《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)》課時作業(yè)-第八章-第4節(jié)-雙曲線

第4節(jié)雙曲線知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練雙曲線的定義及應(yīng)用3,4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程8,9雙曲線的幾何性質(zhì)1,2,5,612,1314綜合問題710,11151.經(jīng)過點(diǎn)M(23,25)且與雙曲線x23-A.x218-y212=1 B.C.y218-x212=1 D.解析:設(shè)所求雙曲線的方程為x23-將點(diǎn)M(23,25)代入得(23)解得λ=-6,所以雙曲線方程為y212-故選D.2.若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9,則曲線x225-y29-A.離心率相等 B.虛半軸長相等C.實(shí)半軸長相等 D.焦距相等解析:由0<k<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上,由25+9-k=3.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,若|PFA.x24-y2=1 B.x2C.x2-y24=1 D.x2解析:由題意可得|解得a2=4,b2故選A.4.已知雙曲線x23-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=25,則△PF1FA.1 B.3 C.5 D.1解析:在雙曲線x23-y2=1中,a=則有|PF1|-|PF2|=2a=23,又|PF1|+|PF2|=25,所以|PF1|=5+3,|PF2|=5-3.又|F1F2|=2c=4,而|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以S△PF1F2=12×|PF1|×|PF2|=12×(5+5.已知雙曲線C:x2a2-yA.233 B.322 解析:雙曲線C:x2a2以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,可得A到漸近線bx+ay=0的距離為bcos30°=32可得|ab|a即ac=3可得離心率為e=23故選A.6.已知雙曲線C:x2a2A.233 B.2 C.3解析:因?yàn)锳F⊥OF,所以點(diǎn)F在圓上.又BF∥OA,所以∠AOF=∠OFB,而∠AOF=∠BOF,所以△OBF是等腰三角形,所以∠OAB=∠BAF=∠BOF=∠AOF.又因?yàn)椤螼AB+∠BAF+∠AOF=90°,所以∠AOF=30°,所以ba=tan30°=3所以e=ca=a2+b27.(多選題)(2021·廣東深圳一模)設(shè)F1,F2分別是雙曲線C:x2m+n-y2A.m=2B.當(dāng)n=0時,雙曲線C的離心率是2C.F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小D.當(dāng)n=1時,雙曲線C的實(shí)軸長是虛軸長的兩倍解析:對于選項(xiàng)A,由雙曲線的方程可得a2=m+n,b2=m-n,所以c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,因?yàn)?c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2,故選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,當(dāng)n=0時,雙曲線C:x22-y22=1,此時a2=b所以離心率e=c2a2對于選項(xiàng)C,在雙曲線C:x2m+n-y2m-n不妨取焦點(diǎn)F1(-2,0),則F1到漸近線的距離d=|-2b|所以F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小,故選項(xiàng)C正確;對于選項(xiàng)D,當(dāng)n=1時,a=2+1=3,b=2-所以實(shí)軸長為23,虛軸長為2,不滿足雙曲線C的實(shí)軸長是虛軸長的兩倍,故選項(xiàng)D不正確.故選AC.8.(2021·廣東汕頭高三一模)寫一個焦點(diǎn)在y軸上且離心率為3的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析:取c=3,則e=ca=3所以b=c2-a因此,符合條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-x2答案:y2-x29.(2021·遼寧鐵嶺高三一模)已知雙曲線與橢圓x216+y26=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的漸近線方程為y=±解析:由題意得橢圓焦點(diǎn)為(±10,0),所以c=10,設(shè)雙曲線的方程為x2a2則ba=1由ba=所以雙曲線的方程為x29-y答案:x29-y10.(多選題)已知雙曲線C:x2a2-yA.雙曲線C的方程為4x2-4yB.雙曲線C的兩條漸近線所成的銳角為60°C.F到雙曲線C的漸近線的距離為3D.雙曲線C的離心率為2解析:因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為F(-1,0),所以c=1,又因?yàn)檫^F與x軸垂直的直線與雙曲線交于A(-1,b2a),B(-1,-所以△AOB的面積為S=12×1×2b2即b2a=又a2+b2=c2=1,所以a=12,b2=3所以雙曲線C的方程為4x2-4y則雙曲線C的漸近線方程為y=±3x,所以兩漸近線的夾角為60°,故B正確;F到雙曲線C的漸近線的距離為d=32雙曲線C的離心率為e=ca=111.(多選題)已知雙曲線C:x26-y23=1的左、右兩個焦點(diǎn)分別為FA.四邊形AF1BF2為平行四邊形B.∠F1PF2<90°C.直線BE的斜率為kD.∠PAB>90°解析:如圖,雙曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱,又直線y=kx過原點(diǎn),所以A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,由|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|得四邊形AF1BF2為平行四邊形,A正確;當(dāng)k→0,P點(diǎn)趨近于右頂點(diǎn),此時∠F1PF2趨近于平角,因此不可能有∠F1PF2<90°,B錯誤;設(shè)A(x0,y0),則B(-x0,-y0),由AE⊥x軸知E(x0,0),k=y0而kBE=0-(-y0)x△APB中,∠APB>∠AEB>∠AEO=90°,因此∠PAB<90°,D錯誤.故選AC.12.已知點(diǎn)F為雙曲線E:x2a2-y2bA.[2,2+6] B.[2,3+1]C.[2,2+6] D.[2,3+1]解析:如圖,設(shè)左焦點(diǎn)為F′,連接MF′,NF′,令|MF|=r1,|MF′|=r2,則|NF|=|MF′|=r2,由雙曲線定義可知r2-r1=2a,①因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對稱,且MF⊥NF,所以|OM|=|ON|=|OF|=c,所以r12+r2由①②得r1r2=2(c2-a2).又知S△MNF=2S△MOF,所以12r1r2=2·12c2所以c2-a2=c2·sin2β,所以e2=11又因?yàn)棣隆蔥π12,π所以sin2β∈[12,3所以e2=11-sin2β∈[2,(又e>1,所以e∈[2,3+1].故選D.13.(2021·廣東廣州高三一模)已知圓(x-1)2+y2=4與雙曲線C:x2a2-y解析:設(shè)k=ba,漸近線方程是y=±kx,由對稱性可設(shè)M(x1,kx1),N(x1,-kx1),P(x2,kx2),Q(x2,-kx2則|MN|=2kx1,|PQ|=-2kx2,所以2kx1=2×(-2kx2),x1=-2x2.①由y得(1+k2)x2-2x-3=0,x1+x2=21+x1x2=-31+①代入②得x2=-21+k2,x1代入③得-8(1+k解得1+k2=83所以e=ca=1+ba2=答案:214.已知雙曲線C:x2a2-y2bA.63 B.62 C.35解析:雙曲線x2a2-y2b2圓M:x2+y2-6x+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+y2=4,所以M(3,0),半徑為2.因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b所以|3所以9b2=4b2+4a2,所以5b2=4a2.因?yàn)閎2=c2-a2,所以5(c2-a2)=4a2,所以9a2=5c2,所以e=ca=3所以雙曲線的離心率為3515.已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點(diǎn),P是C左支上一點(diǎn),A(0,66),當(dāng)△APF的周長最小時,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為解析:如圖,設(shè)E為雙曲線的左焦點(diǎn),由雙曲線C的方程可知a2=1,b2=8,所以c2=a2+b2=1+8=9,所以c=3,所以左焦點(diǎn)E(-3,0),右焦點(diǎn)F(3,0),因?yàn)閨AF|=32所以當(dāng)△APF的周長最小時,|PA|+|PF|最小.由雙曲線的性質(zhì)得|PF|-|PE|=2a=2,所以|PF|=|PE|+2,又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,E三點(diǎn)