的基本模型（A型或AX型）推導出來的。

結(jié)論：AHLGF,MGFSXABC,——=——

BCAM

I.（2022秋?山東日照?九年級日照市新營中學校考階段練習）如圖，08c中，68=90。，點E在/C上,

E尸，4B于點尸，EG1BC,已知△4FE的面積為a,VEGC的面積為b,則矩形AFEG的面積為（

C.12abD.2y[ab

【答案】D

【分析】先證明四邊形BFEG是矩形，得到防〃CG,BF//EG,進而證明尸SAECG,得到

EF-EG=AF-CG,再根據(jù)三角形面積公式得到環(huán)?EG=-；駕片,據(jù)此即可得到答案.

AF-CG

【詳解】解：,?舊8=90。，EFLAB,EG1BC,

???四邊形BF￡G是矩形，

：.EF//CG,BF//EG,

；,NA=NCEG,/AEF=/C,

???AAEFsAECG,

AFEF

.京一節(jié)’

:.EFEG=AFCG,

???△久尸上的面積為。，VEGC的面積為6,

：.-AF-EF=a,-EG-CG=b

22f

:.EF=9,EG=—

AFCG

4ab

：.EFEG=

AFCG

；.(EF-EG『=4ab,

■■EFEG=2y[^b,

故選D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形面積，證明

AAEFs/XECG,得到E尸?EG=/尸?CG是解題的關鍵.

2.(2022秋?安徽阜陽?九年級?？计谥?如圖所示，在。8C中，ZC=90°,AC=4,SC=3.

(1)若四邊形。EFG為。8c的內(nèi)接正方形，則正方形。EFG的邊長DE為；

(2)若四邊形。EFG為的內(nèi)接矩形，當這個矩形面積最大時，則矩形OE/G的邊長DE為.

?小田、605

【答案】W2

【分析】(1)根據(jù)G/〃N3,判定ACG/根據(jù)矩形的性質(zhì)，相似三角形的相似比等于對應高之比

計算即可.

(2)設GD=x,根據(jù)G尸〃42,判定ACGF-ACZB,用x表示GB,構(gòu)造面積的二次函數(shù)，根據(jù)二次函

數(shù)的最值判定計算即可.

【詳解】解:(1)如圖，過C作于“，交G尸于K,

GF〃DE,GF1CH,GD=FE=KH=GF=DE,

MCGFsKAB,

GFCK

~AB~~CH，

-ZACB=90°,AC=4,BC=3.

???AB=y]AC2+BC2=5,

.?.ABCH=ACBC=12,

--GF

GF_5_____

512

T

向=絲

37

即正方形的邊長為號.

(2)如圖，過。作于"，交GF于K,

?.?矩形OEFG,

；.GF〃DE,GFLCH,GD=FE