幾何圖形中新定義型問題 中考數(shù)學

搶分秘籍12幾何圖形中新定義型問題

（含三角形，特殊的平行四邊形，圓綜合）（壓軸通關）

目錄

【中考預測】預測考向，總結?？键c及應對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略（含新考法、新情境等）

（I中考預測

二角形.特殊的平行四邊形.圓中新定義型問題是全國中考的熱點和壓軸內(nèi)容,更是全國中考的必考

內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。

1.從考點頻率看，三角形，特殊的平行四邊形，圓中新定義型問題主要是依據(jù)基本圖形的性質(zhì)定理去

解決新提出來的新問題，也是高頻考點、必考點綜合性較強。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實不少！

■（搶分通關

題型一三角形中的新定義問題

典例精講

［例I］（新考法，拓視野）（2023?江蘇蘇州?二模）定義：如果三角形的兩個a與夕滿足a-/=9（F,那么

我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形

⑴若。3c是“奇妙互余三角形〃，ZA>90°,NB=20。,則NC的度數(shù)為

9

⑵如圖1,在RlZXA8c中，NA=90。，若48=4,BC=5,點。是線段A8上的一點，若AO=:，判斷△BCD

4

是否是“奇妙互余三角形"，如果是，請說明理由；

（3）如圖2,在四邊形ABCD中，AC,80是對角線，AC=4,8=5,ZBAC=90°,若NACD=2NABC,

且△5C。是“奇妙互余三角形”，求8。的長.

通關指導

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識.解題

的關鍵在于理解題意并對知識進行靈活運用.

【例2】（2023?吉林長春?二模）【定義】如圖①，若內(nèi)一點尸滿足NB4B=N?8C=NPC4,則點尸

為“BC的布洛卡點.

【探究】（1）如圖②，在JSC中，AB=AC,點P是'C的一個布洛卡點.

求證：△ABP^ABCP.

【應用】（2）如圖③，在【探究】的條件下，若NB4c=90°,且PBvPC.判斷AP與CP的數(shù)量關系，

并說明理由.

名校模擬

1.（2023?山東青島?一模）定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形.如

圖①，AO是y8C的中線，戶是AD的中點，貝曙F8C是中原三角形.

A

￡W

BD

(D

⑴求口原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）.

（2）如圖②，4。是的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE,BE與40相交于點凡連接C尸.求證:

二F8C是中原三角形.

⑶如圖③，在（2）的條件下，延長C產(chǎn)交AB于點連接ME,求△陽/與M8C的面積之比.

2.（2023?江蘇揚州?二模）給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重合

且其中一個等腰三角形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友好三

角形

圖③

⑴如圖①，乂和VAOE互為“友好三角形”,點。是邊上一點（異于B點），AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=nf,連接CE,則CEBD（填"<"或"="或ZBCE=_____。（用含用的代數(shù)式表

示）.

⑵如圖②，以和VAOE互為“友好三角形”，點。是8C邊上一點，AB=AC,AD=AE,

N84C=ND4E=60°,M、N分別是底邊8C、OE的中點，請?zhí)骄縈N與C石的數(shù)量關系，并說明理由.

（3）如圖③，J3C和VAZ陀互為“友好三角形”，點D是BC邊上一動點、,AB=AC,AD=AE,

NB4C=ND4￡=90。，BC=6,過。點作O/_LAO，交直線CE于尸點，若點。從8點運動到C點，直接

寫出尸點運動的路徑長.

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2023?湖北隨州?模擬預測）定義：長寬比為6:1（〃為止整數(shù)）的矩形稱為?，

我們通過折疊的方式折出一個&矩形

操作1：將正方形48所沿過點A的直線折疊，使折疊后的點8落在對角線AE上的點G處，折痕為

操作2：將在沿過點G的直線折疊，使點尸，點E分別落在邊"，BE上.

⑴證明：四邊形A8CD為夜矩形；

⑵點M在直線A8上一動點.

①如圖人。是對角線AC的中點，若點N在邊BC上,OMA.ON,連接MV.求lanNOMV的值；

②若AM=AD,點、N在邊BC上,當二OWN的周長最小時，求g：

NB

③連接CM,作切?_LCM,垂足為H,若A8=4,則OR的最大值=.

通關指導

本題是相似形綜合題，主要考查了新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和

判定等知識，利用對稱性和垂線段最短確定出最小值是解本題的關鍵.

【例2】（2024?江西九江?一模）新定義：若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱這個三角形

為比例三角形.例如：三邊的長分別為A8=l,BC=2,AC=0.因為AC2=/\B.8C,所以“WC

是比例三角形.

【問題提出】

（1）已知“8。是比例三角形,AR=2,BC=4,求AC的長:

【問題探究】

(2)如圖1,P是矩形A8C。的邊8c上的一動點，4Q平分NP4。，交邊8c于點0,ZAPD=ZPQD.

①求證：△APD^DQP；

②求證：△■「￡>是比例三角形.

【問題延伸】

(3)如圖2,在(2)的條件下，當AB=1,八2=。時，點C與點。能否重合？若能，求出/的值；若不

能，請說明理由.

名校模擬

1.(23?24九年級上?吉林松原?期末)定義：對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無

重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱為鑲嵌四邊形.

①②③

(1汝口圖1,將以IBC紙片沿中位線四折登，使點A落在邊上的。處，再將紙片分別沿E尸，用折疊,

使點3和點C都與點O重合，得到雙層四邊形瓦6〃，則雙層四邊形EAG”為形.

⑵YA5CD紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形瓦’G〃為矩形，若EF=5,EH=12,求AO的長.

(3)如圖3,四邊形ABC。紙片滿足AO〃5C,AD<BC,ABJ.BC,A6=8,8=10.把該紙片折疊，

得到雙層四邊形為正方形.請你畫出一種折疊的示意圖，并直接寫出此時8C的長.

2.(2023?廣東廣州?一模)定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四

邊形.

圖①圖①備用圖圖②

（1）如圖①，等腰直角四邊形ABC。，AB=BC=4,ZABC=90°.

①若8=3,AC_LC。于點C,求AO的長；

②若AO=OC,zfADC=45°,求5。的長；

⑵如圖②，在矩形A8C0中AB=6,8c=15,點尸是對角線80上的一點，且BP=2PD,過點尸作直線

分別交邊A。，BC于點、E,F,要使四邊形45在:是等腰直角四邊形，求AE的長.

題型三菱形中的新定義問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?黑龍江哈爾濱?一模）請閱讀下面材料，并完成相關任務：

定義：點P是“8c內(nèi)部或邊上的點（頂點除外），在&PBC,3或VPC4中，如果有一個三角形與以8c

相似，那么稱點P是“BC的"相似點”.

例：如圖①，點P在J3C的內(nèi)部，4PBe=/BCA,NPC8=NA,則故點P為“3。的

“相似點”.

請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題：

（1）如圖②，在中，AB=AC,ZA=36°,尸。平分NAC8,求證：點P為的"相似點”；

⑵如圖③，若J3C為銳角三角形，點E是乂的“相似點”，且點6與點A對應，點E在/A8C的平分

__廿BC3_p.BF

線BF上，連接CE,若二入="^，求F7的值；

AC5AB

(3)如圖④，在菱形AS8中，E是AB上一點，尸是“BC內(nèi)一點，且AC=4石尸，連接。石與AC交于點G,

連接。凡GF,若點G是/)斯的“相似點”，且NEDF=NBAC=NFGC,求證：DE=2EF.

通關指導

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意，找準相似三角形的對應關系是解題關鍵.

【例2】(22-23八年級下?江蘇南京?期末)定義：若一個四邊形只有一組鄰邊相等，且這組鄰邊夾角所對的

對角線平分一個內(nèi)角，則稱這樣的四邊形為"近似菱形例如：如圖①，在四邊形ABCO中，AB=AD,

若8￡＞平分/ABC,則四邊形A8C拉是近似菱形.

AA

圖①圖②圖③

(1)如圖②，在四邊形A8C。中，AB=AC,AD//BC,ZCAD=2ZDBC.

求證：四邊形ABC。是"近似菱形"，

⑵如圖③，已知線段B。，求作“近似菱形"A8C。，使得=BO平分/ABC,且NA與/C互補.

要求：①尺規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.

(3)在(2)的條件下，"近似菱形"A3CO中NA的取值范圍是.

名校模擬

1.定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱該三角形為中垂三角形.

￡-D

⑴如圖（a）,“BC是中垂三角形，分別是ACBC邊上的中線，且即_LAE于點0,若如E=45。,

求證：是等腰三角形.

⑵如圖M在中垂三角形A8C中，AE,8。分別是邊8C,AC上的中線，且于點O,求證:

AC2+BC2=5AB2.

（3）如圖（c）,四邊形A8CO是菱形，對角線AC3O交于點0,點M,N分別是04,0。的中點，連接

并延長，交于點E.求證：二8CE是中垂三角形；

題型四正方形中的新定義問題

典例精講口

【例1】（新考法，拓視野）（2024?江西宜春?一模）定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“等補四邊

形”.如圖1,四邊形A6C。中，AD=CD,4+NC=180,則四邊形A6CD叫作“等補四邊形”.

①在以下四種圖形中，一定是“等補四邊形”的是（）

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

②等補四邊形ABCO中，若NB:NCND=2:3:4,則N4=_；

③如圖1,在四邊形A8C及中，80平分/ABC,AD=CD,BC>BA.求證：四邊形A8CD是等補四邊

形.

(2)探究發(fā)現(xiàn)

如圖2,在等補四邊形A8CO中，AB=AD,連接AC,AC是否平分N8C。？請說明理由.

(3)拓展應用

如圖3,在等補四邊形A3CO中，=其外角NEW的平分線交8的延長線于點尸，CD=IO,Af=5,

求。尸的長.

通關指導

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，“等補四邊形"

的概念，正確引出鋪助線解決問題是解題的關鍵.

【例2】(2024?浙江?一模)定義：在四邊形內(nèi)，如果有一點和一組對邊組成的兩個三角形都是以對邊為斜邊

的等腰直角三角形，那么這個四邊形叫做蝴蝶四邊形.例如圖1,ZAMB=NCMD=90。,

MA=MB,MC=MD,則四邊形ABCO為蝴蝶四邊形.

(1)【概念理解】如圖2,正方形ABCD中，對角線AC與6。相交丁O.求證：正方形〃68為蝴蝶四邊形；

⑵【性質(zhì)探究】如圖3,在蝴蝶四邊形ABCD中，Z4MB=ZCAfD=90°.求證：AC=BD；

⑶【拓展應用】如圖3,在蝴蝶四邊形ABC。中，NAM8=NCMD=90°,MA=MB=&MC=MD=1.當

▲ACO是等腰三角形時，求此時以8。為邊的正方形的面積.

名校模擬

1.定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作完美四邊形.如圖1,四邊形A8CO中，AB=BC,

ZB+ZD=180°（或NA+NC=180°）,則四邊形A8CO叫作完美四邊形.

⑴概念理解：在以下四種圖形中：①平行四邊形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是"完美四邊形"的

是;（填寫序號）

⑵性質(zhì)探究：如圖2,完美四邊形A8C。中，AB=AD,NBAO=90°,請用等式表示線段4C,BC,CD

之間的數(shù)量關系，并證明，

⑶拓展應用：如圖3,已知四邊形A8CD是完美四邊形，ZADC=60°,AB+BC=6,BCHCD,

當14BCX3時，求四邊形4BCD面積的最大值.

2.（2023?湖南?一模）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形稱為“等補四邊形

⑴下列選項中一定是“等補四邊形”的是:

A.平行四邊形；B.矩形；C.正方形；D.菱形

⑵如圖1,在邊長為〃的正方形A8co中，E為。。邊上一動點（E不與C、。重合），AE交BD于點、F,過

?作用_LAE交于點

圖1圖2備用圖

①試判斷四邊形4778是否為“等補四邊形”并說明理由;

②如圖2,連接切，求△CE"的周長：

③若四邊形EC”廠是“等補四邊形"，求CE的長.

3.（2024?江蘇淮安?模擬預測）在初二下學期我們學習了三角形中位線的定義以及三角形中位線定理，并且

能用相關知識解決問題.

【問題再現(xiàn)】

己知：如圖1,在“BC中，。、E分別是邊48、AC的中點，求證：DE〃BC,DE.BC

【簡單應用】

(1)如圖2,4、8兩地被建筑物阻隔，為測量A、8兩地的距離，在地面上選一點C,連接C4、CB,分

別取C4、C3的中點。、E.測得0E的長為20m,貝ijA、8兩地的距離為m.

圖2圖3

(2)如圖3,在四邊形A8C。中，AD〃BC,懸E、尸分別是8。和AC的中點，AZ)=3,8C=5,求痔的

長.

【靈活運用】

如圖4,在邊長為6的正方形ABCO中，點E是BC上一點,點尸是A8上一點，點尸關于直線OE的對稱

點G恰好在8c的延長線上，F(xiàn)G交DE于點H,點M為AD的中點,若MH=M，求鴕的長.

圖4

題型五圓中的新定義問題

典例精5

【例1】（新考法，拓視野）（2024?湖南長沙?一模）定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四

邊形

圖1圖2

⑴若Y48CD是圓的“奇妙四邊形”，則YA8C。是（填序號）：

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如圖1,已知：。的半徑為R,四邊形A8CD是O。的“奇妙四邊形求證：AB2+CD2=4R2;

（3）如圖2,四邊形A8CA是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點，ZAPD=ZBPC=9O0,/ADP=/PRC,BD=4,

_AP

且=當DC的長度最小時，求能的值.

通關指導

本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應用，圓周角定理的應用，一元二次方程的解法，熟練

的建立數(shù)學模型并靈活應用是解本題的關鍵.

【例2】（2023?江蘇泰州?三模）【概念認識】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

4

（1）如圖1,已知在垂等四邊形A8CD中，時角線4C與8。交于點E,若4B=4cm,cosZABD=-,

則AC的長度=cm.

【數(shù)學理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動中，小李想到可以利用八年級的所學三角形全

等.如圖2,在OO中，已知A8是弦，04、0B是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形ABCQ.（要求：尺

規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

【問題解決】（3）如圖3,已知A是。。上一定點，8為0O上一動點，以48為一邊作出。。的內(nèi)接垂等四

邊形（A、B不重合且A、B、。三點不共線），對角線AC與8。交于點E,OO的半徑為2式,當點￡到AO

的距離為右時，求弦AB的長度.

圖1圖2圖3

名校模擬

1.（2。23?江蘇宿遷?模擬預測）數(shù)學活動課上，指導老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相

等的凸四邊形叫做對等四邊形.同時老師還給出如下幾個問題，請同學們幫忙解決：

⑴如圖1,在平面直角坐標系中，小正方形的邊長均為1,已知4、B、C、。在格點（小正方形的頂點）上,

且以48、BC為邊的四邊形A8CZ）是對等四邊形，則頂點。的坐標為：

（2）如圖2,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是OO的直徑，AC=BD.求證：四邊形A3CZ）是對等四邊形

⑶如圖3,在RUP8C中，ZPCB=90°,fiC=10,tan^BPC=^,點、A為PB中點、,動點。從點P出發(fā),

沿PC以1/秒的速度向終點C運動.設運動時間為，秒，若四邊形ABCD是對等四邊形時，求，的值.

2.（2023?四川遂寧?一模）定義1：如圖1,若點//在直線/上，在，的同側有兩條以〃為端點的線段

滿足Z1=Z2,則稱MH和NH關于直線/滿足“光學性質(zhì)〃；

定義2：如圖2,在AABC中，的三個頂點P、Q、R分別在8C、AC.A8上，若種和關于8C

滿足“光學性質(zhì)〃，和RQ關于AC滿足〃光學性質(zhì)〃，網(wǎng)和QR關于A8滿足"光學性質(zhì)"，則稱二尸QR為58C

的光線三角形.

閱讀以上定義，并探究問題:

在41BC中，ZA=30°,AB=AC,4）歷三個頂點。、E、產(chǎn)分別在BC、AC、A6上.

⑴如圖3,若FE"BC,OE和莊:關于AC滿足“光學性質(zhì)〃，求/瓦心的度數(shù)；

（2）如圖4,在“8C中，作CrXAB于F,以48為直徑的圓分別交AC,BC于點E,D.證明：AEF為

J3C的光線三角形.

3.（2023?廣東陽江?三模）定義：二ABC中,ZA+2N8=90。，則稱二ABC為倍余三角形.

圖2備用圖

⑴下列說法正確的是

①倍余三角形一定是鈍角三角形；

②等腰三角形不可能是倍余三角形.

⑵如圖1,..ABC內(nèi)接于OO,點。在直徑8c上（不與8,C重合），滿足AB=AO,求證：一AC。為倍余

三角形:

（3）在（2）的條件下，

①如圖1,連接A。，若薛4。。也為倍余三角形，求NC的度數(shù)；

②如圖2,過點。作OE_LBC交4c于點E,若-ABC面積為心包定面積的7.5倍，求空的值.

搶分秘籍12幾何圖形中新定義型問題

（含三角形，特殊的平行四邊形，圓綜合）（壓軸通關）

目錄

【中考預測】預測考向，總結?？键c及應對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略（含新考法、新情境等）

（I中考預測

二角形.特殊的平行四邊形.圓中新定義型問題是全國中考的熱點和壓軸內(nèi)容,更是全國中考的必考

內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。

1.從考點頻率看，三角形，特殊的平行四邊形，圓中新定義型問題主要是依據(jù)基本圖形的性質(zhì)定理去

解決新提出來的新問題，也是高頻考點、必考點綜合性較強。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實不少！

■（搶分通關

題型一三角形中的新定義問題

典例精也

［例I］（新考法，拓視野）（2023?江蘇蘇州?二模）定義：如果三角形的兩個。與夕滿足&-2=90>那

么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”.

⑴若㈤是“奇妙互余三角形"，ZA>90°,ZB=20°,則/C的度數(shù)為

9

(2)如圖1,在RtZXABC中，NA=90。，若45=4,8c=5,點。是線段AB上的一點，若=：，判斷△BCD

4

是否是“奇妙互余三角形”，如果是，請說明理由；

(3)如圖2,在四邊形A8CD中，AC,BD是對角線,AC=4,8=5,ZBAC=90°,若NACD=2NA5C,

且△5C0是“奇妙互余三角形”，求處的長.

【答案】⑴35?；?0。

⑵△3CD是“奇妙互余三角形”，理由見解析

(3)3萬

【分析】(1)由題意知，“奇妙互余三角形”分44-/8=90。和44-/。=90。，兩種情況求解：根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理計算求解即可；

(2)如圖1,過點。作龐〃47交BC于E,由勾股定理得AC=?刃-=3，CD=jAD2+AC2=-^,

7

-

則皿=二，證明△8￡>Es/ijMC,則也二巨=——,即4

-BEDE,解得BE=之，DE=—,

4ABBCAC4—=—1616

CE=BC-BE=—,由===，NDCE=NBCD,證明則/C0E=NCBO,

16CDBC

ZBDC-ZCBD=90P,進而可得△SCO是“奇妙互余三角形”；

(3)如圖2,將“BC沿8c翻折到二EBC,DE=CE+CD=9,ZABE+Z4CE=180°,由

ZACD=2ZABC=ZABE,可得NACD+44CE=180。，則。、C、E三點共線，由N88-NABC=90°,

BEDFRF9

△BCD是“奇妙互余三角形”,可得ZBDC=ZABC=/CBE，證明..BED^.CEB，則——=—，即一=——,

CEBE4BE

解得跖=6,由勾股定理得80=7^而m,計算求解即可.

【詳解】(1)解：由題意知，“奇妙互余三角形“分4一/5=90。和NA—NC=90。，兩種情況求解：

①當乙4-46=90。時，

0/8=20°,

az4=iio°,

由NA+NB+NC=180°,可得NC=50。；

②當NA-NC=90。時，

0ZB=2O°,ZA+ZB+ZC=180°,

@ZA+ZC=160°,

解得NC=35。；

綜上，NC的值為35?；?0。，

故答案為:35?；?0，

(2)解：△BCD是“奇妙百余三角形”，理由如下：

如圖1,過點。作龐。交BC于E,

由勾股定理得AC=JBC2-4夕=3,CD=>JAD2+AC2=^,

9

^AD=~,

4

7

回8。=一，

4

^DE//AC>

團ABDEs公BAC,

7

-35

解

生

得

BDBEDE即45=---2I-

13--=--=--,-=-16DE

ABBCAC4316

0CE=BC-BE=——，

16

45

一3

C15

會73

0-16-

C154-

-一-

454

團在二空

NDCE=NBCD,

CDBC

MDCEs^BCD,

?NCDE=NCBD,

自4BDC—/CDE=%°,

BNBDC—/CBD=9Q°,

團△8C。是“奇妙互余三角形”;

（3）解：如圖2,將以8c沿8。翻折到.E8C,

ZE=ZftAC=90°,

^\DE=CE+CD=9,NABE+NACE=180。，

^ZACD=2ZABC=ZABE,

0ZACD+ZACE=18O°,

回。、C、E三點共線，

^\ZBCD=ZACD+ZACB=2ZABC+ZACB=9(r+ZABC,

(3N8CD-NABC=90°,

團△BCO是“奇妙互余一:角形”，

田NBCD-NBDC=90°,

團4BDC=ZABC=/CBE，

9NBDE=NCBE,ZBED=ACEB,

⑦uBE*一CEB,

嚕窄，即華=2'解得BE=6,

由勾股定理得8。=yjBE2+DE2=3>/13，

0友）的長為3M.

通關指導

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識.解題

的關鍵在于理解題意并對知識進行靈活運用.

【例2】（2023?吉林長春?二模）【定義】如圖①，若內(nèi)一點P滿足NP4B=NP8C=NPC4,則點P

為的布洛卡點.

【探究】（1）如圖②，在“5C中，AB=AC,點P是以8c的一個布洛卡點.

求證：4AB—4BCP.

【應用】（2）如圖③，在【探究】的條件下，若N8AC=90。，且PBvPC.判斷AP與CP的數(shù)量關系，并

說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）CP=2AP,見解析

【分析】（1）找△ABPs/\3CP,證明過程利用等腰三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過找出三個角分別

對應相等來證明;

（2）根據(jù)“1BC是等腰直角三角形，得到AB=^BC,由（1）知△A8Ps/\8CP,根據(jù)相似三角形的性

2

質(zhì)得到"="=組=也，于是得到CP=?BP，即可得到C尸=2AP.

CPBPBC22

【詳解】（1）證明：AB=AC,

ZABC=ZACBt

，點?是“BC的一個布洛卡點，

..ZPBC=NPCA

:.ZABP=ZBCP,

kABjBCP；

（2）解：C尸=2A尸，

理由：..ABC是等腰直角三角形，

AB=—BC^

2

由（1）知△ABW^BCP,

.BPAPAB。2

??—=--=-=—,

CPBPBC2

???AP=—BP，CP二五BP，

2

:.CP=2AP.

【點睛】本題是相似形的綜合題，考查了新概念問題、等腰三角形、等腰直角三角形、相似三角形的判定

定理和性質(zhì)、涉及知識點多，綜合性強，解題的關鍵是：通過閱讀材料，弄明白題中的新定義或新概念，

然后利用概念及靈活運用所學知識點進行解答.

名校模擬

1.（2023?山東青島?一模）定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形.如

圖①，人力是以BC的中線，下是八￡＞的中點，則AF“C是中原三角形.

⑴求口原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）.

（2）如圖②，AO是“的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE,6后與4。相交于點憶連接CF.求證:

二尸8c是中原三角形.

（3）如圖③，在（2）的條件下，延長Cr交于點M,連接ME,求△莊M與的面積之比.

【答案】（1）中原三角形與原三角形的面積之比為1：2

(2)見解析

⑶AFEM與.ABC的面積之比為1:18

【分析】(1)由尸是A。的中點，可得S.Mc=gs&c，SDFB=；SD&B，即有5改=35.杵，故中原三角形

與原-:角形的面積之比為1:2；

(2)作CE的中點G,連接。G,由AD是的中線，可得DG是ABCE的中位線，CE=2EG,即得

BE//DG,即所〃DG,根據(jù)AC=3A￡,CE=2AE,可得AE=EG,即得"=。尸，從而3fBe是中

原三角形；

(3)過。作O”〃CM交于H,由DH〃CM,。是8c中點，F(xiàn)是AO口點，可得AM=MH=BH，

AF1AMMFAF1

即知---=—=----?可得△AA/Es/\A5C,有NAA/E=N/3C,——=——=—?從而ME〃BC,

AC3ABBCAC3

q

，再根據(jù)FBC=^S,即得△陽與^ABC的面積之比.

△MEFs^CBF,即有巳典=1sABC0

2血

【詳解】(1)解：??/是AO的中點,

口SDFC=-5加c，SDFB=2S.DAB，

團SDFC+S[)FB='^^.DAC+DAB,

囹SF*=耳s八比，

13中原三角形與原三角形的面積之比為1：2:

(2)證明：作CE的中點G,連接。G,如圖:

團AD是“IBC的中線，

(3。是8C中點，

13G是CE中點，

團ZX；是BCE的中位線，CE=2EG,

BBE〃DG,即律〃DG,

0AC=3AE,

^CE=2AE,

團AE=EG,

又丁EF//DG,

^AF=DF＞即尸是A。中點，

團&總C是中原三角形；

(3)解：過。作交A臺于“，如圖:

⑦DH〃CM,。是3C中點,

0DH!/MF、尸是A。中點，

回4M=M”，

⑦AM=MH=BH，

AM

0——=

AB3

0AC=3AE,

^團A--E-=-1=-A--M-，

AC3AB

又,:ZMAE=^BAC,

MEAE1

回NAME=NA8C,

SC-7C-3

BME//BC,

MEFS&CBF,

團△陽0叮一48c的面積之比為1:18.

【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例以及相似三角形的判定

和性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關鍵.

2.（2023?江蘇揚州?二模）給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重

合且其中一個等腰三角形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友

好三角形”.

⑴如圖①，以灰7和VAOE互為“友好三角形”，點。是BC邊上一點（異于8點），AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=nf,連接CE,則CEBD（填或"=”或"〉"），甌E=。（用含機的代

數(shù)式表示）.

（2）如圖②，和VADE互為“友好三角形”，點D是8c邊上點，AB=AC,AD=AE,

NBA。=NAME：=60°,M、N分別是底邊8C、。石的中點，請?zhí)骄縈N與C石的數(shù)量關系，并說明理由.

（3）如圖③，和VA0E互為“友好三角形”，點。是8C邊上一動點，AB=AC,AD=AE,

N84C=NZME=90°,BC=6,過。點作OF1AD，交直線CE于/點，若點O從B點運動到C點，直接

寫出尸點運動的路徑長.

【答案】⑴=,180-m

°MN>/3

⑷----=—

CE2

喧

【分析】（1）由0C=ZDAE=",可得NE4P=NC4E,證明△3AOg4C4E（SAS）,則BO=CE,

ZACE=ZABD,根據(jù)N8CE=N8C4+NACE=N/C4+NAB。，計算求解可求N8CE；

（2）如圖②，連接AN,AM,由等邊三角形的性質(zhì)可得AN_LOE,AM±BC,NZMN=30。，ZBAM=30°,

則NM4N=NB4D,—=—=^,證明AMANSABA。，則絲=絲=走，同（i）可證

ADAB2BDAD2

△^D^ACAE（SAS）,則BO=CE,進而可得上凹=走；

CE2

（3）由題意知，/在直線CE上運動，由（1）可知，ZBC￡=180°-ZE4C=90°,即CE_L5C,如圖③,

過A作40SBC于O,則。為5c的中點，當點。在5點時，尸點與G點重合，由AB=AC,ZfiAC=90°,

BC=6,可得NABC=45。，AO=CO=3,則NCBG=-ZABC=45。,CG=BC=6,當點O運動到

O點時，尸點與C點重合，當點。運動到8點時，尸點與尸點重合，則N0A0=NSF',gADs.CDF',

則需"嗡‘即焉=￥，解得,.(3-十3,由T<O,可知當3號

334

3

時，CF最大，值為二，當點。從R點運動到C點，點尸從尸'回到。點，根據(jù)尸點運動的路徑長為GC+2CF',

4

計算求解即可.

【詳解】(1)解：VZBAC=ZBAD+ZDAC,ZDAE=ZDAC+ZCAE,HC=ZmE=",

回N54)=NC4E,

在和VC4E中，

AB=AC

團(N8AO=NC4E,

AD=AE

團△&U屋△CAE(SAS),

回BO=CE,ZACE=ZABD,

0NBCE=ZBG4+ZACE=/BCA+ZABD=180°-ABAC=180°-//f,

故答案為：=,180—/7z：

(2)解：—=^,理由如下：

CE2

如圖②，連接AN,AM,

圖②

由題意知，一ABC和VAC近均為等邊三角形，

團M、N分別是底邊8C、OE的中點，

0/W1DE,AMLBC,ZZWV=30°,ZBAM=30°,

^ZDAN=ZDAM+^MAN,ZBAM=ZBAD+ZDAM，/DAN=4BAM,

24MAN=4BAD,

r^AN?6AM?G

0---=sinZ.ADE=—,----=sin/ABC=—,

AD2AB2

⑸ANAMG

ADAB2

團乙M4Ns?84。，

應

團□-M--N=-A--N=---

BDAD2

同（1）可證△BAOg2\CAE（SAS）,

^BD=CE,

6MNG

CE2

(3)解：由題意知，尸在直線CE上運動，

由(1)可知，NBCE=180°-N84C=90°,即CE_L3C,

如圖③，過A作AO/BC于O,則O為3c的中點，當點。在B點時，尸點與G點重合,

0AB=AC,NB4C=90°,BC=6,

*ABC=45。，AO=CO=3,

0NCBG=ZABG-ZABC=45°，

⑦CG=BC=6,

當點。運動到O點時，F(xiàn)點號C*重合，

當點D運動到次點時，尸點與尸'點重合，則NOAD=NSF',

0ZAOty=Z￡KCF=90°,

CF'DfCCF13-00'

0-----=------,gnpn------=----------，解得e_（3-0。）06

OD'AOOD'3C-i=

3

a-i<o,

33

0當。0=5時，CF最大，值為z，

當點。從DC點運動到C點，點尸從9回到C點,

團尸點運動的路徑長為GC+2b'=6+2x：=?,

42

回點。從8點運動到C點，F(xiàn)點運動的路徑長為與.

2

【點睛】本題考查「等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)

的性質(zhì)，正弦，三角形內(nèi)角和定理.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

3.(2023?浙江寧波?二模)定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的平分線兩側，則稱這樣的兩個相似

三角形為會似三角形.

⑴如圖1,四邊形八38中，對角線AC平分NOM),NBCD+gN即。=180°,求證；△人C2和△ADC為

疊似三角形；

⑵如圖2,/XACB和八4￡心為疊似三角形，若AB〃CD,力。=4,AC=6,求四邊形A8C。的周長；

⑶如圖3,在中,/)是上一點，連接AO,點E在AO上，且。E=OC,F為AC中點，且4EC=ZA￡F,

EF

若5c=9,AE=4,求——的值.

BE

【答案】(I)見解析

⑵23

(拈

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟記定理內(nèi)容進行幾

何推理是解題關鍵.

(1)根據(jù)J/3AO+ND+NOCA=180。，結合條件NBCO+gN8A180。，可得NZ)+NDC4=NBC。：

再由N8G4+NDC4=N8CO可得ND=NBC4,即可求證；

(2)由條件可推出4)=CO=4,AC=BC=6；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)黑=黑求出AB的長度即可

ACAD

求解；

CGCEGE

(3)作CG〃A。，證△8反32\反也得出H=H==；再證△HFE且△CFG得出AE=CG=4,

CEBCBE

EF=；EG.即可求解.

【詳解】(1)證明：???AC平分NBA。,

團4DAC=Z.CAB=-ABAD

2

0Z￡MC-t-ZD+ZDCA=180°,

0-/BAD+ZD+ZDCA=180°

2

回NBCD+gZBAD=180°,

0ZD-ZDC4=ZBCD

回/BCA+ZDCA=/BCD

回ND=N3C4,

團ZXACBsVAOC

團AACB和△ADC為疊似三角形

(2)解：VAB//CD,

回NDC4=NC4B

由(1)得：ZZMC=ZC4B

0ZZMC=ZDC4

@AD=CD=4

回△ACS和△APC為疊似三角形,

13ZDCA=NCBA，――=——

ACAD

(3NCB4=NCAB,

0AC=8C=6,

64

0AB=9

四邊形ABC。的周長為：A6+BC+8+AP=9+6+4+4=23

(3)解：作CG〃4O,如圖所示：

?DE=DC,

田/DEC=/DCE

^CG/7AD

NOEC=NGCE,ZAEG=ZG

:.ADCE=Z.GCE

?NBEC=ZAEF,

:.NBEC=NG

:ZECs^EGC

.CGCE二GE

'~CE~~BC~~BE

（3戶為AC中