高中數(shù)學(xué)《本章綜合》教學(xué)設(shè)計

《本章綜合》教學(xué)設(shè)計一知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點關(guān)注點第三章函數(shù)的定義域式子有意義求函數(shù)的解析式函數(shù)的定義域函數(shù)的奇偶性定義域關(guān)于原點對稱、定義函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性相對于區(qū)間而言函數(shù)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題二.學(xué)法指導(dǎo)1.已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．2．實際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應(yīng)考慮使實際問題有意義．3．巧用奇偶性及單調(diào)性解不等式1利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為fx1<fx2或fx1>fx2的形式.2根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解.4.對于給出圖象的應(yīng)用性問題，首先我們可以根據(jù)函數(shù)圖象用待定系數(shù)法求出解析式，然后再用函數(shù)解析式來解決問題，最后再轉(zhuǎn)化成具體問題，作出解答．5．對于借助函數(shù)圖象表達題目信息的問題，讀懂圖象是解題的關(guān)鍵．三.知識點貫通知識點1求函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的常用方法：1若fx是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.2若fx是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.3若fx是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運算有意義的實數(shù)集合.4若fx是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集.5若fx是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義.例1.(1)求函數(shù)y＝eq\r(5－x)＋eq\r(x－1)－eq\f(1,x2－9)的定義域．(2)將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．【解析】(1)解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))故函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長為eq\f(1,2)(a－2x)，所以y＝x·eq\f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq\f(1,2)ax，定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)a)))).知識點二求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用換元法或配湊法.2已知函數(shù)的類型（往往是一次函數(shù)或二次函數(shù)），使用待定系數(shù)法.3含fx與f－x或fx與eqf\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，使用解方程組法.4已知一個區(qū)間的解析式，求另一個區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉(zhuǎn)移法.例題2：(1)函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，則f(x)的解析式為______．(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，則f(x)的解析式為________．【答案】(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))（2）f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)【解析】(1)設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝eq\r(－x)＋1.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝eq\r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq\r(－x)－1.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))(2)令t＝eq\f(1＋x,x)＝eq\f(1,x)＋1，則t≠1.把x＝eq\f(1,t－1)代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，得f(t)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))2)＋eq\f(1,\f(1,t－1))＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．知識點三函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1.?x1，x2∈D，f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1<x2.?x1，x2∈D，f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1>x2.2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。3.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x);函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)。例題3.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．【解析】(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))故f(x)＝eq\f(x,1＋x2).(2)任?。?<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)).∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋xeq\o\al(2,1)>0,1＋xeq\o\al(2,2)>0.又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．知識點四函數(shù)的應(yīng)用例題4．某通信公司為了配合客戶的不同需要，現(xiàn)設(shè)計A，B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案的應(yīng)付話費y(元)與通話時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(實線部分)．(注：圖中MN∥CD)(1)若通話時間為2小時，則按方案A，B各付話費多少元？(2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費多少元？(3)通話時間在什么范圍內(nèi)，方案B才會比方案A優(yōu)惠？【解析】由圖可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.設(shè)這兩種方案的應(yīng)付話費與通話時間的函數(shù)關(guān)系分別為fA(x)，fB(x)，則fA(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x>60，))fB(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))(1)易知，通話2小時，兩種方案的話費分別為116元，168元．(2)因為fB(n＋1)－fB(n)＝eq\f(3,10)(n＋1)＋18－eq\f(3,10)n－18＝0.3，(n>500)，所以方案B從500分鐘以后，每分鐘收費0.3元．(3)由圖可知，當(dāng)0≤x≤60時，有fA(x)<fB(x)．當(dāng)x>500時，fA(x)>fB(x)．當(dāng)60<x≤500時，168＝eq\f(3,10)x＋80，解得x＝eq\f(880,3).當(dāng)60<x<eq\f(880,3)時，fB(x)>fA(x)；當(dāng)eq\f(880,3)≤x≤500時，fA(x)>fB(x)．即當(dāng)通話時間在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(880,3)，＋∞))時，方案B才會比方案A優(yōu)惠．五易錯點分析易錯一函數(shù)的定義域例題5.函數(shù)f(x)＝eq\f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定義域是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) 【答案】D【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,3x－1≠0，))得x<1且x≠eq\f(1,3)，故選D.誤區(qū)警示

求函數(shù)的定義域，應(yīng)使得式子有意義。實際問題要注意實際意義。易錯二集合中元素的互異性例題6.函數(shù)f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，解不等式：f(t－1)＋f(t)<0【解析】由f(t－1