新高考新結(jié)構(gòu)命題下的立體幾何解答題綜合訓(xùn)練-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第08講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的

立體幾何解答題綜合訓(xùn)練

（10類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一

場考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。

當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)

量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（1）三考

題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)

際水平。

（2）三重

強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)

特見解和創(chuàng)造力。

（3）三突出

試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。立體幾何版

塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適

中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，立體幾何版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)

的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。

面對(duì)如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新

結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南,

以期在新高考中取得更好的成績。

考點(diǎn)梳理?

1

Lf考點(diǎn)5立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題

T_____________

'考點(diǎn)6立體幾何中的范圍問題

考點(diǎn)7立體幾何中的存在性問題

上…考點(diǎn)8立體幾何中的…劣構(gòu)性問題

考點(diǎn)10立體幾何中的新定義問題

考點(diǎn)一、空間中平行關(guān)系的證明

1.(2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐S-/8CD中，A&4D為正三角形，底面A8CD為矩形，且平

面“。，平面/8C2河,N分別為棱SC,43的中點(diǎn).

AR

(2)若小孫且二面角C-肱"。的大小為12。。,求近的值.

【答案】⑴證明見解析

⑵*3

2

【分析】(1)取棱的中點(diǎn)尸，連結(jié)PM,PA,可證四邊形/尸兒W是平行四邊形，利用線面平行的判定

即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系0-乎，利用二面角的向量公式求出參數(shù)，即可求解

【詳解】(1)如圖，取棱SD的中點(diǎn)P,連接尸

因?yàn)镸是棱SC的中點(diǎn)，所以且"尸=』CD.

2

又因?yàn)樗倪呅?BCD是矩形，N是棱的中點(diǎn)，故MP〃ANR.MP=AN,

所以四邊形4PMN是平行四邊形，所以M7V〃/尸.

又/Pu平面平面S4。，故兒W//平面&4D.

(2)取棱40的中點(diǎn)。，則在正三角形中，SQ1AD,所以S。，平面48CD.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，函的方向分別為無軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z.

設(shè)AD=2a,AB=2b,b>a>Q,則C（-a,2d0）,S倒,0,后）也-巴,b,m,N（a,6,0）,D（-a,0,0）.

所以西7=g-b,笠，礪=

\7

設(shè)平面CW的法向量為力=(x,y,z),

a76a_

-x-byH------z=0,

n-CM=0,2

則，—,即「可取為=（a2a,Gb）.

RMN=0,3aJ34c'7

—x-----z—0,

22

設(shè)平面DAW的法向量為歷=(p,q/),

a7y/3a

-p+bq+--r=A0,

m?DM=0,

則?_,即可取比=（仇_2々,百時(shí)

ifi，MN=0,3aJ3aA'7

——p-----r=0,

12"2

3

由題設(shè)知他、〈萬，創(chuàng)=儲(chǔ)=系二=］故b=6a，

喘3

2.（2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐尸-/BCD的底面/BCD是邊長為6的正方形，側(cè)面尸CD，

底面/8CRPC=PO=5,點(diǎn)瓦G分別是。。,。2的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱/8上且/b=3尸反

（1）求證：FG〃平面APE；

（2）求直線FG與平面PBC所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

嗚

【分析】（1）解法一：取PE的中點(diǎn)，，連接GH,BH,證明四邊形是平行四邊形，得線線平行，然

后得證線面平行；

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線面平行；

（2）解法一：過點(diǎn)H作〃K,PC,垂足為K,連接5K,證得二期K為直線88與平面尸8c所成的角，

在三角形中求出此角的正弦值后可得；

解法二：由空間向量法求線面角.

【詳解】（1）解法一：取尸E的中點(diǎn)b,連接GH,BH,

因?yàn)辄c(diǎn)G是。P的中點(diǎn)，所以GH〃DE,且GH」DE,

2

正方形中，點(diǎn)E是C￡＞的中點(diǎn)，AF=3FB,

所以8尸=1/8=!?！?且就〃DE,

42

所以GH〃BF,且GH=BF,所以四邊形8HG尸是平行四邊形,

所以GF〃BH,又GBe平面8尸平面APE,

所以FG〃平面APE.

4

解法二：

尸。=尸。=5,點(diǎn)E是。C的中點(diǎn)，所以PELCD,

又側(cè)面尸CD_L底面48cO,側(cè)面尸CD口底面48cZ)=CD,PE=平面尸CD,所以尸￡_L平面48CD,

如圖以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線EC,EP為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則￡(0,0,0),「(0,0,4),尸[6,：,01,。(0,-3,0),8(6,3,0),67(0,3,0)

所以G，,-|,2],所以同=(-6,-3,2),麗=儉,0,4),麗=￡3,0)

.、\n-EP=4z=0

設(shè)平面8PE的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z),貝乂_,

n?EB=6x+3y=0

取了=2得x=T,z=0,所以五=(一1,2,0),所以質(zhì)?萬=-1x(-6)+2x(-3)=0,即尸G'/i,又尸G不在平面

BPE內(nèi),所以尸G〃平面8PE.

(2)解法一：

過點(diǎn)H作/SCLPC,垂足為K,連接BK,由題意知8CLDC,

又側(cè)面尸CD_L底面/BCD,側(cè)面「。。("|底面48?！?gt;=。€\8。=平面/88,所以BC_L底面尸CD,又HK匚

平面PCD,所以BC_LHK,

又BCcPCnGBaPCu平面PBC,所以胸_L底面尸3C,

所以/HBK為直線BH與平面PBC所成的角，

記直線FG與平面PBC所成的角為夕，由(1)知GF〃BH,所以6=NHBK,

1aA

又由題意知，EH=PH=—PE=2,所以HK=PHsin/HPK=2x—=—,

255

又BE^BC'EC?=，所以BH=NBE2+EH?=，45+4=7,

HK6

所以sin。=sinZHBK=——=—,

BH35

所以直線尸G與平面P8C所成的角的正弦值為二.

35

解法二：由(1)知旃=(—6,—3,2),麗=(—6,—3,4),旅=(—6,0,9

n-BC=-6x=0

設(shè)元=(yy,z)是平面尸的一個(gè)法向量，則|_—,

n-BP=—6x—3y+42=0

取z=3得x=0/=4,所以為二(0,4,3),

5

-12+66

所以cos（萬，尸G

736+9+4x535'

設(shè)直線FG與平面尸8c所成的角為6,則si

所以直線尸G與平面P8C所成的角的正弦值為

3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，在圓柱中，43分別為圓柱的母線和下底面的直徑，C為底

面圓周上一點(diǎn).

（1）若M為3C的中點(diǎn)，求證：QM//平面

⑵若NC=1,8C=百，圓柱。。2的體積為兀，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）巨

35

【分析】（1）取/C中點(diǎn)N,利用線面平行的判定性質(zhì)，結(jié)合圓柱的結(jié)構(gòu)特征推理即得.

（2）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面以。|、平面。Q的法向量，再利用面面角的向量求法求

解即得.

【詳解】（1）取/C中點(diǎn)N,連結(jié)MNQ\D,DN,如圖，

由分別為8C,/C的中點(diǎn)，得MNUAB,MN=^AB=AO2,

由圓柱上下底面平行，且與平面交于和OQ，

得/。2〃。1。，且則AW//OQ且ACV=OQ,

因此四邊形肱"＞。1為平行四邊形，OXMIIND,又平面NCD,NDu平面/CD,

所以O(shè)|M〃平面NCD.

（2）由/C=1,3C=6,48為底面直徑，得乙4cB=90。,AB=2,

由圓柱。1。2的體積V=Sh=71-4。；?002=兀，得。1。2=1，

6

過C作CE_L平面/BC,則CE_LC4,CE_LC3,又C41.CB,

以C為原點(diǎn)，直線C4,C8,CE分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,40),嗚孚1)。(0,0,0),/(1,0,0)，屈=(0,50),西=(；,21位=(1,0,0)，

mCB=百必=0

設(shè)平面C3。1的法向量為而=（再,乂，4）,貝卜——.173，令芭=2,得比=(2,0,-1),

和CO[=—x1+—yl+z1=0

n-CA=工2=0

設(shè)平面C4O1的法向量為萬=（尤2，%/2）,貝卜一1，令%=2,得力=(0,2,-■

n-COx=-x2+—y2+z2=0''

、22

?I應(yīng)?利

設(shè)二面角8-0]C-N的大小為e,則|cos6|=|cos〈/利=篙加=不近一~^=,

于是仙人后前黑二誓

所以二面角8-。?-/的正弦值為嚕

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在九面體N8CDEFG/Z中，平面/GF_L平面/8COE產(chǎn)，平面N/G〃平

面〃CD,AG=GF=CH=HD=y[liAB=6,底面48cz歷尸為正六邊形.

（1）證明：GH〃平面4BCDEF.

⑵證明：G〃_L平面NFG.

⑶求GE與平面48G所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見詳解；

（2）證明見詳解；

,24

(3)—.

25

【分析】（1）記/萬,以＞的中點(diǎn)分別為//,利用面面垂直性質(zhì)定理證明為平行四邊形，然后結(jié)合線面

7

平行判定定理可證；

(2)利用面面垂直性質(zhì)定理證明〃_1_平面NGF,結(jié)合(1)可證；

(3)以〃所在直線分別為軸，過其交點(diǎn)。作平面/8CDEF的垂線為z軸，建立如圖所示空間直角

坐標(biāo)系，求出平面/3G的法向量，由線面角的向量公式可得.

【詳解】(1)記N￡CZ)的中點(diǎn)分別為//,連接,

因?yàn)镹G=GA=尸=6,所以G/_L/F,且G/=>21-9=26

因?yàn)槠矫鍭GF±平面ABCDEF,平面AGFCl平面ABCDEF=AF,

所以G/_L平面ABCDEF,

因?yàn)槠矫鍭FGH平面HCD,所以平面HCD1平面ABCDEF,

同理可得平面NBCDEF,田=2c,

所以G///H/,且G/=HJ,所以四邊形G57為平行四邊形，所以GH7/Z/,

又GH0平面ABCDEF,"u平面48CD跖，所以G"〃平面48CDE尸.

(2)由正六邊形性質(zhì)可知，IJ1AF,

又平面AGF1平面ABCDEF,平面ZGFCl平面ABCDEF=AF,

所以〃_L平面AGF,

因?yàn)镚H7/〃，所以GH_L平面AGE

(3)由正六邊形性質(zhì)可知，BEVIJ,

以。,BE所在直線分別為龍/軸，過其交點(diǎn)。作平面/BCD跖的垂線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

貝1JG(O,-3展2碼，曲-6,0,0),43,-"。，氏6,0,0,

面=16,3瓜-2塔而=(3,3五0再=13,0,26，

設(shè)平面48G的法向量為元=(x,y,z),

益下=3尤+3廊=0「

則就.-2在二。’取戶6得心

甌W|-6A/3-3V3-3V3|

記GE與平面ABG所成角為6,貝1]sm'=i—i,.=~r—

\GE\'\n\j36+27+12x、3+l

5.(2024?貴州貴陽?二模)由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)/BCD-44GA中，E,尸分別

為的中點(diǎn)，AB=2/4=4,側(cè)面BBfifi與底面ABCD所成角為45。.

8

AFB

⑴求證：8。//平面4￡下；

(2)線段N5上是否存在點(diǎn)M,使得直線2M與平面4￡尸所成的角的正弦值為述，若存在，求出線段/"

10

的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴證明見解析

(2)存在，且4M=1

【分析】(1)借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平

行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；

(2)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線，M與平面4環(huán)所成的角的正弦

值，計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)連接B。、B、D、,由E,尸分別為的中點(diǎn)，貝UM//AD,

又EF①平面BBQQ,BOu平面故E/〃平面ABQQ,

正四棱臺(tái)48CD-44GA中，4BJ/4B且A&i=g4B=BF,

則四邊形4FBB,為平行四邊形，故A\F//BB\,

又4尸U平面BBRD,BB\U平面BBRD,故4尸〃平面BB、D、D,

又A\FcEF=F,且4/u平面4E尸，EFu平面4石尸，

故平面4E/〃平面3BQD,又&D]U平面33Q。，故也^//平面/也下；

(2)正四棱臺(tái)44GA中，上下底面中心的連線底面/BCD,

底面/8C。為正方形，故力。，8。，

故可以。為原點(diǎn)，04、OB、0a為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-乎,

由=24耳=4,側(cè)面BBgC與底面ABCD所成角為45。，

A

貝I]OOl=黑；xtan45°=1,

則4（0,0,1）,F（V2,V2,0）,E（V2,-V2,0）,

9

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)”（尤）,0）滿足題設(shè)，則而=[-亞,

設(shè)而=彳痂（04/141）,則"=（2后-2642640）,

5X=（272-2722,2722+72,-1）,

設(shè)平面4石尸的法向量為記=（x,y,z）,

n.-A,E=y/2y-z=0/、

則二,J,令無=1,貝心=0,z=0,即而=（1,0,0）,

n2EF=2J2y=0

因?yàn)橹本€DtM與平面AXEF所成的角的正弦值為±5,

10

,_.,|可小同I2V2-2V22I3石

故k0sAM司=—"=/一?/爺,

1

?但叫詞V1622-8A+11XV110

解得2=』或4=如（舍），故/四='/3=1,

444

故線段AB上存在點(diǎn)M,使得直線D.M與平面4EF所成的角的正弦值為*,

10

此時(shí)線段的長為1.

考點(diǎn)二、空間中垂直關(guān)系的證明

1.（2024?陜西商洛?三模）如圖，在四棱錐尸-N8Q?中，P/_L平面/BCD,平面尸/C_L平面

PBD,AB=AD=AP=2.

⑵若E為/。的中點(diǎn)，NBAD=60。,求E到平面尸5。的距離.

【答案】⑴證明見解析

10

⑵理

【分析】（1）先證明/尸_L平面尸8。得到,由題意可得P4_L5Z）,結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)即

可得證；

（2）首先證明￡〃//平面尸BD,平面P8。，即所求為〃M的長度，由解三角形知識(shí)即可求解.

【詳解】（1）設(shè)/Cn2D=。，連接PO,過A作/尸，PO,垂足為尸，

因?yàn)槠矫鍼/C_L平面尸8。，平面以CD平面尸8。=尸。,/尸u平面尸/C,

所以/P_L平面,

又ADu平面PAD,所以/F_LAD,

因?yàn)槭矫媪CD,3Du平面/3CA,所以上

又PA,AFu平面PAC,PAC\AF=A,所以BD/平面PAC,

因?yàn)槭珻u平面尸NC,所以BO_LPC.

（2）取40的中點(diǎn)H,連接皿，則EH//D。，

又。Ou平面P3D,耳/U平面PAD,所以￡777/平面PAD,

所以點(diǎn)￡到平面PBD的距離等于點(diǎn)H到平面PBD的距離.

過H作尸O,垂足為"，

因?yàn)槠矫媸琋C_L平面尸2。，平面尸ZCn平面PAD=PO,即/<=平面尸/（7,

所以由面面垂直的性質(zhì)可得平面PAD,

由（工）得NC_L8D,PN_LNO,

因?yàn)?2=/。,/氏4。=60°,所以ND/C=30。，

因?yàn)?。=2,所以AO=?OH=彳,PO=S.

g、一/mPAHMSeri5,PAHOV3同

所以sin/PO/=——=------,所以-------=-j==----,

POHOPOy

即點(diǎn)E到平面尸5。的距離為恒.

7

2.（2024?江蘇宿遷?一模）如圖，在四棱錐P-N3C。中，四邊形N3C。為梯形，其中43〃CD,

ZBCD=60°AB=2BC=2CD=4,平面PBD1平面ABCD.

11

p

c

AB

(1)證明：ADVPD-,

⑵若且PC與平面4BCZ）所成角的正切值為2,求平面尸BC與平面尸ND所成二面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

6至

⑷----

19

【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面P8。，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可

證明；

（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；法二：根據(jù)面面角的定義,

先找出所求的二面角，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)?88=60。,3。=8=2,所以△BCD為等邊三角形，

所以/8=23。=4，

又四邊形/BCD為梯形，ABHDC,則442。=60。，

在△48。中，由余弦定理可知，

AD-=AB2+BD2-2ABBDcosZABD=42+2s-2x4x2x1=12,

2

根據(jù)勾股定理可知，AD2+BD2=AB2，即NO，80.

因?yàn)槠矫媸?0_L平面ABCD,平面尸8_C?n平面ABCD=BD,ADu平面ABCD,

所以4D_L平面PAD,又因?yàn)镻Du平面PB。，

所以4D_LPZ）.

（2）法一：由（1）可知4D_LPZ）,

又因?yàn)?8_LPZ）,4Dn/B=/,所以尸0_L平面/BCD,

r）p

所以/PCD就是尸C與平面ABCD所成角，所以tanZPCD=—=2,

所以產(chǎn)。=4：

以｛方4麗，赤｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-呼，

12

z

所以加=(0,-2,4),就=卜百,-1,0),

設(shè)平面P8C的法向量為4=(x,y,z),

-2y+4z=0,

則有取點(diǎn)=(一266,3)

—\/3x-y=0,

由題意得鼠=(0,1,0)為平面尸4D的法向量,

62歷

所以cos%,%=

5一19

即平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值近1.

19

法二：在平面/8CA內(nèi)，延長8c與/。相交于點(diǎn)”，

連接則為平面P8C與平面的交線，

在平面尸DM內(nèi)，過點(diǎn)。作DNLPM,垂足為N,連接BN,

因?yàn)?Z)_LPZ),AB_LPZ),/。C\AB=A且均在面N8CA內(nèi)，

所以9_1面/8。。，

因?yàn)镠Du面4BCD,所以PD_LAD,

又因?yàn)镹D_L3。,尸。P\PD=D且均在面P/D內(nèi),

所以5。1面P4D,即8。」面PDM,

因?yàn)槭琈u面PDW,所以2D_LPM,

因?yàn)槭琈_LBD,DN±PM,NDCBD=。且均在面BDN內(nèi)，

所以尸河_1面8。"，由5Nu面ACW,所以8N_LPM,

所以AD=DM=2A/L

13

PD-DMPDDM4A/21

在直角三角形PND中DN=-

PMyJPD2+DM27

在直角三角形BND中tanZBND='紅，

6

所以平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值叵.

19

所以NBNO就是二面角的平面角，

又因?yàn)镻D_L平面48C。，

所以NPCD就是PC與平面ABCD所成角，

一DP一

所以tan/尸CD==2,所以PD=4，

因?yàn)榇巍?,所以黑=為

2

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，將V45。繞邊5。旋轉(zhuǎn)得到△05。，其中/。=8。=2,/。，5。,4月，平

面應(yīng)竿，連結(jié)叼,G分別是2”的中點(diǎn)，。尸〃平面.

（1）求證：CDIDE；

⑵求CG與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2）1

【分析】（1）過點(diǎn)。作DHLZC,連接切，通過面面垂直的判定得到平面48CL平面4C。，再通過面

面垂直性質(zhì)定理得到?！╛L平面/3C,結(jié)合ZE_L平面/3C以及線面平行判定定理和性質(zhì)定理，證明出

FHHAB,最后利用勾股定理逆定理即可得證；

（2）以/C中點(diǎn)”為原點(diǎn)，孫為x軸，為z軸，過點(diǎn)”作3c的平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

求出平面/3E的一個(gè)法向量和向量且，即可求出線面角的正弦值.

【詳解】（1）過點(diǎn)。作DHL/C,連接尸X.

所以8C_L平面/CD,因?yàn)锽Cu平面4BC,

所以平面48C_L平面/CD.

又因?yàn)閆W_L/C,Z）Hu平面/CD,平面/CD。平面/3C=/C,

14

所以D8_L平面/3C.

因?yàn)?E_L平面NBC,所以DH//4E,

所以￡)〃//平面/BE.

因?yàn)?。?/平面4BE,DFu平面。尸H,O8u平面同時(shí)。尸口?！?。,

所以平面/H7/平面/8E,

所以萬H〃平面NBE.

因?yàn)榍衭平面/BC,平面/8Cn平面4BE=AB,

所以FH//AB,所以〃是NC中點(diǎn)，

所以=所以CE?=儀)2+?！?,

所以CD_LDE.

(2)如圖，以NC中點(diǎn)〃為原點(diǎn)，出為x軸，E㈤為z軸，過點(diǎn)X作8c的平行線為y軸，建立空間直角

坐標(biāo)系,

則/(1,O,O),C(TO,O),Z)(O,O,我,2(T2,0),G-11,

——n》一—(2m

所以CG=,/8=(-2,2,0),/E=[0,0,手

-7\/

設(shè)〃=(X,〉,Z)是平面/BE的一個(gè)法向量，

n-AB=-2x+2y=0

則_京2G

n?AE=-----z=0

[3

取x=1,貝!]〃=(1,1,0),

--1+1

所以sin6=cos〈CG,萬〉=萬=——尸=—

\CG\\n\V2xV24

3

所以CG與平面“班所成角的正弦值為^

4.(2024?安徽?一模)如圖，四棱錐S-/8CO中,底面N3CD是矩形,SA=AD=2,AB=2A/2,SC=4,

M是S8的中點(diǎn)，MCLBD.

15

s

（1）證明：SZ_L平面/BCD；

（2）若點(diǎn)尸是棱SC上的動(dòng)點(diǎn)，直線/尸與平面NMC所成角的正弦值為回，求經(jīng)的值.

10SC

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）取N2的中點(diǎn)N,連接MN,CN,推導(dǎo)出AD工平面CMN,再利用線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾

股定理逆定理可證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)原=4而，其中0W4W1,求出平面的一個(gè)法向

量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于九的方程，解出2的值，即可得解.

【詳解】（1）取的中點(diǎn)N,連接MN,CN,BD與CN交于Q煎,

在底面矩形ABCD中，易知tanNDBC==yfl—tanZ.BNC-,

BCBN

所以28NC=NDBCnBD上CN,

因?yàn)镸C_LBD,MCC\NC=C,MC、NCu平面CMN,

所以AD工平面CAW,

因?yàn)镸Vu平面CAW,所以8O_LMV,

易知MNIISA,所以

1122

由題意可知NC?=AD+AB=U=SC-SA,

所以SN_L/C,而相交，且NC,BZ）u平面/BCD,

所以S/_L平面ABCD；

（2）由上可知&4_LZ。，SAIAB,ABLAD,

以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

16

貝|］4（0,0,0）、5（0,0,2）,C（2,2>/2,0）,8（0,2后,0）、M（0,后,1）,

設(shè)平面ZMC的法向量為訪=（x,y,z）,則%=（2,2氏0）,而=（0,"1）,

則一L,，取》=后，則所=?T班，

m-AE=sj2y+z=0''

設(shè)爐=2而=92,2后,一2）=（22,2722,-2^,其中0W4W1,

則萬=萬+豆=（0,0,2）+（22,2^2,-22）=俾,2也1,2-22）,

因?yàn)橹本€AP與平面AMC所成角的正弦值為叵，

10

?一,\m-AP\|2A/2（1-2）|回

11阿?.尸|V5-716A2-82+410

IQp1

解得2=上,即2二=上.

4SC4

5.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）如圖，在斜三棱柱NBC-44G中，V/8C為邊長為3的正三角形,側(cè)面陽QC

為正方形，4在底面/3C內(nèi)的射影為點(diǎn)O.

（1）求證：OB=OC；

（2）若OA=OB=OC,求直線441和平面BB&C的距離.

【答案】（1）證明過程見解析

（2）逑

2

［分析］（1）分析得知要證08=OC,只需證&B=4C,取4G，比的中點(diǎn)分別為瓦尸，故只需證明3C，4/

17

即可，而這又可以通過線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明；

（2）將問題轉(zhuǎn)換為求點(diǎn)A到平面88CC的距離，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意分別求出萬，分即

[AF-n\

可，其中〃為平面3耳GC的法向量，進(jìn)一步由公式4=^^即可得解.

\n\

【詳解】（1）

B

一方面：因?yàn)?在底面48。內(nèi)的射影為點(diǎn)O,而。B,OCu平面48C,

所以40_L03,40_L0C,

故要證OB=OC,只需證=4c；

另一方面：取4G，5c的中點(diǎn)分別為￡，尸，連接4瓦4尸，跖，

因?yàn)閂/3C為邊長為3的正三角形，所以呂G也是邊長為3的正三角形，

又點(diǎn)E是3c的中點(diǎn)，

從而4E_L耳C],因?yàn)?C//4G，所以4E_L8C,

因?yàn)樗倪呅?CC內(nèi)為正方形，405c的中點(diǎn)分別為瓦尸，

所以EFJ.BC,

又因?yàn)镋FJ.BC,&EcEF=E,4瓦斯u平面同跖，

所以BC_L平面4E產(chǎn)，

因?yàn)?尸u平面4￡尸，

所以BCJL4廠,

又點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)，

所以48=4。；

綜上所述，0B=0C；

（2）一方面：注意到44"/A8],331U平面8CC百，44y平面8。。圈，

所以44"/平面8CG4，

要求直線/4和平面88CC的距離，只需求點(diǎn)A到平面88CC的距離即可；

另一方面：若OA=OB=OC,則點(diǎn)。為三角形4BC的外心，從而4。,廠三點(diǎn)共線,

過點(diǎn)。作OG/ABC交48于點(diǎn)G,易知OG，。尸，

因?yàn)?0_L平面/BC,OG,OFcz^-^ABC,

18

所以4。LOG,4。，"，

從而OG,OF,OAX兩兩互相垂直，

所以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OG,ORO4所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

二二

Fy

由題意取'=3=，/。=^"'=：孚=6產(chǎn)。=3/尸=!孚=乎，

/4=BB[=BC=3,從而4。=1AA；-ACP=79-3=瓜，

O(O,O,O),4(O,-6,O),B0,-^o,c

AF=0,^y-,0，0=(一3,0,0),西=石=(0,6,痛),

設(shè)平面BCG^i的法向量為五=(%,%,z0),

貝！J__「°L,故可取元=,

BB{-n-J3yo+V6z0=0

I—?I3a

所以點(diǎn)A到平面BB&C的距離為,_HF，Z?LF=3后；

一\n\"V3"2

綜上所述，直線441和平面的距離為鼠1.

2

考點(diǎn)三、空間向量法求空間角與空間距離

1.(2024?天津北辰?三模)如圖，在四棱錐P-/5C。中，尸。_L平面4BCD,ADVDC,AB//DC,

AB=AD」CD=2,PD=2,"為棱PC的中點(diǎn).

2

(1)證明：5M7/平面尸4D；

19

⑵求平面PDM和平面DMB夾角的余弦值;

⑶求/點(diǎn)到直線尸C的距離.

【答案】⑴證明見詳解

⑵逅

6

⑶述

5

【分析】（1）取中點(diǎn)N,可得四邊形為平行四邊形，從而BM//4N,利用線面平行的判定定

理即可得證；

（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求出平面3。”的法向量，易知方為平面PZW的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式求解可

得答案.

（3）利用空間向量求得cos//PC=@^，即可得sin//尸C,進(jìn)而可得結(jié)果.

10

【詳解】（1）取尸。中點(diǎn)N,連接NN,MN.

在△PCD中，M,N分別為PC,尸。的中點(diǎn)，則ACV〃DC,MN=-DC,

2

因?yàn)镹3//DC,AB=-DC,則ZH//ACV,AB=MN,

2

可知四邊形4BW為平行四邊形，則5W//AN,

且平面尸/D,/Nu平面P/。，所以BM//平面

（2）因?yàn)槭?。_L平面/BCD,AD,DCu平面/8CZ）,

則Pr>_L/D,PD±DC,且3_LDC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。。,。尸所在直線分別為陽％2軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,如圖所示,

取CZ）的中點(diǎn)E,連接3E,

因?yàn)镹8//DC,AB=~DC,則AB=DE,

2

20

又因?yàn)镹D_L￡>C,所以四邊形/BED為矩形，

且/B=4D=2,可知四邊形是以邊長為2的正方形，

則。(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,4,0),尸(0,0,2),河(0,2,1),

可得房=(2,0,0),W=(0,2,1),麗=(2,2,0),

n-DM=2》+z=0

設(shè)平面的法向量為〃=(X,其z),所以，

n-DB=2x+2》=0

令y=T,貝Ux=l,z=2.所以平面5。加■的一個(gè)法向量為3=(1,-1,2),

易知也為平面PDM的一個(gè)法向量,

所以由/_"‘叫二n麗-DA2店

76x26

所以平面尸。河和平面DM2夾角的余弦值為逅.

6

UULULU

(3)由(2)可知：々=(2,0,-2),尸。=(0,4,-2),

UULUUU1-

/照照\P4PC4M

則COS(PA,PC)=|UUL]|UUT|=-7=-----/==——,

\/叫閡2亞X2斯10

即cosZAPC=—>0,可知ZAPC為銳角,

10

貝1sinAAPC=Vl-cos2AAPC=獨(dú)5

10

iuur,「3V1066

所以N點(diǎn)到直線PC的距禺為尸/sinZAPC=2方x--------=-------

105

2.(2024?河北?模擬預(yù)測)如圖所示，三棱柱/8C-48c中，監(jiān)N分別為棱4練。。的中點(diǎn)，E,尸分別是

(1)求證：直線〃平面CE尸;

⑵若三棱柱43C-4用。為正三棱柱，求平面CM和平面NCG4的夾角的大小.

【答案】⑴證明見解析

,、71

⑵5

21

【分析】（1）取的中點(diǎn)G,連接MG交所于連接S,則可證得"再由CN=；CG可

證得四邊形CHW為平行四邊形，則〃N〃C歸，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

（2）以C為原點(diǎn)，以CG所在的直線為無軸，過C與平行的直線為V軸，C。所在的直線為z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：取AB的中點(diǎn)G,連接MG交E廠于連接CH,

因?yàn)?分別為棱&耳的中點(diǎn)，所以MG〃/4〃BB,,

所以FH黑=A妥G=1,所以EH=FH,

FHBG

所以HG=g（BF+4E）,

因?yàn)?后=8尸=工/4，所以〃G=！N4，所以=

322

因?yàn)镹分別為棱CG的中點(diǎn)，所以CN=；CG，

因?yàn)镸G〃/4〃CC],所以"H=CN,MH//CN,

所以四邊形C〃MV為平行四邊形，

所以MN〃CH,

因?yàn)轷臯<Z平面CE尸，CHu平面CEF,

所以直線〃平面CEF；

（2）解：連接CG,因?yàn)槿庵?8C-44G為正三棱柱，

所以V4BC為等邊三角形，所以CGL/3,

所以以C為原點(diǎn)，以CG所在的直線為x軸，過C與NB平行的直線為N軸，C￡所在的直線為z軸建立空間

直角坐標(biāo)系,

設(shè)=b,則C(0,0,0),￡(日q,；。,■16),廠(g。,-ga,；b),N(ga,ga,0),C(0,0,b),

___?/o1n____/oii____/oi____

所以互=(—a,-a,-b),CF=(—a,--a,-b),CA=(—a,-a,O),CCl=(0,0,b),

22322322

設(shè)平面尸的法向量為加=(玉,M/])，

江樂=立公1+工。%+

212-1令%=6,貝冽

則lj=(V3,l,-^),