歷年初三數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)訓(xùn)練11-分類討論解答通關(guān)50題（含答案）

分類討論解答通關(guān)50題(含答案)

1.(1)討論QX<匕的解集.

⑵解關(guān)于〃的不等式「京4+意

2.如圖，在RtAABC中，“=90。,AC=3fBC=4,點M在邊4B上

以1單位長度/秒的速度從點A向點B運動，運動時間為3運動到點B

時停止.連接CM,將A4CM沿著CM對折，點4的對稱點為點4.

(1)當(dāng)CM與AB垂直時，求點M運動的時間；

(2)當(dāng)點4落在A/IBC的一邊上時，求點M運動的時間.

3.如圖1,正方形4BCD白，點E在BC的延長線上，點F是線段BE上

一動點，連接4F,過點4作的垂線，交射線CD于點G,點F從點

8出發(fā)，沿BE方向運動，當(dāng)點F與點E重合時運動停止.設(shè)線段BF

的長為無,△CFG的面積為S,S關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示(其中

0<%<4與4<%Wm時，函數(shù)的解析式不同).

(1)填空：8E的長度為；

(2)求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

4.如圖，拋物線y二-產(chǎn)+5%+ri經(jīng)過點4（1,0）,與y軸交于點B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是y軸正半軸上一點，且APAB是等腰三角形，試求點P的坐

標(biāo).

5.如圖1,△「（?/?與△ABC均為等腰直角三角形，其中乙RPQ=4C=90。,

點P在線段BC上，RQ//BC,APQR沿8C方向運動，開始時點P與

點B重合，當(dāng)點P和點C重合時運動停止，設(shè)線段BP的長為工,△

PQR與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示

（其中2V2<%<m,時，函數(shù)的解析式不

同）.

（1）填空：m的值為；

（2）求S關(guān)于無的函數(shù)關(guān)系式，并寫出無的取值范圍.

6.如圖1,點B是線段AC的中點，以線段BC為邊作矩形8CDE,點P是

線段4c上一動點，連接DP,過點D作DP的垂線，交射線8E于點F,

點P從點4出發(fā)，沿AC方向運動，當(dāng)點P和點C重合時運動停止，設(shè)

線段4P的長為％,AP8F的面積為S,S關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示

(其中0W%W2,時，函數(shù)的解析式不同).

(1)填空：CD的長度為；

(2)求S關(guān)于4的函數(shù)關(guān)系式，并寫出力的取值范圍.

7.如圖，點4在數(shù)軸上表示的數(shù)是-4,點8表示的數(shù)是+8,P,Q兩點

同時分別以1個單位/秒和2個單位/秒的速度從4,B兩點出發(fā)，沿數(shù)

軸運動，設(shè)運動時間為t(秒).

----?4------??-8----->>

/I------------0---------------------------8

(1)線段AB的長度為個單位；

(2)如果點P向右運動，點。向左運動，幾秒后PQ=：4B?

(3)如果點P,Q同時向左運動，M,N分別是PA和BQ的中點，是

否存在這樣的時間t使得線段MN=：48?若存在，求出t的值；若不

存在，請說明理由.

8.如圖1,在RtAABC中，44c8=90。，CD_L48,點。為垂足，將4

4CD沿射線48平移，平移后圖形記作△AC7T,設(shè)平移的距離為，△

AC7T與△BCD重合部分的面積為y,y關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示

(其中0<%?加，m<x<4,4<%W至?xí)r，函數(shù)的關(guān)系式不同).

4

(1)填空：BC的長為；

(2)求y關(guān)于'的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

9.如圖，拋物線y=a%?+力％+c(a=0)與y軸交于點其0,4),與以軸交

于點4和點從其中點4的坐標(biāo)為(-2Q),拋物線的對稱軸是直線尤=

1.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點F是直線上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使

四邊形ABFC的面積為15,若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

10.如圖，直線y=-%+2與％軸、y軸分別相交于A,B兩點，拋物線

y--x2+bx+c經(jīng)過點A和點B,C是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,

過點。作CD1%軸于點D,交直線AB于點E.

（1）求拋物線的解析式.

（2）求線段CE長度的最大值.

（3）當(dāng)線段CE長度最大時，拋物線上是否存在點P,使二

SMBC（點P與點。不重合），若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存

在，說明理由.

11.在已知線段4B的同側(cè)構(gòu)造/R4B=匕GB4并且在射線4F,BG上分

別取點。和E,在線段48上取點C,連接DC和￡C.

(1)如圖，若4D=3,BE=1,△ADC^△BCE.在乙FAB=

LGBA=60°或LFAB=LGBA=90°兩種情況中任選一種，解決以

下問題：

①線段48的長度是否發(fā)生變化，直接寫出長度或變化范圍：

②NDCE的度數(shù)是否發(fā)生變化，直接寫出度數(shù)或變化范圍.

(2)若AD=a,BE=b,LFAB=LGBA=a,且△ADC和△BCE這

兩個三角形全等，請求出：

①線段的長度或取值范圍，并說明理由；

②/DCE的度數(shù)或取值范圍，并說明理由.

12.如圖，已知拋物線m\y-ax2-6ax+c(a>0)的頂點4在x軸上，

并過點B(0,l),直線n:y=(與％軸交于點D，與拋物線小的

對稱軸I交于點F,過B點的直線BE與直線n相交于點E(-7,7).

(1)求拋物線m的解析式；

(2)P是/上的一個動點，若以B,E,P為頂點的三角形的周長最小,

求點P的坐標(biāo)：

(3)拋物線加上是否存在點Q,使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點

D?若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13.如圖甲，在△ABC中，44cB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果點

P由點B出發(fā)沿84方向向點4勻速運動，同時點Q由點4出發(fā)沿4c

方向向點。勻速運動，它們的速度均為lcm/s.連接PQ,設(shè)運動時間

為t(3)(0<t<4),解答下列問題：

圖甲

(1)設(shè)A4PQ的面積為S,當(dāng)￡為何值時，S取得最大值?S的最大值

是多少？

(2)如圖乙，連接PC,將△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQPC,當(dāng)

四邊形PQPC為菱形時，求￡的值；

p'

圖乙

(3)當(dāng)t為何值時，AAPQ是等腰三角形?

14.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與％軸的一個交點為4(3,0),與y

軸的交點為8(0,3),其頂點為C,對稱軸為欠=1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)己知點M為y軸上的一個動點，當(dāng)△48M為等腰三角形時，求

點M的坐標(biāo)；

(3)將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0VmV3)得到另一個

三角形，將所得的三角形與A/IBC重疊部分的面積記為S,用m的

代數(shù)式表示S.

15.如圖,拋物線與％軸交于4(%i，0),3(%2,0)兩點,且％1>%2,與V軸

交于點C(0,4).其中如牝是方程/一2x-8=0的兩個根.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)點P是線段AB上的動點，過點P作PE〃4C,交BC于點E,連

接CP,當(dāng)ACPE的面積最大時，求點P的坐標(biāo)：

(3)探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q,使

△QBC成為等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.如圖，在AMNQ中，MN=11,NQ=3瓜cos/V=y.在矩形

力BCD中，BC=4fCO=3,點4與點M重合，AD與MN重合，矩

形ABC。沿著MQ方向平移，且平移速度為每秒5個單位，當(dāng)點A與

點Q重合時停止運動.

(1)MQ的長度是；

(2)運動秒，BC與MN重合；

(3)設(shè)矩形4BCD與AMNQ重疊部分的面積為S,運動時間為￡,求

出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍，

17.如圖，矩形48C。中，AB=2,BC=2瓜將矩形沿對角線4c剪開,

請解決以下問題：

備用圖

(1)將AACD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AC”,請在備用圖中畫

出旋轉(zhuǎn)后的△AC。，連接44,并求線段AA的長度；

(2)在(1)的情況下，將A4C。沿CB向左平移的長度為￡(0<￡<

2V3),設(shè)平移后的圖形與△ABC重疊部分的面積為S,求5與￡的

函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍.

18.如圖，直線y=—；x+3與工軸交于點C,與y軸交于點8,拋物線

4

y=a/+三％+c經(jīng)過B,C兩點.

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一個動點，當(dāng)ABEC面積

最大時，請求出點E的坐標(biāo)和ABEC面積的最大值？

(3)在(2)的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線于點M,連

接4M,點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P,

使得以P，Q，4M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，請直

接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

19.如圖，己知拋物線經(jīng)過原點0,頂點為4(1,1),且與直線y=交

于8,。兩點.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);

(2)求證；△ABC是直角三角形；

(3)若點N為％軸上的一個動點，過點N作MN1%軸與拋物線交于

點M,則是否存在以0,M,N為頂點的三角形與AABC相似?若存

在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.如圖1,△48。中，ZC=9O°,線段DE在射線8C上，且DE=4C,

線段DE沿射線BC運動，開始時，點。與點B重合，點。到達(dá)點C

時運動停止，過點。作DF=DB,與射線BA相交于點凡過點E作

BC的垂線，與射線84相交于點G.設(shè)3。=%,四邊形DEG尸與△

ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<

時，函數(shù)的解析式不同)

x<m91<x<m,

(1)填空：BC的長是；

(2)求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0/BC的頂點0為坐標(biāo)原點，點

C在％軸的正半軸上，且8。10。于點。，點4的坐標(biāo)為(2,2同，

AB=4V3,48=60。,點D是線段0C上一點，且0。=4,連接4).

(1)求證；△40。是等邊三角形;

(2)求點8的坐標(biāo);

（3）平行于/W的直線/從原點。出發(fā)，沿?zé)o軸正方向平移.設(shè)直線/

被四邊形04BC截得的線段長為m,直線I與工軸交點的橫坐標(biāo)為t.

①當(dāng)直線/與冗軸的交點在線段CD上（交點不與點C,D重合）時，

請直接寫出小與￡的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量t的取值范圍）：

②若加=2,請直接寫出此時直線2與工軸的交點坐標(biāo).

22.如圖,在平行四邊形/BC。中,AB=4V2,44=45。，LADB=90%

點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點。運動.點G在射線

BD上，且EG=2BE（點G在E上方），以EG為對角線作正方形

EFGH,設(shè)點E的運動時間為￡（秒）.

（1）用含t的代數(shù)式表示DG的長：

（2）求點H落在AD上時t的值；

（3）設(shè)正方形EFGH與平行四邊形ABCD的重疊部分圖形的面積為S,

求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連接F4,直接寫出運動過程中線段掃過的圖形面積.

23.如圖，A4BC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高4D二

80mm,要把它加工成矩形零件，使一邊在8C上，其余兩個頂點分別

在邊AB,AC上.

(1)若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？

(2)若這個矩形的長是寬的2倍，則邊長是多少

24.如圖，直線y=2%-Q(Q<0)與y軸交于點A,與％軸交于點E,拋

物線y=y一2%+。的頂點為c,與y軸交于點8,直線BC與直線

AE交于點D.

備用圖

(1)求點8,C,D的坐標(biāo)；(用Q的代數(shù)式表示)

(2)拋物線上是否存在一點P,使得以P,A,B,。為頂點的四邊形

是平行四邊形?若存在，求出a的值及此時點P的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=Q/+以+2的圖象與工

軸交于4(一3,0),8(1,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P,使得△

4cp的面積最大?若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，說明理由；

(3)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x

軸，垂足為E,是否存在點Q,使以點B,Q,E為頂點的三角形與

△40C相似?若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

26.如圖，頂點為C(-1,1)的拋物線經(jīng)過點。(-5,-3),且與小軸交于4

B兩點(點B在點A的右側(cè)).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若拋物線上存在點Q,使得SAOAQ=5,求出點Q的坐標(biāo)；

(3)點M在拋物線上，點N在％軸上，且/MM4=，OCD,是否存在

點M,使得△4MN與△0。。相似?若存在，直接寫出點M的坐標(biāo);

若不存在，說明理由.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交工軸于點4(5,0),交y軸于點

B,｛。是OM的直徑，其半圓交48于點C,且4C=3.取80的中

點D,連接CD,MD和0C.

(1)求證：CD是OM的切線；

(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點。，M,4其對稱軸上有一動點P,連接

PD,PM,求APDM的周長最小時點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)APDM的周長最小時，拋物線上是否存在

點Q，使S“DM=6SM4M?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點，點4的坐標(biāo)為(20,0),點B

在第一象限內(nèi)，B。=10,sin，B04二三.

5

(1)在圖中，求作AZB。的外接圓(尺規(guī)作圖，不寫作法但需保留作

圖痕跡)；

(2)求點B的坐標(biāo)與COSNBAO的值；

(3)若4。位置不變，將點B沿x軸正半軸方向平移使得AAB。為

等腰三角形，請直接寫出平移距離.

29.在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形力BC的頂點力的坐標(biāo)為（0,-1）,

。的坐標(biāo)為（4,3）,直角頂點B在第四象限.

（1）如圖①，若拋物線y=++c過4B兩點，求該拋物線

的函數(shù)表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使其頂點在直線4C上滑動（對應(yīng)的頂點

記作點P）,且與力。交于另一點Q.

①如圖②，當(dāng)點Q在工軸上時，求點P坐標(biāo)；

②若點M在直線4c下方，且AMPQ是等腰直角三角形.當(dāng)點M在

（1）中所求的拋物線上時，求所有符合條件的點P的坐標(biāo)；

③取BC的中點N,連接NP,BQ.直接寫出NP+BQ的最小值.

4，

圖。

30.已知：如圖一，拋物線y=Q/+b%+c與％軸正半軸交于4B兩點,

與y軸交于點C,直線y=x-2經(jīng)過4C兩點，且48=2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位長度的速度

沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E,D,同時動點

P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位長度速度運動，(如圖

二)：當(dāng)點P運動到原點。時，直線DE與點P都停止運動，連接

DP,若點P運動時間為￡秒；設(shè)5=黑黑，當(dāng)t為何值時，s有最

EDOP

小值，并求出最小值;

(3)在(2)的條件下，是否存在￡的值，使以P,B,。為頂點的三

角形與AABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由，

31.如圖，已知。。與%都相切，0。的半徑為2cm,矩形

力BCD的邊力D,分別與小G重合，4B=4，5cm,4D=4cm,

若O。與矩形ABCD沿I.同時向右移動，00的移動速度為3cm/s,

矩形ABCD的移動速度為4cm/s,設(shè)移動時間為t(s),

(1)如圖①，連接。4AC,則。的度數(shù)為

(2)如圖②，兩個圖形移動一段時間后，0。到達(dá)05的位置，矩

形力BCD到達(dá)矩形4B1C1D1的位置，此時點G恰好在同

一直線上，求圓心。移動的距離(即。。］的長)：

4

\/

Dih

B'T—七

圖,

(3)在移動過程中，圓心。到矩形對角線4C所在直線的距離在不斷

變化，設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d<2時，求t的取值范圍(解答時

可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖).

32.如圖，二次函數(shù)、=。/+法+2的圖象與％軸相交于點4(一1,0),

8(4,0),與y軸相交于點C.

(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點P作PQL8C,

垂足為點Q,連接PC.

①求線段PQ的最大值；

②若以點P,C,Q為頂點的三角形與AABC相似，求點P的坐標(biāo).

33.如圖，己知RtAABC的直角邊AC與RtADEF的直角邊DF在同一條

直線上，且4c=60cm,BC=45cm,DF=6cm,EF=8cm.現(xiàn)

將點。與點F重合，再以4cm/s的速度沿C4方向移動△DEF；同時,

點P從點力出發(fā)，以5cm/§的速度沿4B方向移動，設(shè)移動時間為

t(s).以點P為圓心，3t(cm)長為半徑的OP與48相交于點M,

N.當(dāng)點F與點4重合時，ADEF與點P同時停止移動,在移動的過

程中，

(1)連接ME,當(dāng)時，t=；

(2)連接NF,當(dāng)NF平分DE時，求￡的值；

(3)是否存在0P與RtZkDE尸的兩條直角邊所在的直線同時相切的

時刻?若存在，求出￡的值：若不存在，說明理由.

34.如圖①，在A4BC中，AD=CD=3fBD=4,4D1BC于點D,直

線/_LAD于點G,分別交AB,AC于點M,M點P從點B出發(fā)，以

每秒g個單位長度的速度向點C運動，到點C停止.同時直線1從點力

出發(fā)，沿AD以每秒1個單位長度的速度向點D運動，到點D停

止.以MN為邊向下作正方形MNE/連接PN,點P的運動時間為t

(秒).

D

圖①

(1)4B的長為個單位長度.

(2)當(dāng)點P落在線段MF上時，求t的值.

(3)設(shè)正方形MNE尸與四邊形MNPB重疊部分圖形的面積為S(5>

0),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)如圖②，連接PE,PF,設(shè)aPEF與正方形MNEF面積比為

k.當(dāng)時:直接寫出t的取值范圍.

GA

圖。

35.把RtAABC和RtADE正按如圖⑴擺放(點C與E重合)，點B,

C(F),尸在一條直線上，已知：乙4cB=nED產(chǎn)=90°,/DE尸=45°,

AC=8cm,BC=6cm,FF=10cm.如圖(2),ADEF從圖(1)

的位置出發(fā)，以lcm/3的速度沿CB向AABC勻速移動，在ADEF

移動的同時，點P從A4BC的頂點4出發(fā)，以2cm/s的速度沿4B向

點B勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點P停止移動，也隨之

停止移動.DE與47交于點Q,連接PQ,設(shè)移動時間為￡(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段力P和4Q的長，并寫出t的取值范圍.

(2)如圖(2)連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為S(cm2),求S關(guān)于

￡的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值.

(3)如圖(3)點A關(guān)于直線PQ的對稱點4,連接PA,QA'.當(dāng)

PA1AB時，直接寫出t的值.

36.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Q/+加+5與％軸交于點

4(1,0),8(5,0)兩點，點D是拋物線上橫坐標(biāo)為6的點.點P在這條

拋物線上，且不與4D兩點重合，過點P作y軸的平行線與射線AD

交于點Q,過點Q作QF垂直于y軸，點F在點Q的右側(cè)，且QF=2,

以QF,QP為鄰邊作矩形QPEF.設(shè)矩形QPEF的周長為d,點P的

橫坐標(biāo)為m.

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求這條拋物線的對稱軸將矩形QPEF的面積分為1:2兩部分時m

的值.

(3)求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出d隨m的增大而減小時d的

取值范圍，

(4)當(dāng)矩形QPEF的對角線QE,PF互相垂直時，直接寫出其對稱中

心的橫坐標(biāo).

37.如圖，拋物線y=Q/+bx+c交叉軸于4(一4,0),B(1,O),交y軸于

C點，且0C=20B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線BC上找點D,使△ABD為以AB為腰的等腰三角形，求

D點的坐標(biāo)：

(3)在拋物線上是否存在異于B的點P,過P點作PQ14C于Q,使

△APQ與△4BC相似?若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

38.在銳角A4BC中，/B=4,BC=5,/4CB=45。，將A4BC繞點B

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到

(1)如圖1,當(dāng)點q在線段CA的延長線上時，求的度數(shù).

圖?

(2)如圖2,連接44i，CCi，若△力的面積為4,求△CBC】的面

積.

(3)如圖3,點E為線段4B中點，點P是線段4C上的動點，在△

48c繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點尸的對應(yīng)點是點生，求

線段Eh長度的最大值與最小值.

圖3

39.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a/0)的對稱軸為直線x=-1,

且拋物線經(jīng)過4(1,0),C(0,3)兩點,與一軸交于點B.

(1)若直線y=mx+7i經(jīng)過B,C兩點，求直線BC和拋物線的解析

式：

(2)在拋物線的對稱軸直線x=-l上找一點M,使點M到點A的距

離與到點。的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸直線工二-1上的一個動點，求使ABPC

為直角三角形的點P的坐標(biāo).

40.如圖，RtAABC中，M為斜邊4B上一點，且MB=MC=4C=8cm,

平行于BC的直線I從BC的位置出發(fā)以每秒1cm的速度向上平移，

運動到經(jīng)過點M時停止.直線/分別交線段MB、MC、AC于點

E、P,以DE為邊向下作等邊ADEF,設(shè)△DE尸與△MBC重疊部分

的面積為S（cm?）,直線］的運動時間為《秒）.

（1）求邊8c的長度：

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻3使得以P、C、F

為頂點的三角形為等腰三角形?若存在，請求出t的值：若不存在，

請說明理由.

（4）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t,使得以點。為圓心、

BD為半徑的圓與直線EF相切?若存在，請求出￡的值；若不存在，

請說明理由.

41.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在

》軸上，。點在y軸上，C點坐標(biāo)為（2,0）,BC=6,￡BCD=60。，點

E是4B上一點，AE=3EB,OP過D,0,C三點,拋物線y=

0%2+6%+。過點。，B,C三點.

（1）求拋物線的解析式;

(2)求證：E。是0P的切線：

(3)若將△/DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，E點的對應(yīng)點E'會落在拋物

線y=ax2+bx+c上嗎?請說明理由；

(4)若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N,使得以點B,

D,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點N

的坐標(biāo)；若不存在，靖說明理由.

42.如圖，拋物線y=/—2%—3與％軸交于4B兩點(A點在B點左

側(cè))，直線I與拋物線交于4C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.

(1)求4B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P是線段4c上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E

點，求線段PE長度的最大值；

(3)點G是拋物線上的動點，在％軸上是否存在點心使4C,F,

G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有

滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

43.某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長為800米的正方形ABCD,如圖1和圖2.現(xiàn)

有1號、2號兩游覽車分別從出口4和景點C同時出發(fā)，1號車順時

針、2號車逆時針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛，供游客隨時免費乘車（上、

下車的時間忽略不計），兩車速度均為200米/分.

（1）探究設(shè)行駛時間為￡分.

（i）當(dāng)0<￡<8時，分別寫出1號車、2號車在左半環(huán)線離出口4

的路程外,y2（米）與t（分）的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)兩車相距

的路程是400米時￡的值；

（ii）￡為何值時，1號車第三次恰好經(jīng)過景點C?并直接寫出這一段時

間內(nèi)它與2號車相遇過的次數(shù).

（2）發(fā)現(xiàn)

如圖2,游客甲在BC上的一點K（不與點B,C重合）處候車，準(zhǔn)備

乘車到出口兒設(shè)=%米.

情況一：若他剛好錯過2號車，便搭乘即將到來的1號車：

情況二：若他剛好錯過1號車，便搭乘即將到來的2號車.

比較哪種情況用時較多？（含候車時間）

（3）決策

已知游客乙在上從。向出口4走去，步行的速度是50米/分.當(dāng)

行進(jìn)到DA上一點P（不與點小4重合）時，剛好與2號車迎面相

遇.

（i）他發(fā)現(xiàn)，乘1號車會比乘2號車到出口4用時少，請你簡要說

明理由；

(ii)設(shè)PA=s(0<s<800)米.若他想盡快到達(dá)出口4根據(jù)s的

大小，在等候乘1號車還是步行這兩種方式中，他該如何選擇？

44.已知；拋物線y=a#?+bv+c(G/0)經(jīng)過點4(1,0)，4(3,0)，

C(0,-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo);

(2)如圖1,點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的平

行線，交直線BC于點￡是否存在一點P,使線段PE的長最大?若

存在，求出PE長的最大值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點4作y軸的平行線，交直線BC于點心連接04、

DB.四邊形04FC沿射線C2方向運動，速度為每秒1個單位長度,

運動時間為t秒，當(dāng)點C與點B重合時立即停止運動.設(shè)運動過程

中四邊形。4尸。與四邊形ADBF重疊部分面積為S,請求出S與t

的函數(shù)關(guān)系式.

45.已知二次函數(shù)y=/=2Q%—2Q—6(Q為常數(shù)，。工0).

(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與匯軸有兩個交點；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與汽軸交于點4(-2,0)和點氏與y軸交于

點C,線段8C的垂直平分線I與％軸交于點D.

①求點D的坐標(biāo)；

②設(shè)點P是拋物線上的一個動點，點Q是直線I上的一個動點,以點

B,D,P,Q為頂點的四邊形是否可能為平行四邊形?若能，直接寫

出點Q的坐標(biāo).

46,拋物線y=a/+bt+c(a^O)與無軸交于A(2,0),B(4,0)兩點,

與y軸交于點。(0,2)

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P從點0出發(fā)，乙每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時

點E也從點0出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設(shè)點

P的運動時間￡秒(0<￡<2),

①過點E作x軸的平行線，與相交于點D,當(dāng)t為何值時，*+

白的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E、P的坐標(biāo)；

DE

②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F,使AEFP為

直角三角形?若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由

47.已知：直線y=-x-4分別交x、y軸于A、C兩點，拋物線y=

ax2+bx(a>0)經(jīng)過A、0兩點，且頂點B的縱坐標(biāo)為一2.

(1)判斷點8是否在直線AC上，并求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)以點B關(guān)于％軸的對稱點D為圓心，以O(shè)D為半徑作0D,試判

斷直線4c與0。的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若E為0。的優(yōu)弧A0上一動點(不與4、。重合)，連接AE,

0E,問在拋物線上是否存在點P,使4P0A乙4EO=2:3,若存在,

請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

48.如圖，拋物線y=g/+巾》+九與直線y=一；尤+3交于B兩點,

交匯軸于D,C兩點，連接AC,BC,已知4(0,3),B(4,l).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求tanzBAC的值：

(3)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接尸兒過點P作PQ1P4交y

軸于點Q,問：是否存在點P使得以4P,。為頂點的三角形與△

4CB相似?若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)：若不存在，

請說明理由.

49.拋物線y=ax2+bx+C(Q40)的頂點為D(l,4),交x軸于A>4兩

點，且經(jīng)過點。(2,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,M為線段0、B之間一動點，N為y軸正半軸上一動點,

是否存在使M、C、D、N四點圍成的四邊形周長最小,若存在，

求出這個最小值及M、N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由：

(3)若P是y軸上的點，Q是拋物線上的點，求：以P、Q、4、8

為頂點構(gòu)成平行四邊形的點Q的坐標(biāo).

50.如圖，已知拋物線y=+c（b,c是常數(shù)，且c<0）與x軸

分別交于點4B（點A位于點B的左側(cè)）,與y軸的負(fù)半軸交于點C,

點A的坐標(biāo)為（一1,0）.

（1）b=，點B的橫坐標(biāo)為.（上述結(jié)果均用含c

的代數(shù)式表示）

（2）連接BC,過點A作直線AE〃BC,與拋物線y=：/+6%+c交

于點E,點。是％軸上的一點，其坐標(biāo)為⑵0）,當(dāng)C,D,E三點

在同一直線上時，求拋物線的解析式.

（3）在（2）的條件下，點P是工軸下方的拋物線上的一個動點，連接

PB,PC,設(shè)所得的的面積為S.①求S的取值范圍；②若

△P8C的面積S為整數(shù)，則這樣的AP8C共有個.（直

接寫出答案）

參考答案，僅供參考哦

1.(1)①當(dāng)Q〉0時，解集為刀<1

a

②當(dāng)Q<0時，解集為%>點

③當(dāng)Q=0時，若b>0,解集為所有數(shù)；

若力工0,不等式無解.

(2)去分母，得

a2-2x>ax+4.

移項，合并同類項，得

(Q+2)x<a2-4.

①當(dāng)Q+2>0且aHO,即a>-2且Q=O時，解集為XWQ-2；

②當(dāng)a+2=0,即。=一2時，解集為所有實數(shù)；

③當(dāng)Q+2<0,即。<一2時?，解集為無ZQ—2.

2.(1)在RtAABC中，AACB=90°,CMLAB,

所以LA=LAMC=AACB=90°,

所以A/lCMs△ABC,

所以絲=也，

ABAC

因為4c=3,BC=4,

所以AB=VAC2+BC2=5,

所以AM=字二g,

AB5

所以點M運動的時間為l秒.

(2)①如圖1,

當(dāng)點々落在A8上時，此時CM，48,則點M運動的時間為g秒.

②如圖2,

當(dāng)點?落在BC上時，CM是Z4C8的平分線，

過點M作ME1BC于點E,作MF1AC于點F,

所以ME二例產(chǎn).

因為SAABC=S△人CM+SABCM，

所以-AC^BC=-AC-MF+-BC-ME,

222

所以三x3x4=1x3xMF+乙X4XMF,

222

解得MF=y.

因為/C=90。，

所以MF〃BC,

所以AAMFSMBC,

所以答=*即W=

BCAB45

解得AM=y.

綜上所述，當(dāng)點A落在△ABC的一邊上時，點M運動的時間為g秒或一秒.

3.(1)5

(2)①當(dāng)0￡%￡4時，如圖1,

???四邊形4BCD是正方形,

??.AB-AD,乙B-Z.ADG-LBAD-90°.

又rAFLAG,

ALBAF+LDAF=LDAG+LDAF=90°.

/.Z.BAF=Z.DAG.

/.△BAF^△ZMG(ASA).

:.DG=BF=x.

由圖2和圖3知，

當(dāng)點正與點C重合時,%=4,即BC=CD=4.

CF=4-x>CG=4+x.

；、s=SkFCG="4+x)(4-x)=-^x2+8.

②如圖4,

圖4

當(dāng)點F運動到CE上時，

同理可證△BAFZ△DAG(ASA).

??.DG=BF=x.

:?CF=BF—BC=x-4,CG=CD+DG=x+4.

S=S4CFG=|CF-CG=|(x-4)(x+4)=|x2-8.

當(dāng)點F運動到點E時，由圖2可知］/一8=*

:.取正數(shù)解x=5,即m=8E=5.

二當(dāng)4<%05時，S=|x2一8.

(--X2+8,0<%<4

綜上所述，5=412

I-%2-8,4<x<5

4.(1)將(1,0)代入拋物線解析式得0=-1+5+幾，解得建二

，拋物線的解析式為y=-x2+5%-4.

(2)如圖，將％=0代入拋物線解析式得y=—4.

，點B的坐標(biāo)為(0,-4).

??.AB=V17.

①當(dāng):時，點P在圖中6處，此時OP】=Pi8-0B=-4,

???點Pi的坐標(biāo)為(0,717-4).

②當(dāng)P4=48時，點P在圖中P2處，此時尸2,8關(guān)于無軸對稱，

???點P2的坐標(biāo)為(0,4).

③當(dāng)PA二PB時，點P在y釉負(fù)半軸上，不符合題意.

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(0,g—4)或(0,4).

5.(1)m=6-V2

(2)①當(dāng)0<X工2e時，如圖1,

A

圖I

■:△PQR與△ABC均為等腰直角三角形，

ZB=Z7?=45°,

vRQ〃BC,

:.LR=LNPB=45°,LB=LRMN=45°.

A△RMN與△PNB均為等腰直角三角形.

:.BN2+PN2=BP2=x2,

：.BN=PN=-x.

2

由圖2、圖3,當(dāng)點R運動到48上時，BP=2V2,

:.BR=PR=PQ=2,

.■?MN=RN=PR-PN=2-—x,

2

S=S^RPQ_S&RMN

=-PR-PQ--RN-MN

2<2

=-x2+V2x.

4

由圖2,當(dāng)點P和點C重合時，x=6,即BC=6.

如圖4,當(dāng)點Q運動到AC上時，△P(?(：為等腰直角三角形,

A

3

圖4

：?PC=QC,PC2+QC2=PQ2.

:.2PC2=”得PC=&,

/.BP=BC-PC=6-y[2,即m=6-&

②當(dāng)2&<%46-VL如圖4,

A

BPC

圖4

s-SARPQ

二,PQ，PR

=-x2x2

2

=2.

③當(dāng)6—6時，如圖5.

△PCN與△MNQ均為等腰直角三角形,

且NC=PC=6-x,

???PN=V5(6-x),

??.QN=2-V2(6-x),

，MNMQ

=y(2-6\/2+y[2x)

=V2—6+x.

AS=S^RPQ-S&MNQ

i1

=-PQ-PR--MN-MQ

22

=2-|(72-64-^)2,

:.S=-|x2+(6-V2>+6^2-17.

f-^x2+yj2x,0<x<2V2

綜上所述，S=(2,2A/2<X<6-V2-

[-+(6-V2)x+6A/2—17,6—V2<x<6

6.(1)3

(2)由圖2、圖3,當(dāng)點P與點B重合時，%=2,即48=2.

又二點B是線段4C的中點，

??.BC=AB=2,

:.AC=4,即m=4.

由圖2、圖4,當(dāng)點P與點C重合時，點尸與點E重合.

7四邊形BCDE是矩形,

/.BC=DE=2,CD=BE,乙CDE=乙EDC=乙EBC=90°,

《BE.BC=3,

???S=S?PBF=

：?CD=BE=3.

①當(dāng)0W%W2時，如圖1,7DF1DP,

A乙FDP=90°,

:."DE+LEDP=LCDP+LEDP=90°,

/.AFDE=乙PDC,

:.△DEFs乙DCP,

/.-=—,PC=4-x,

CPDC

EF_2

?**=r

4-X3

AEF=|(4-x),

：,BF=BE+EF=---x.

33

又?.?BP=2-x.

,,s=；BF.BP=g(_1]+9(r+2),

c127I17

AS=~XL--X+-.

323

②當(dāng)2＜》M4時，如圖5,

172

?：BP=x-2,BF=---x,

33

AS=1BF.BP=1(-|X+^(X-2),

_12I717

??Sc——xz+-x------.

323

2

(-x--x+-t0<x<2

綜上所述，S=《323

2<X<4

V323

7.(1)12

(2)當(dāng)P,Q相遇前

12-(t+2t)=1x12

3t=