圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型（解析版）

專題34圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。

如圖1所示，48和8c是。。的兩條弦（即/3C是圓的一條折弦），BOAB,M是ABC的中點，則從M

向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD.

常見證明的方法:

1）補短法：如圖2,如圖，延長。8至R使BF=R4；

2）截長法：如圖3,在CD上截取DG=DB；

3）垂線法：如圖4,作〃，_L射線垂足為

例1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）定義圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點，MF1AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,AABCNABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一點，BD=1,作DE1AB交aABC的外接圓于E,

連接EA,貝！kEAC=

【答案】60°.

【分析】連接OA、OC、OE,由已知條件，根據(jù)阿基米德折弦定理，可得到點E為弧ABC的中點，即

已知貝_。,

AE=CE,affij^fzAOE=zCOE,NABC=60°,ljNAOC=2NABC=2x60°=120°,5]^DNAOE=NCOE=120

故NCAE=*NCOE=60°.

【詳解】解：如圖2,連接OA、OC、OE,

???AB=8,BC=6,BD=1,；.AD=7,BD+BC=7,；.AD=BD+BC,而EDIAB,

.?.點E為弧ABC的中點，即荔=無，.?ZAOE=NCOE,

???ZAOC=2ZABC=2x60°=120°,.--zAOE=zCOE=120°,

故答案為60。.

【點睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關鍵是掌握題中給出的關于阿基米德折

弦定理的內(nèi)容并進行應用.

例2.（2023?浙江溫州?九年級校考階段練習）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知8c為。。的直徑，N8為一條弦（8048）,點M是Z芯上的點，MDLBC

于點D,延長MD交弦于點￡,連接若BM=瓜,48=4,則NE的長為（）

【答案】A

【分析】延長ME,設交圓于點F,連接BF、AF,可得BF=BM,^BMF=4BFM=￡FAB,從而可得

△BFA-4BEF,利用相似三角形的性質列式可求BE的長度，從而可求得AE的長度.

【詳解】解：延長ME,設交圓于點F,連接BF、AF,如圖，

?；BC為。0的直徑，MD_LBC于點D,；.MB=FB=&,NBMF=NBFM

又ZBMF=NFAB.,ZBFM=NFAB;.NBFE=NFAB

BFBEV6BE335,小小

?,■ZEBF=ZFBA.-.ABFA-ABEF.-.—=—即nn二=-；=；氏=一.的=4--=一故選：A.

ABBF4V6222

【點睛】本題考查垂徑定理及三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是準確做出輔助線，得出三角形相

似.

例3.（2023上?河南周口?九年級校考期末）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,和8c是。。的兩條

弦（即折線/8C是弦。。的一條折弦），BOAB,“是弧"8C的中點，則從M向所作垂線的垂足。

是折弦N8C的中點，^CD^AB+BD,下面是運用"截長法"證明CD=+的部分證明過程?

證明：如圖2,在C8上截取CG=48,連接K4,MB,和MG.

是弧28c的中點，

.-.MA=MC,

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

（2）實踐應用：如圖3,"8C內(nèi)接于。。，BC>AB>AC,。是弧4cB的中點，DELBC于點、E,依據(jù)阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為.

⑶如圖4,等腰內(nèi)接于AB=AC,。為弧22上一點，連接D3,ZACD=45°,AC=6,BC=4,

求ABDC的周長.

【答案】（1）見解析⑵2E=CE+/C⑶6a+4

【分析】（1）首先證明AMMgAMGC（SAS）,進而得出=再利用等腰三角形的性質得出

BD=GD,即可證明結論；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理，即可證明結論;

（3）過點A作NELCD,根據(jù)阿基米德折弦定理，勾股定理求得CE,即可得出結論.

【詳解】（［）證明：如圖2,在C8上截取CG=48,連接M4,MB,MC和MG.

:.MA=MC.

BA=GC

在4MBA和7MGC中，N/=NC,:.^MBA^MGC(SAS),:.MB=MG,

MA=MC

又；MD工BC,:.BD=GD,DC=GC+GD=AB+BD.

（2）解：根據(jù)（1）中的結論可得圖中某三條線段的等量關系為BE=CE+NC

故答案為：BE=CE+AC.

（3）解：如圖所示，過點A作/￡LCD,

A

圖4

由阿基米德折弦定理得：CE=BD+DE,

???NACD=45°ZEAC=45°.-.CE=—AC=372,

2

.?.△8℃的周長為3。+8。+。。=8。+8。+?！?+￡。=8。+2￡。=4+60

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識點，理解"截長法"

是解答本題的關鍵.

例4.（2023,江蘇?九年級假期作業(yè)）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,43和是。。的兩條弦（即

折線/8C是圓的一條折弦），5c>48,M是就1的中點，則從M向8C所作垂線的垂足。是折弦N8C的

中點，即CO=AB+AD.下面是運用“截長法”證明CD=+的部分證明過程.

（1）證明：如圖2,在C2上截取CG=48連接M4,MB,MC和MG.

是疵的中點,

：.MA=MC

請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

實踐應用：（2）如圖3,已知內(nèi)接于。。，BC>AB>AC,。是同的中點，依據(jù)阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關系為—.

（3）如圖4,已知等腰”8C內(nèi)接于OO,AB=AC,D為4B上一點,連接。6,ZACD=45°,AEYCD

于點￡,ABDC的周長為4亞+2，BC=2,請求出4C的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=CE+AC；（3）4

【分析】（1）首先證明AMB/絲AMGC（SAS）,進而得出714B=MG,再利用等腰三角形的性質得出

BD=GD,即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結論；

（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出CE=AD+Z）E,進而求出CE,最后用勾股定理即可得出結論.

【詳解】（1）證明：如圖2,在C2上截取CG=48,連接M4,MB,和MG.

8飛、B'、、G

A

圖2

是疵的中點，.,.MA=MC.

BA=GC

在和VMGC中，<NA=NC,：.AMBA芬MGC(SAS),：.MB=MG,

MA=MC

又,:MDIBC,：.BD=GD,：.DC=GC+GD=AB+BD；

（2）根據(jù)阿基米德折弦定理得，BE=CE+AC,答案為：BE=CE+AC；

（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE,

△BCD的周長為4&+2，/.BD+CD+BC=^+2，

BD+DE+CE+BC=2CE+BC=442+2,

,：BC=2,：.CE=2V2，在RtA/CE中，"CD=45。，AC=>[2CE=4.

【點睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，理解和應用阿基米

德折弦定理解題關鍵.

例5.（2023?河南商丘?統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古

希臘數(shù)學，研究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的

折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點.

如圖1,N2和3c是。。的兩條弦（即4BC是圓的一條折弦），BC>AB.”是弧48c的中點，則從M向

BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD.

小明認為可以利用“截長法"，如圖2：在線段C8上從C點截取一段線段CN=N3,連接

MA,MB,MC,MN.

小麗認為可以利用“垂線法"，如圖3：過點M作必48于點從連接他4,MB,MC

圖1圖2圖3

任務：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，

⑵就圖3證明：MC1-MB1=BC-AB.

【答案】⑴見解析(2)見解析

【分析】(1)首先證明AA儂之A"NC(SAS),進而可得=即可得到解答；

(2)由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,整理等式即可得到結論.

【詳解】(1)證明：如圖2,在C2上截取CN=A8C,連接M4、MB、MC、MN,

；M是行心的中點，=

'BA=NC

在叢MBA和AMNC中，＜NA=NC,；.AMBAWMNC@AS),：.MB=MN

MA=MC

???MD1BC,：.BD=ND：.CD=NC+ND=AB+BD；

(2)證明：在RtA4W中，AM2=AH2+MH2.

在RtZXAfflM中，BM2=BH2+MH2,由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AHCD,

■■MC1-MB1=AM--MB2=AH-+HM-BH2-HM2=AH2-BH2

=(AH+BH)?(AH-BH)=(CD+BD)?(AH-BH)=BC.AB；

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數(shù)學家。

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延

長線必經(jīng)過這條邊對邊的中點。

H

B

如圖1,4BCD為圓內(nèi)接四邊形，對角線NC和3。垂直相交，交點為E,過點E作3c的垂線斯，延長也

與4D交于點G；則點G是AD的中點。

如圖2,所示已知等腰RAABC和等腰必作2印//￡交NG的延長線于點H,(1)5.°=54防；

(2)若/尸1CD,則G為BE中點。

2、如圖3,已知等腰R/ZUBC和等腰R/ZUE。，在4F的延長線取點“，使得/尸=7/(1)SAACD=SAABE^

(2)若尸為CD中點，則/G13E。

例1.(2023?浙江?九年級專題練習)閱讀下列相關材料，并完成相應的任務.

布拉美古塔定理

婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定

理"，也稱"布拉美古塔定理定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角

線交點的直線平分對邊.

某數(shù)學興趣小組的同學寫出了這個定理的已知和求證.

已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形/BCD中，對角線垂足為P,過點P作48的垂線分別交DC

于點X,M.

求證：〃■是CD的中點.

任務：(1)請你完成這個定理的證明過程.(2)該數(shù)學興趣小組的同學在該定理的基礎上寫出了另外一個命題:

若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊請判斷此命題是—命

題.(填"真"或"假")。⑶若PZ)=2,HP=&BP=3,求的長.

A

【答案】（1）見解析⑵真⑶/!//=2V3-

【分析】（1）在RtA/P8中，證明/4BP=4PH,再由同弧所對的圓周角相等，可得ZABP=N4CD,可

得NPCM=NMPC,則9=MC；同理可證產(chǎn)河=DW,即可得到。M=CM；

（2）仿照（1）的證明過程，直接證明即可；

（3）求出sinNHBP=叵,再由』48尸=/尸。，可得走=上=2-,求出CZ）=2百，再由

33CDCD

PM=；CD=6,即可求出價=2囪.

【詳解】（1）證明：?：AC1BD,：.ZAPB=ZCPD=90°,ZABP+ZBAP=90°,

?；PH工AB,■■.ZBAP+ZAPH=90°,；.NABP=ZAPH=ZCPM,ZMPC=ZAPH,

■：AD=Ab，ZABP=ZACD,：.ZPCM=ZMPC,

■.PM=MC,同理可得，=,.?.OM=CW,是CO的中點；

（2）解：若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊，理由如下：

已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形48CD中，對角線NC18。，垂足為P,加是的中點，連接M3交48于

證明：是CD的中點；.?.OW=C"=PM,

APCM=AMPC,MZAPH=ZMPC,

--AD=AD，:.NABP=NPCM,ZMPC=ZAPH,

ZAPH+ZHPB=ZABP+ZHPB=90°,；.PHLAB；故答案為：真;

(3)解：BP=3,HP=/,■-BH=4(>,■■smZHBP=—,

3

-,-ZABP^ZPCD,：.^=—=—,：.CD=2拒,

3CDCD

?河是CD的中點，.?.尸河=；。。=上，4//=2V§.

【點睛】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握直角三角形的性質，同弧所對的圓周角相等，同角的余角相等

是解題的關鍵.

例2.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務.婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學家、

天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了"婆羅摩笈多定理"，也稱"布拉美古塔定理定理

的內(nèi)容是："若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊

圖⑴

任務：（1）按圖（1）寫出了這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；

已知：求證：

證明：

（2）如圖（2）,在。。中，弦于連接NC,C8,8D,Z）4￡,尸分別是4C,8c上的點，EMLBD

于于〃，當初是中點時，直接寫出四邊形EMFC是怎樣的特殊四邊形：.

【答案】（1）見解析；（2）菱形

【分析】（］）先寫出已知、求證，先證明4=尸，再證明。E=r）￡=CE即可證明

（2）先證明CE=B,再證明4C=8C,由布拉美古塔定理證明腔=￡C=C尸=R攸即可證明

【詳解】（1）已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形/BCD中，對角線/C/5D于點過點/作48的垂線分別

交4B、DC于點、F,E.求證：點E是。C的中點

證明：■：ACVBD,EFVAB

ZBMF+ZAMF=90°,ZMAF+ZAMF=90°,NBMF=NMAF,

■：/EDM=ZMAF,NEMD=NBMF,ZEDM=2EMD,:.DE=ME,

同理可證九根=C￡,=.?.點E是DC的中點

故答案為：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形4BCD中，對角線/C18。于點過點/作4B的垂線分別交

AB、DC于點、F,E.求證：點E是DC的中點

（2）四邊形EMFC是菱形

理由：由布拉美古塔定理可知，E,尸分別是NC,8C的中點，.?.CE=1NC,CF=1C8

22

?1-AB1CD:.ME=-AC,MF=-CB

22

VAB1CD,M是中點.?.NC=8CME=EC=CF=FM

四邊形EMFC是菱形故答案為：四邊形EMFC是菱形

【點睛】本題考查菱形的判定、根據(jù)題意寫已知求證、靈活進行角的和差關系的轉換是解題的關鍵

課后專項訓練

1.（2023?浙江溫州??？既＃┰趲缀螌W發(fā)展的歷史長河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇

格蘭數(shù)學家羅伯特?西姆森（公。慶廠￡加so〃）發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點向三邊（或其延長線）所作垂線

的垂足共線，這三個垂足的連線后來被稱為著名的‘西姆森線"（S加s。征源e）.如圖，半徑為4的。。為“8C

的外接圓，C8過圓心O,那么過圓上一點P作。8C三邊的垂線，垂足￡、F、。所在直線即為西姆森線,

Ap

若/FPB=/C,EF=3,則f的值為（）

AB

PB

D

【答案】D

【分析】連接/尸，首先根據(jù)題意得到點/,F,尸三點共線，然后證明出四邊形/￡尸。是矩形，得到

AP=DE=2EF=6,證明出利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接4P,

由題意可得，點￡、F、D共線，?.無=彘，；.NAPB=NC,

■：4FPB=2C,ZAPB=ZFPB,二點/,F,尸三點共線，

???PEX.AC,AC1.BA,9_L/。，.?.四邊形/EPD是矩形，.?.AP=OE=2跖=6,

OB=AP,AF=PF,BP=AB,NBAP=NBPA,NFPE=ZPEF=ZFDA=/FAD,

■■AB=AB，:.ZAPB=NC,ZFDA=ZC,

又NCAB=NDAE,Z\CAB^ADAE,—=—=-=故選：D.

ABBCS4

【點睛】此題考查了圓與三角形綜合題，相似三角形的性質和判定，矩形的性質等知識，解題的關鍵是熟

練掌握以上知識點.

2.（2023山東??？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ砣鐖D1,和是。。的兩條弦（即折線48C是圓的一條

折弦），BC>AB,M是弧/3C的中點，則從"向2c所作垂線的垂足。是折弦A8C的中點，即

CD^AB+BD.請應用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2,已知等邊。8c內(nèi)接于。。，A8=10,D為

。。上一點，AABD=45°,4ELBD于點、E,則ABDC的周長是.

MA

圖1圖2

【答案】10+10亞

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質可得點M是弧8DC的中點，則可用阿基米德折弦定理得，BE=DE+DC,

根據(jù)中，ZABD=45°,NE，2。于點E,可得“3E是等腰直角三角形,可求出8E的長，即。E+C。

的長，根據(jù)ABOC的周長的計算方法即可求解.

【詳解】解：,??-8C是等邊三角形，???/8=BC=4C=10,NABC=NACB=NBAC=60。,

??.△A8C外接圓。。中，BA=CA，即點河是弧ADC的中點，且4EL8D于點E,

???根據(jù)阿基米德折弦定理得，BE=DE+DC,

???△/BE中，ZABD=45°,4E_LBD于點、E,且/8=10,

ZAEB=90°,NBAE=45。,即“3E是等腰直角三角形，貝以8=岳石，

.■-5￡=—xlO=5V2,：-DE+CD=BE=5也,

2

?.?/^。。的周長為郎+可+⑺+臺。，.-.5V2+5V2+10=10+10V2，故答案為：10+10a.

【點睛】本題主要考查定義新運算，等邊三角形的性質，圓的基礎知識，等腰直角三角形的性質，幾何圖

形的周長的計算方法等知識，掌握以上知識是解題的關鍵.

3.（2023春?山東威海?九年級校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于

弦的直徑平分弦.阿基米德從中看出了玄機并提出:如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結論.

MAf__E

Qc片1

圖1圖2圖3圖4

A

圖5

某數(shù)學興趣小組對此進行了探究，如圖1,2c和8C是。。的兩條弦（即折線段月C3是圓的一條折弦）,

BOAC,〃?是其的中點，過點〃"作“DL8C,垂足為。，小明通過度量/C、CD、DB的長度，發(fā)

現(xiàn)點。平分折弦4C8,即8。=/。+。.小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)80=/C+。仍然成立，于是

三位同學都嘗試進行了證明：

小軍采用了"截長法"（如圖2）,在AD上液取BE,使得BE=4C,......

小麗則采用了"補短法"（如圖3）,延長3c至尸,使CF=/C,......

小明采用了“平行線法”（如圖4）,過M點作兒化〃8C,交圓于點￡,過點E作EFJ.BC,......

⑴請你任選一位同學的方法，并完成證明；

（2）如圖5,在網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1,“8C內(nèi)接于。。（/、B、C均是格點），點/、。關于

2C對稱，連接AD并延長交。。于點E,連接CE.

①請用無刻度的直尺作直線/,使得直線/平分A8C￡的周長；②求的周長.

【答案】（1）見解析（2）①見解析，@8+yV5

【分析】（1）證之A5EN（SAS）,得到CM=￡N,再由待腰三角形"三線合一"性質得CD=ED,即

可得出結論（2）①作直徑冊，交BC于H,連接b交3E于G,過點G、X作直線/即可；

②先由勾股定理，求得BD=F^=2下,再證得黑=煞，即可求得。G=^,

rL）DG5

從而得出BG=8D+OG=2追+”="皆，貝UM+2G=4+今后，然后由由①可知ABEC周長

=2（BH+BG）,即可求解.

【詳解】（1）解：選小軍采用了“截長法"（如圖2）,在8。上液取8E,使得BE=4C,

證明：,點河是^^的中點，二的'=施=2M,

AC=BM

在CM與△BEM中，＜ZCAM=ZEBM,^ACM^ABEM（SAS）,CM=EM,

AM=BM

??,MDLBC,即MDLEC,；.CD=ED,;.AC+CD=BE+ED,：.AC+CD=BD；

（2）解：①如圖所示，直線/即為所作,

F

圖5

理由：???點/與點。關于2C對稱，.?.ZABC=NDBC,AD1BC,

ZBHD=90°,即???尸是就的中點,

?:NABC=NAFC,ZBDH=ZFDG,ZFGD=ZBHD=90°,

由（1）得尸。平分折弦BEC,.?.8G=GE+EC,

■：AD1BC,：.BD^CD,BD+BGCD+GE+EC,即/平分ABEC周長；

②由題意可得：BH=4,HD=2,DF=6,由勾股定理，得BD="^=2#，

ZDBH=NABH=ZDFG,ZBHD=NFGD=90°,

■■.^BDH^^FDG,,即漢1=3,...OG=逑,

FDDG6DG5

c-6V516V5八八八-16V5

?*,BG—BD+DG—2J5H-----------,,*?BH+BG=41tH--------,

555

’16R\32

由①知ABEC周長=2（8〃+8G）=24+^^=8+一行

、5J5

【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定

理，等腰三角形的性質，屬圓的綜合探究題目，熟練掌握相關性質與判定并能靈活運用是解題的關鍵.

4.Q023?浙江嘉興?九年級校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理如圖1,和是。。的兩條弦（即折線/8C

是圓的一條折弦），BC>AB,〃是布d的中點，則從M向2C所作垂線的垂足。是折弦/3C的中點，即

CD=AB+BD.下面是運用"截長法"證明CD=42+2。的部分證明過程.

證明：如圖2,在C8上截取CG=/3,連接〃4MB,MC和MG.是就的中點，：.MA=MC

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

（2）填空：如圖（3）,已知等邊443c內(nèi)接于。。,AB=2,D為。。上一點，N4BD=45°,AE1BD

與點瓦則ABDC的周長是.

圖(1)圖⑵圖⑶

【答案】（1）證明見解析；（2）2+2夜.

【分析】（1）首先證明AMS/&WGC,進而得出MB=MG,再利用等腰三角形的性質得出BZ）=G。，

即可得出答案（2）方法一、首先證明尸注V/CD,進而得出/尸=/。，以及CD+DE=BE,進而

求出?！甑拈L即可得出答案.方法二、先求出8E,再用（1）的結論得出C￡>+￡>￡=5￡,即可得出結

論.

【詳解】（1）證明：如圖2,在上截取CG=48,連接M4,MB,和MG.

是布己的中點，：.MA=MC

圖3

BA=GC

在和VMGC中<N4=NC^MBA^AMGC,.-.MB=MG,

MA=MC

又「MDLBC,BD=GD,：.DC=GC+GD=AB+BD；

(2)解：方法一、如圖3,截取AF=C￡),連接4F,AD,CD,

由題意可得：AB=AC,/ABF=/ACD,

AB=AC

在廠和4CZ）中｛448b=/4C。，.?.△45尸@/ZO.?.4F=4D,

BF=DC

??,AELBD,FE=DE,則CD+DE=BE,

???ZABD=45。，；氏=忑=近,則小。。的周長是2+2虛.故答案為2+2a.

方法二、：4IBC是等邊三角形，.?.BC=48=2,NABC=NACB,

.??由（1）的結論得，CD+DE=BE,

■：ZABD=45°,AB=2，:.BE=亞，：.DE+CE=0，

???則ABDC的周長是fiC+BD+CD=BC+BE+DE+CD=2+272.故答案為2+2夜.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形以及等邊三角形的性質，正確作出輔助

線利用全等三角形的判定與性質解題是解題關鍵.

5.（2023秋?山西陽泉?九年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes,公元前287?公元前212年，

古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、

1^1高斯并稱為三大數(shù)學王子.

阿拉伯以加（973年?1050年）的譯文中保存了

阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)

//-的加力譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題

就是阿基米德的折弦定理.

S

阿基米德折弦定理：

如圖1,和2C是。。的兩條弦（即折線/8C是

固的一條折弦），BC>AB,〃?是弧/BC的中點，

則從M向3C所作垂線的垂足D是折弦ABC的中

（圖1）

點，即=+

這個定理有根多證明方法，下面是運用“垂線法”證M

明+的部分證明過程.

證明：如圖2.作射線4B,垂足為“，連接

MA,MB,MC.

???〃是弧的中點，（圖2）

.-.MA=MC....

任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)填空：如圖3,已知等邊。3c內(nèi)接于。O,D為就上一點、,ZABD=15°,CE_LBD于點、E,

AB=2日則折弦ADB的長是.

【分析】(1)根據(jù)圓的性質，同弧或等弧所對的圓周角相等，則=根據(jù)全等三角形的判定

和性質，貝卜必〃絲AMCB,得4H=CD,MH=MD?再根據(jù)直角三角形的全等和判定，得

RGMHB空RLMDB,推出8”=50,即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質，則=/CBA=60。,根據(jù)N4aD=15。，CELBO丁點￡,AB=2亞,

得EC=EB=2；由題意得，BE=AD+DE,則折弦408的長為：AD+DE+BE,即可.

【詳解】(1)是弧48c的中點，.,.M4=MC,.,./VDC=/〃=90。，

???ZMAB和ZMCB所對的弧是前，:NMAB=ZMCB,

ZH=ZMDC

在和△MC3中，\ZMAH=ZMCD,:.AMHAWMCB,AH=CD,MH=MD,

MA=MC

?：MB=MB,；.RLMHB出RLMDB(HL),BH=BD,：.CD=AH=AB+BH=AB+BD.

(2)???△A8C是等邊三角形，.?./8=BC,ZCBA=60°,

ZABD=15°,ZCBD=45°,?;CELBD于點、E,；.NECB=45。，：.CE=EB,

AB=2V2）；.EC=EB=2,-：BE=AD+DE=2,

???折弦NOB的長為：AD+DE+BE=2BE=4,故答案為：4.

【點睛】本題考查圓，全等三角形，等邊三角形的性質，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，全等三角形的

判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理的運用，掌握折弦定理的運用.

6.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應任務：

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術運

算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹.他曾經(jīng)提出了"婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該

定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：如圖1,四邊形/BCD內(nèi)接于。。，對角線/C/3D,垂足為點“，直線垂

足為點E,并且交直線4D于點/，則=

證明：???AC1BD,MELBC,ABMC=AAMD=AMEC=90°

：.ZCME+ZECM=90°,ZCBD+ZECM=90°.-.ZCBD=ZCME.

■.■CD^CD，.-.ZCBD=ZCAD.（依據(jù)）

XvACME=ZAMF,ZAMF=ACAD.AF^FM....

任務：（1）上述證明過程中的依據(jù)是；（2）將上述證明過程補充完整；

（3）古拉美古塔定理的逆命題如圖，四邊形23CZ）內(nèi)接于。。，對角線垂足為點直線尸M

交BC于點、E,交AD于點、F.若AF=FD,則尸請證明該命題.

D

【答案】（1）同弧所對的圓周角相等；（2）見解析；（3）見解析.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得結論；（2）證明為等腰三角形即可;

（3）用直角三角形斜邊上的中線的性質證明即可.

【詳解】（1）同弧所對的圓周角相等

（2）■■-ZAMF+ZFMD=90°,ZCAD+ZFDM=90°,

■■ZFMD=ZFDM,:.FM=FD,；.AF=FD.

（3）證明：???/C/AD,.?.N8MC=NZMD=90°,.?.NCAD+NAD2=90°,

：AF=FD,：.AF=FM=-AD,AAMF=ACAD,ACME=ZAMF,,-,ACAD=ACME,

2

,；彘=彘,：.Z.ADB=Z.BCA,ZCME+ZACB=90°,AMEC=90°,FE±BC.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形判定和性質，直角三角形斜邊上的中線的

性質等知識，解題的關鍵是熟練轉換題目中角的關系.

7.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀印度數(shù)學家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四

邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊.

證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形N8CD的對角線NC,2。互相垂直，垂足為點G,過點G的直線垂直于

AD,垂足為點E,與邊3C交于點尸，由垂直關系得NEGO+N尸GC=90°,NEGD+NEDG=90；所以

ZEDG=ZFGC,由同弧所對的圓周角相等得乙4。8=乙4。8,所以/尸GC=NWCG,則bG=FC,同理,

FG=FB,故8E=PC；

【思考】命題"若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊"為—

（填"真命題"，"假命題"）；

【探究】（1）如圖2,A4GB和AZJGC為共頂點的等腰直角三角形，NAGB=4DGC=90。,過點G的直線

垂直于垂足為點與邊BC交于點尸.證明：點廠是的中點；

（2）如圖3,A4G8和NDGC為共頂點的等腰直角三角形N/G8=ZDGC=90。，點尸是8C的中點，連接尸G

交4D于點E,若G尸=2,求AD的長.

【答案】【思考】真命題；【探究】(1)證明見解析；(2)4.

【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出ZFBG=ZFGB,再利用等量代換計算

ZGAD+ZEGA=90°.結論可得；

(1)過點B作BH//GC,交Gb的延長線于點利用同角的余角相等得出N〃GC=N￡OG和

NBGH=NEAG,進而得到A4GoMAG8"；再證明AGB=Affl/,結論可得；

(2)過點C作必Z//2G,交G尸的延長線于點"，易證AGAF三AHCF,得到G8=2G尸=4,

AG=CH.再進一步說明=AHCG,可得4D=G〃，結論可得.

【詳解】解【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊"

為真命題.理由如下：如下圖，

AC1BD,F為BC的中點、，；.BF=GF=FC.；./FBG=/FGB.

???AFBG=ZGAD,ZFGB=ZGAD.ZAGB=90°,AFGB+AEGA=180°-90°=90°.

■.ZGAD+ZEGA=90°.ZAEG=90°.即：EGAD.

???命題"若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊"為真命題.

故答案為：真命題.

【探究】(1)如下圖，過點B作BH//GC,交G尸的延長線于點“，

■■-BH//GC,.-.ZH=ZHGC.■■■ZDGC=90°,■-ZHGC+ZEGD=90°.

■:EG工AD,：.NEGD+/EDG=90°NHGC=NEDG.

???ZAGB=90°,■-ZBGH+ZAGE=90°.

EGYAD,ZAGE+ZEAG=90°.ZBGH=ZEAG.

???A4GB為等腰直角三角形，.?./G=2G.

ZEAG=ZBGH

在ZUG。和AG8H中，＜ZADG=NHSAGD=SGBH(AAS)....GD=BH.

AG=BG

NHGC=NH

?；GD=GC,,-,GC=BH,在AGC尸和心中，ZGFC=ZHFB\GCF=NHFB[AAS）.

GC=BH

:.CF=BF.即尸是BC的中點.

（2）如下圖，過點、C作MH//BG,交G廠的延長線于點H,

■.■MH//BG,NBGC=ZGCM,ZBGF=ZH.

'NBGF=NH

在\GBF和AHCF中，NBFG=Z.CFH：.KGBF=NHCF（AAS）,

BF=FC

：.GB=CH,GF=FH=1.GH=IGF=4.-：GB=AG,：.AG=CH.

■■ZAGD=ZAGB+ZCGD-NBGC=180°-ZBGC,NGCH=180°-ZGCM

'AG=CH

ZAGD=ZGCH.在zUG。和AHCG中，＜ZAGD=ZHCG

GD=GC

；.\AGD=NHCG（SAS）.AD=GH=4.

【點睛】本題主要考查了圓的綜合運用，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質與判定，利用中點

添加平行線構造全等三角形是解題的關鍵.

8.（2023?山西太原?九年級?？茧A段練習）閱讀下列材料，完成相應的任務

婆羅摩笈多（Brahmagwpta）是古印度著名數(shù)學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術運算

規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻.他曾經(jīng)提出了“婆

羅摩笈多定理"，該定理也稱為“古拉美古塔定理該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于O。，對角線/C1AD,垂足為直線ME12C,垂

足為E,并且交直線4D于點尸，則/P=ED.

證明：---ACIBD,MEVBC?■.zCAffi'+zC=90o,zC5￡>+zC=90°

:/CBD—CME：.,乙CME=UMF.?/CAD=UMF；.AF=MF...

任務：（1）材料中劃橫線部分短缺的條件為：；

（2）請用符號語言將下面"布拉美古塔定理”的逆命題補充完整，并證明該逆命題的正確性：

已知：如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于O。，對角線/C1AD,垂足為尸為4D上一點，直線FM交BC于點

E,①.求證：②.證明：

【答案】（1）Z.CBD=^CAD；（2）①FA=FD,（2）FE1BC；證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得結論.

（2）把題設與結論交換可得逆命題，利用直角三角形斜邊上的中線的性質證明即可.

【詳解】解：（1）由題意：空格處為乙CBD=4C4D.故答案為：乙CBDSCAD；

（2）@FA=FD,@FE1BC.故答案為：FA=FD,FELBC.

理由：-：AF=FD,ACLBD,.■.AAMD=90a,：.AF=MF=FD,:.乙FMD=UDM,

???/-DAM+Z-ADM^O°,???在MD+3AM=90°,

?：AFMD=ABME,ZJDAM=^DBC,；"BC+乙BME=90°,.-.AMEB=90°,：.FELBC.

【點睛】本題考查了圓周角定理，等角的余角相等，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的判定

和性質等知識，正確的識別圖形是解題的關鍵.

8.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考三模）探索應用

材料一：如圖1,在△/18C中，AB=c,BC=a,4B=8,用c和9表示3C邊上的高為,用a.c和9

表示的面積為.

材料二：如圖2,已知NC=N尸，求證：CF?BF=QF?PF.

A

C

材料三：蝴蝶定理(ButterflyTheorem)是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由

%G.霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶.

定理：如圖3,M為弦尸。的中點，過〃作弦和CD,連結/。和5C交尸0分別于點E和R則

MF.

證明：設乙4=z_C=a,z5=zJ9=p,

Z-DMP—Z-