中考熱搜難點(diǎn)考點(diǎn)60題（解析版）-2025年上海中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

新題特訓(xùn)02中考熱搜難點(diǎn)考點(diǎn)60題

一.反比例函數(shù)綜合題（共3小題）

1.（2024?綿陽(yáng)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形4BCD中，對(duì)角線ZC與8。相交于點(diǎn)E,邊在x軸上，

ABAD=60°,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=?體片0）的圖象上.

X

（1）求點(diǎn)C,D,E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；

（2）將菱形45CD向右平移，當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，邊5C與函數(shù)圖象交于點(diǎn)尸，求點(diǎn)尸

【答案】（1）。（-3,273）,C（1,2百），￡（-2,百），反比例函數(shù)的解析式為＞=工；

⑵病-3百

2

【分析】（1）判斷出是等邊三角形，求出點(diǎn)。坐標(biāo)，可得結(jié)論；

（2）求出平移后￡,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,B',。的坐標(biāo)，求出直線夕。的解析式，構(gòu)建方程組求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)即可.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)H.

???四邊形48CD是菱形，

AB=BC=CD=AD=4,DE=EB,

■：ABAD=60°,

是等邊三角形，

DHLAB,

AH=BH=2,DH=43AH=2拒,

???5(-1,0),

OB=1,

:.OH=OB+BH=3,

???。(-3,273),C(l,2向，

...DE=EB,

￡(-2,V3),

k

???點(diǎn)。在反比例函數(shù)歹=—(左wO)的圖象上,

x

.0.k-2-\/3，

反比例函數(shù)的解析式為y=--,

X

(2)對(duì)于反比例函數(shù)了=冬8,

X

當(dāng)y=G時(shí)，x=2,

當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn),

菱形向右平移了4個(gè)單位，

:.B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尺(3,0),。(5,273),

直線B'C的解析式為y=百x-3百，

26

.y=—

由JX

y=V3x-3^3

解得x="或x=3-V17

2

x>0,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3+，收-3g

2

二點(diǎn)F到x軸的距離為同一3一

2

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

2.(2024?淮安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)夕=上儼+6的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)/、B,

與反比例函數(shù)y=%(x>0)的圖象交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)/坐標(biāo)為(7,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,3).

X

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。在線段02上，過(guò)點(diǎn)。且平行于x軸的直線交于點(diǎn)E,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)尸.當(dāng)

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=±3,一次函數(shù)的表達(dá)式為y=3+3

x22

(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為g,T).

【分析】(1)把點(diǎn)。。,3)代入p=與，解方程得到反比例函數(shù)的表達(dá)式為歹=3,把點(diǎn)4-1,0),點(diǎn)3)代

xx

33

入〉+6,解方程組得到一次函數(shù)的表達(dá)式為y=]X+習(xí)；

(2)設(shè)￡(私3加+3),得到。(0」加+之)，求得。。=3加+3,由。。=2￡。，列方程得到￡(-3,-),

22222277

于是得到點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為《，把》=《代入y=2即可得到結(jié)論.

//X

【解答】解：(1)把點(diǎn)。(1,3)代入>=與得，

X

3=Q

]，

解得a=3，

3

反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2,

把點(diǎn)/(T,0)，點(diǎn)。(1,3)代入片幻+6得,

1-左+6=0

[k+b=39

解得；2，

b=-

[2

33

二?一次函數(shù)的表達(dá)式為>='%+5；

33

(2)設(shè)頤加,]加+?),

???庭平行于1軸，

33

Z)(0,-772+5),

33

OD=_ITIH—,

22

DO=2ED,

33?、

/.—m+—=2(-m),

22

3

解得冽=-,，

36、

?，E(-〒亍)，

點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為g,

把/代入y=3得，了=工,

7x2

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(g,y).

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征，一次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?眉山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)〉=fcc+b與反比例函數(shù)y='(x>0)的圖象

X

交于點(diǎn)/(1,6),5(H,2),與x軸，y軸分別交于C,。兩點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)尸在y軸上，當(dāng)AP/B的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將直線48向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸，y軸分別交于E,尸兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求a的值.

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9,一次函數(shù)的表達(dá)式為＞=-2x+8；

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5)；

(3)。=6或。=10.

【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程求得加=6,得到反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9,求得3(3,2),解方程組

即可得到結(jié)論；

(2)如圖，作點(diǎn)/關(guān)于＞軸的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接￡3交夕軸于P,則此時(shí)，AP45的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱

的性質(zhì)得到￡(-1,6),得到直線BE的解析式為y=-x+5,當(dāng)x=0時(shí)，夕=5,于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5)；

(3)將直線43向下平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸，》軸分別交于￡,下兩點(diǎn)，求得直線環(huán)的解析式為

y=-2x+8-a,解方程得到￡(氣」，0).尸(0,8-a),根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)??.一次函數(shù)y=履+6與反比例函數(shù)丁=竺口＞0)的圖象交于點(diǎn)出1,6),3(%2),

m,

=6,

:.m=6,

，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9,

「.2=9,

n

..w—3,

B(3,2),

fk+b=6

…\3k+b=2'

解得

:一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+8；

(2)如圖，作點(diǎn)/關(guān)于＞軸的對(duì)稱點(diǎn)E,連接班交＞軸于尸，

D]

周

-o\C\^~~x

則此時(shí)，AP/8的周長(zhǎng)最小，

???點(diǎn)41,6),

￡(-1,6),

設(shè)直線BE的解析式為y=mx+c,

\-m+c=6

\3m+c=2'

m=-l

解得

c=5

直線BE的解析式為夕=-X+5,

當(dāng)x=0時(shí)，y=5,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,5)；

(3)將直線向下平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后與X軸，y軸分別交于E,尸兩點(diǎn),

直線EF的解析式為y=-2x+8-a,

:.E(8寸—Q,0).F(0,8-a),

■：EF=-AB,

—)2+(8-a)2=-xJ(1-3)2+(6—2)2,

解得a=6或a=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，勾股

定理，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

二.二次函數(shù)綜合題(共9小題)

4.(2024?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，已知拋物線>=依2+阮+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)43,0),與y軸交于

點(diǎn)、B,且關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)-L,x,f時(shí)，y的取值范圍是0”%2/-1,求/的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)。，在y軸上是否存

在點(diǎn)E,使得以8,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明

理由.

【答案】(1)y--x2+2x+3；

(2)t=2.5；

(3)3a-2或2.

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)當(dāng)時(shí)，x=-l時(shí)，>取得最小值，則X=t時(shí)，y取得最大值，即可求解；

(3)由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)3(0,3),如圖，B,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，存在點(diǎn)E在點(diǎn)

3上方和下方兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：(1)/(3,0),拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,則拋物線和x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為：(-1,0),

則拋物線的表達(dá)式為：y-a(x+l)(x-3)-ax2+bx+3,

解得：a=-l,

則拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3；

(2)由題意得—L,X,t,

當(dāng)一l<t<l時(shí)，則fx,t,

x=-l時(shí)，y=-x2+2x+3=0,取得最小值,

貝l」x=/時(shí)，2t-l=-t2+2t+3,

解得：，=-2或2,均不符合題意；

當(dāng)，/<3時(shí),

則拋物線的頂點(diǎn)處取得最大值，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,4),

即2Z-1=4,

解得：f=2.5；

(3)存在，理由：

由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)2(0,3),

①當(dāng)3c為菱形對(duì)角線時(shí)，對(duì)應(yīng)菱形為8DCEL

由點(diǎn)N、3的坐標(biāo)得，直線N3的表達(dá)式為：y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)C(尤,+2x+3),點(diǎn)D(x,-x+3),

則CD=-x2+2尤+3—(—尤+3)=—X2+3尤，BD=y/2x>BC=x2+(—x-+2x)2)

-x~+3x=A/2-X，

解得：x=3-后或x=0(舍去)，

則3。=缶=3夜-2，

即菱形的邊長(zhǎng)為：372-2.

②當(dāng)加為菱形的對(duì)角線時(shí)對(duì)應(yīng)菱形為菱形2CDE,

貝UCD=BC,

-x2+3x=+(-x"+2x)2，

解得：x=2或x=0(舍去),

貝UCO=*+3x=-2?+3x2=2,

即菱形的邊長(zhǎng)為：2.

綜上，菱形的邊長(zhǎng)為：30-2或2.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決

相關(guān)問(wèn)題.

5.（2024?濟(jì)寧）已知二次函數(shù)了=辦2+樂(lè)+。的圖象經(jīng)過(guò)（o,_3）,（-6,c）兩點(diǎn)，其中a,b,c為常數(shù),

S.ab>0.

(1)求a,c的值;

（2）若該二次函數(shù)的最小值是-4,且它的圖象與x軸交于點(diǎn)4,B（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo);

②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為。，與直線NC交于

點(diǎn)、E,連接尸C,CB,BE.是否存在點(diǎn)尸，使標(biāo)組=??若存在，求此時(shí)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

SORF8

【答案】(1)c=-3,a=l；

（2）①二次函數(shù)解析式為y=*+2x—3,點(diǎn)4坐標(biāo)（-3,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)。,0）；

V3-3_tx—3—A/3T—3—Jl5

②-----或-------或--------.

222

【分析】（1）將已知兩點(diǎn)代入到解析式進(jìn)行計(jì)算分析即可得解；

（2）①將第一問(wèn)求出的。、。代入配成頂點(diǎn)式即可得到含6的最小值，再根據(jù)題中條件建立方程即可求出

b值，最后求二次函數(shù)與工軸交點(diǎn)，令＞=0即可得解；

②分兩種情況討論，點(diǎn)尸在點(diǎn)/的左右兩側(cè)，再利用△PCE和ABCE都是以CE為底的三角形，求出PG

的長(zhǎng)度，從而得到尸H解析式，聯(lián)立求解即可.

【解答】解：⑴???函數(shù)過(guò)(0,-3),(-b,c)

c——3,a/—Z?2+c=c，

(a—V)b2—0,

ab>0f

qw0,6w0,

ci—1—0,

..ci—\?

(2)①由(1)知該函數(shù)的解析式為：>=，+法-3=(1+?)2巳，

6Z=1>0,

“647%口―土斗b2+12

.?.當(dāng)x=-§n時(shí)，函數(shù)最小值為y=——--,

???二次函數(shù)最小值為-4,

解得6=±2,

ab>0,

:.b=2,

???二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3,

令7=0,則》2+2X一3=0，

解得xt=-3,x2=1,

.?.點(diǎn)/坐標(biāo)(-3,0),點(diǎn)8坐標(biāo)(1,0).

②I,當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)Z右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)8作于點(diǎn)尸，過(guò)尸作PGJ_/C于點(diǎn)G,

OA=OC=3,OB=\,

AB=OA+OB=4,AC=3也，

???S.Rr=-ABOC=-BF-AC,

：.BF=AB'OC=2yli,

AC

V△PCE和^BCE都是以C￡為底的三角形，

.S，PCE_PG=3

"SABCEBF8，

:.PG2

4

過(guò)尸作尸H///C交》軸于點(diǎn)H,過(guò)。作CK_L/W,則CK=PG=逑,

4

-：OA=OC,

/.AOCA=45°,

:./CHK=45。,

a

/.CH=41CK=-,

2

9

2

,，一9

二點(diǎn)H坐標(biāo)(0,-5),

9

?,?直線PH解析式為y=-x--,

j=x2+2x-3

聯(lián)立方程組可得9，

y=-x—

V3-3-3-V3

國(guó)—X0—

22

解得

-6-V3'-6+V3'

-6-百、—/_3-班-6+V3,

，p點(diǎn)坐標(biāo)為)或(,)?

2----------2-------------2

II,當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)/左側(cè)時(shí)，過(guò)尸作PH//NC交〉軸于點(diǎn)H,

3

同第一種情況的方法可得〃(0,-5)

3

直線尸H解析式為y=-x-],

y-x2+2x-3

聯(lián)立方程組得3

y=-x——

12

—3+J15—3—J15

%-X。—

17?

解得f(舍)，二，

VI5VI5

二尸點(diǎn)坐標(biāo)為(匚薩，浮).

綜上，差點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正過(guò)或土蟲(chóng)或一3一后.

222

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值問(wèn)題、二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題、二

次函數(shù)與直線交點(diǎn)問(wèn)題等內(nèi)容，難度中等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.(2024?廣安)如圖，拋物線y=--x2+云+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),

點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線3c于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的垂

線，垂足為點(diǎn)￡,請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有

最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)點(diǎn)”為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMC3=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)”的坐標(biāo).

24

【答案】⑴+于+2；

(2)2PD+PE的最大值為3尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)；

16832

(3)點(diǎn)Af的坐標(biāo)為或(￡，-?).

【分析】(1)直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；

2242

(2)先求解及直線為y=—+2,P{x,——x^+—x+2),可得。+2),再建立二

次函數(shù)求解即可；

(3)如圖，以C3為對(duì)角線作正方形CZ8K,可得/8(求=/3。7=45。，CK,CT與拋物線的另一個(gè)交

點(diǎn)即為如圖，過(guò)T作x軸的平行線交V軸于。，過(guò)8作3GLT0于G,則。8=GQ=3,設(shè)T0=G8=M,

則CQ=7G=3-機(jī)，求解7(勿,機(jī)-1),進(jìn)一步求解直線C7為y=-5x+2,直線CK為y=gx+2,再求解

函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

2

【解答】解：(1),?,拋物線＞=-與X軸交于4,5兩點(diǎn)，與歹軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)4坐標(biāo)為(-1,0),

點(diǎn)5坐標(biāo)為(3,0),

/.y=-§(x+l)(x-3)=+尸+2.

24

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=—x2H—x+2=2,

33

/.C(0,2),

設(shè)直線為〉=米+2,

.3k+2=0,

2

解得左=-§，

2

直線BC為>=——x+2,

24

設(shè)P(^x,——x2+—x+2),

2

D(x,——x+2),

2424

2PD+PE—2(—x?-|—x+2H—x—2)+x-x2+5x,

3333

5=15

當(dāng)/48時(shí)，有最大值二,

29x(--)16

此時(shí)O

(3)如圖，以C5為對(duì)角線作正方形CT5K,

?./BCK=NBCT=45°,

/.CK,CT與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為

如圖，過(guò)T作工軸的平行線交歹軸于。，過(guò)8作5GLT。于G,貝IJO5=GQ=3,

/.ACTB=90°=ACQT=AQGB,

AQCT+ACTQ=90°=ACTQ+ZBTG,

/.ZQCT=ZBTG,

???CT=BT,

\CQT=ATGB(AAS),

:.QT=GB,CQ=TG,

設(shè)TQ=GB=m,則CQ=TG=3—m,

Q0=3-m—2=l-m,

/.T(jn,m-1),

由TC=尊可得根之+（加_3>=（jn-3）2+（m-1）2,

解得冽=；，

設(shè)CT為y=+2,

...L+2=」

22

解得n=-5,

，直線CT為廣一5x+2,

24

y——x2H—x+2

33,

y=-5x+2

_19

x=0-T

解得y=2或'

__91）

一一萬(wàn)

號(hào)‘號(hào)）’嗎‘一3），C（°，2）；騏。），正方形CT8K.

同理可得直線CK為y=+2,

'2245

y=—xH-x+2

.33

?-10

y=—x+2

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或(T，-?)?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì),

正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

7.(2024?東營(yíng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線了=/+法+。與x軸交于/(-1,0),8(2,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在直線BC下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線交8C于點(diǎn)￡,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為人

的長(zhǎng)為/,請(qǐng)寫(xiě)出/關(guān)于/的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量/的取值范圍；

(3)連接交2C于點(diǎn)廠，求出噩的最大值.

U/EF

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：了=》2-尤-2；

(2)/=-/+2/(0<1<2)；

S1

(3)當(dāng)0</<2時(shí)，(苫①q最大=?

【分析】(1)將點(diǎn)/和點(diǎn)3坐標(biāo)代入拋物線的解析式得出方程組，解方程組，進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)先求出直線的解析式，進(jìn)而表示出DE的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出結(jié)果；

DPDE

(3)當(dāng)0<，<2時(shí)，作AGIIDE,交BC于G,可得出△。斯廠，從而——,進(jìn)而得出

AFAG

DF—t2+2t1,、21、在止/曰田

——二------二——?—1)2+一，進(jìn)一步得出結(jié)果.

AF333

【解答】解：(1)由題意得，

fl-b+c=0

14+26+0=0'

??.丁;，

\c=-2

拋物線的表達(dá)式為：y^x2-x-2；

(2)設(shè)直線5c的函數(shù)表達(dá)式為：y=mx+n,

Jn=-2,

\2m+〃=0

，廣；

\m=l

y=x-2,

E(t,Z—2),

D(t,t?—，一2),

.?./=。-2)-(/一？_2)=-/+2/(0</<2)；

(3)如圖1,

當(dāng)0<f<2時(shí),

作AGIIDE,交BC于G,

：.△DEFs△AGF,

.DF_DE

…而一行‘

把x=T代入y=x-2得,

V=-3,

二.AG—3,

DF-t2+2tl八21

——=------=——z(Z-l)+-,

AF333

???當(dāng)f=l時(shí),/月最大3,

..DF=S‘DEF

,看一。

C1

0AZ)￡F\_士

s1最大q

MAEFN

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

8.（2024?山西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：如圖1,矩形是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分

與線段組成的封閉圖形，點(diǎn)/,3在矩形的邊上.現(xiàn)要對(duì)該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不

同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案.

方案設(shè)計(jì)：如圖2,48=6米，的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)尸，與交于點(diǎn)O,點(diǎn)尸是拋物線的

頂點(diǎn)，且尸。=9米.欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：

第一步：在線段O尸上確定點(diǎn)C,使N/C3=90。，用籬笆沿線段/C,分隔出△A8C區(qū)域，種植串串

紅；

第二步：在線段CP上取點(diǎn)尸(不與C,尸重合)，過(guò)點(diǎn)尸作的平行線，交拋物線于點(diǎn)。，E.用籬

笆沿。E,C尸將線段/C,3C與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季.

方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△/BC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料.若要在

第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與C-的長(zhǎng).為此，欣欣在圖2中以N8所在直線為x軸，0P

所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.請(qǐng)按照她的方法解決問(wèn)題：

(1)在圖2中畫(huà)出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求6米材料恰好用完時(shí)DE與C尸的長(zhǎng)；

(3)種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對(duì)該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形.她嘗試借助

圖2設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段ZC,上.直接

(2)在放△ABC中，ZACB=90°,OA=OB,貝ijOC=~AB=-x6=3,得到

22

CF=OF-OC=-m2+9-3=-m2+6?即可求解；

3333

(3)由矩形周長(zhǎng)=2(6〃+6￡)=2(-2加-m2+9-/"-3)=-(加+1.5)2+萬(wàn),，萬(wàn)，即可求解.

【解答】解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

：。產(chǎn)所在直線是48的垂直平分線，且48=6,

OA=OB=-AB=-x6=3.

22

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),

OP=9,

.,?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,9),

??,點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y="？+9,

???點(diǎn)8(3,0)在拋物線y=ax2+9上，

9。+9=0,

解得：a=-\.

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為歹=-%2+9(-3”%3)；

(2)點(diǎn)。，E在拋物線y=—V+9上，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(冽,-加之+9),

??,DEMAB,交》軸于點(diǎn)尸，

/.DF=EF=m,OF=-m2+9，

DE=2m.

???在?△/BC中，ZACB=90°,OA=OB,

,OC=-AB=-x6=3.

22

1.CF=OF—OC=—m2+9—3=—m2+6，

木艮據(jù)題息，得DE+CF=6,

.二-m2+6+2m=6，

解得：叼=2,m=0（不符合題意，舍去）,

:.m=2.

:.DE=2m=4,CF=-m2+6=2

答：￡>￡的長(zhǎng)為4米，CR的長(zhǎng)為2米；

(3)如圖矩形燈帶為GHML,

D

Gm

A0\Bx

由點(diǎn)/、B、。的坐標(biāo)得，直線/C和5C的表達(dá)式分別為：y=x+3,>=-x+3,

設(shè)點(diǎn)GO,—加2+9)、+9)>￡(冽，冽+3)、Af(-m,m+3),

3333

貝U矩形周長(zhǎng)=2(G"+G￡)=2(-2〃2-7M2+9-7M-3)=-2(W+1.5)2+―,—,

故矩形周長(zhǎng)的最大值為，33米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，主要涉及到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，理解題意，

建立適當(dāng)坐標(biāo)系求出函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?河北)如圖，拋物線￡:了="2_2%過(guò)點(diǎn)(4,0),頂點(diǎn)為Q.拋物線Q:y=-<(x+3產(chǎn)一2(其

中，為常數(shù)，且/>2),頂點(diǎn)為尸.

(1)直接寫(xiě)出。的值和點(diǎn)。的坐標(biāo).

(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論t為何值，將G的頂點(diǎn)。向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在g上.

淇淇說(shuō)：無(wú)論t為何值，總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理.

(3)當(dāng)"4時(shí)，

①求直線P。的解析式；

②作直線///P。，當(dāng)/與G的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求/與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)設(shè)G與G的交點(diǎn)/，B的橫坐標(biāo)分別為盯，X",且5<x?,點(diǎn)M在G上，橫坐標(biāo)為m(2,利馬).點(diǎn)

N在上，橫坐標(biāo)為“(X/,,4,/),若點(diǎn)M是到直線尸。的距離最大的點(diǎn)，最大距離為“，點(diǎn)N到直線產(chǎn)。

的距離恰好也為d,直接用含/和加的式子表示n.

(3)①y=4x-10；

②口-2"或1+26；

22

(4)n=2+1-m.

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)把。(2,-2)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2),再檢驗(yàn)即可，再根據(jù)函數(shù)化為

y=-^x2+xt-2,可得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)；

(3)①先求解尸的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；

②如圖，當(dāng)。2：>=-<(》-4)2+6=-6(等于6兩直線重合不符合題意)，可得x=4±2?，設(shè)/與x軸交

點(diǎn)橫坐標(biāo)為x,再進(jìn)一步求解即可；

(4)如圖，由題意可得G是由G通過(guò)旋轉(zhuǎn)180°,再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接

4B交PQ于L,連接BQ,AP,BP,可得四邊形N尸8。是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線尸。的

距離最大的點(diǎn)，最大距離為“，點(diǎn)N到直線的距離恰好也為d,此時(shí)M與B重合，N與4重合，再

進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可.

【解答】解：⑴???拋物線G：昨辦2_2x過(guò)點(diǎn)(4,0),頂點(diǎn)為

16。—8=0,

解得

拋物線為y=$2-2x=g(x-2)2-2,

2(2,-2)；

(2)把。(2,-2)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2),

當(dāng)x=0口寸，C]:_y=——(%—Z)2+—Z2—2=——?2+—Z2―2=-2,

(0,-2)在G上，

嘉嘉說(shuō)法正確；

C*2*y=-5(%-/)2+~t2—2=--x2+x/-2,

當(dāng)x=0時(shí)，＞=一2,

22

C2:j=-1(x-0+1^-2,

過(guò)定點(diǎn)(0,-2),

.?.淇淇說(shuō)法正確；

(3)①當(dāng)"4時(shí)，G:J=-1(X-/)2+1/2-2=-^-(X-4)2+6,

，頂點(diǎn)尸(4,6),

而0(2,-2),

設(shè)尸。為y=%+/,

(4e+f-6

[2e+f=-2,

[e=4

解得

二尸。為y=4x-io；

②???~4,6),

二.尸至!Jx軸的距離為6,

；./與。2交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-6,

當(dāng)：y=-g(x-4)2+6=-6時(shí)(等于6兩直線重合不符合題意),

(x-4)2=24,

「?％=4±2A/6，

???直線尸。的解析式為V=4x-10,

當(dāng)V=-6時(shí)，一6=4x—10,

解得x=1,

)=4%—10=0時(shí)，x=—,

2

設(shè)/與工軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為工，

HIJ1-(4-2A/6)=1-X,

解得x=二-2&,

此時(shí)直線I與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為二-2遙；

2

(4+2A/6)-1=X-|,

解得x=—F2A/6,

2

此時(shí)直線/與1軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為^+276.

2

綜上，直線/與1軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為與-2斯或?+2指；

22

(4)丁y=-2)2—2,G：)=-3(工一)2+；產(chǎn)—2,

.?.。2是由G通過(guò)旋轉(zhuǎn)180。，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同,

如圖，連接48交尸。于￡,連接/。，BQ,AP,BP,

，四邊形/P30是平行四邊形，

當(dāng)點(diǎn)M是到直線尸。的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d,點(diǎn)N到直線尸。的距離恰好也為d,此時(shí)M與3重

合，N與/重合，

2(2,-2),尸&g』_2),

的橫坐標(biāo)為二，M(m,1m2-2m),N[n,-^n-t)2+^t2-2],

.?.￡的橫坐標(biāo)為?，

2

m+n2+1

??=,

22

解得n=2+t-m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)

合的方法解題是關(guān)鍵.

10.(2024?南充)已知拋物線夕n-V+bx+c與x軸交于點(diǎn)4-1,0),5(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為線段OC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線P/,尸3分別交拋

物線于點(diǎn)E,D,設(shè)AP4D面積為SrAP3E面積為$2，求」的值.

(3)如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K的直線(不與對(duì)稱軸重合)與拋物線交于點(diǎn)

N,過(guò)拋物線頂點(diǎn)G作直線///x軸，點(diǎn)。是直線/上一動(dòng)點(diǎn).求。M+QV的最小值.

圖1圖2

【答案】（1）拋物線的解析式為了=一/+2尤+3；

S\

（2）寸的值為:；

（3）。河+。"的最小值為4石.

【分析】（1）把/（T,0），2（3,0）代入了=-尤2++c解得6,c的值，可得拋物線的解析式為了=-X?+2尤+3；

\y=px+p。

(2)設(shè)P(O,0,求出直線/尸解析式為N="+p,聯(lián)立得1戶2：可解得￡(3-〃”2+40，

[y——x+Zx+3

同理可得。(『，一/+?)，即可得岳=5的。一?(%一力)=2(-4+-p2),

SSSAB2

2=^ABE-^ABP=1：-(yE-yP)=2(e+4p_p)=2(3p-p),故s-5°'')_1；

522(3p-p2)9

(3)作點(diǎn)N關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN',過(guò)M點(diǎn)作gLAW'于尸，求出K(l,0),設(shè)直線MN解

析式為>=辰+”,把K(l,0)代入即可知直線解析式為丁=丘-左，設(shè)-/+2%+3),

NS,-/+2〃+3),貝U加+〃=2-左，mn=-k-3,求出N'S,/一2〃+5),QM+QN=QM+QN.MN',

又F(n,—m2+2m+3),故NrF=|m2+n2-2(m+n)+2\,FM=\m-n\,可得

MN,2=MF2+NrF2=A;4+17A;2+80,即知當(dāng)左=0時(shí)，W?最小80,此時(shí)W=4A6，從而。河+QN的

最小值為4A6.

【解答】解：(1)把4—1,0),8(3,0)代入>=—￡+取+。得：

一1-6+c=0

-9+3b+c=0

6=2

解得

c=3

拋物線的解析式為>=-產(chǎn)+2x+3；

(2)設(shè)尸(0,2)，直線/尸解析式為y=勺》+4,

把N(T,O),P(O,0代入得:

-左1+4=0

A=p

K=P

解得:

t>i=p

直線/p解析式為夕=。苫+。,

y=px+p

聯(lián)立得

y——%?+2x+3

x=-1\x=3-p

解得或(I2A

y=0n=-p+4p

/.E*-p,-p2+4p),

同理可得O(〈，-y+y)>

?二S]=SMBD-SMBP=^AB\yD_y尸)=2(_為+?_p)=g(3p_p2)

=

S?=SMBE_SMBP=--(yE~yp}2(—//+42一P)=2(3p—p2),

...r(3i)j；

寸2(3,3)=§

,今的值為J；

(3)作點(diǎn)N關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN',過(guò)M點(diǎn)作〃尸，MV'于/，如圖:

,/y=-x+2x+3=-(x-1)2+4

拋物線y=-/+2%+3的對(duì)稱軸為直線x=l,

??.K(1,O),

設(shè)直線MN解析式為y=kx+d,

把K(1,O)代入得：左+d=0,

/.d——k,

二.直線的V解析式為〉=云-左，

設(shè)+2加+3),N(n,-n2+2〃+3),

聯(lián)立卜=_X?+2X+3,可得d+(左一2)無(wú)一左一3二0,

\y=kx-k

:.m+n=2-k,mn=一左一3,

???N,N'關(guān)于直線/：歹=4對(duì)稱，

N'fji.n1一2幾+5),

:.QM+QN=QM+QN,..MN,,

?/F(?,-m2+2加+3),

/.N'F=|m2+n2—2(m+〃)+21,FM=\m-n\,

在RtAMFN'中,

MN'-=MF2+N'F2

={m-n)2+[m2+n2-2(m+〃)+2]2

=(m+n)2-4mH+[(??+n)2—2mH—2(加+n)+2]2

=(2-ky-4(-后-3)+[(2-k)2-2(-k-3)-2(2-k)+2]2

=A：4+17F+80，

，當(dāng)左=0時(shí)，|W"最小80,此時(shí)W=4A6，

:.QM+QN..A45,

.??W+QN的最小值為4石.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，“將軍飲馬”問(wèn)題等，解題的關(guān)

鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度.

11.(2024?連云港)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax?+6x-l(a、6為常數(shù)，a>0).(1)若

拋物線與x軸交于/(-1,0)、8(4,0)兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖，當(dāng)6=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)C(-l,a)、。(1,°+2拒)分別作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)刊、N,連接ACV、

MD.求證：MD平■分NCMN；

(3)當(dāng)。=1,b?-2時(shí)，過(guò)直線y=x-l(L,蒼,3)上一點(diǎn)G作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)若G〃的

最大值為4,求6的值.

(2)見(jiàn)解答;

(3)-3.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)連接CN,根據(jù)題意，求得-2),N(l,a),進(jìn)而求出CN=2,CM=—)=2,利用勾

股定理求出MN=2應(yīng)，求出￡W=2也，從而得到NNDM=,結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(3)設(shè)G(m,m-1),則〃(私加2+6加-1),L,n,3,求出當(dāng)。=1時(shí)，%=1-4.3,得到點(diǎn)G在//的上方,

1_A31-h1-h

沒(méi)GH=t,故"-病+(1-如z,其對(duì)稱軸為機(jī)=三，分為13和三>3兩種情況討論即可.

【解答】(1)解：???拋物線與x軸交于4(-1,0)、3(4,0)兩點(diǎn)，

???分別將4—1,0),2(4,0)代入了=。尤2+反一1中,

ysfa-b-l=0

得jl6q+46—1=0'

1

ci——

4

解得，

b=——

L4

1?

???拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為V=—1.

44

(2)證明：連接CN,如圖，

'：b=\,

y-ax2+x-1,

當(dāng)％二—1時(shí)，y-a-2,

A/(—1,a—2),

當(dāng)、=i時(shí)，y=a,

C(-l,a),NQ,a),

CN=2,CM=a-(a-2)=2,CMLCN,

在RtACMN中，CM=2,CN=2,

MN=^CM2+CN2=272，

DN=a+2yl2-a=2s/2，

，DN=MN,

ZNDM=ZNMD,

?/DN//CM,

/.ANDM=ZCMD,

/NMD二ZCMD,

/.MD平分NCMN.

(3)解:設(shè)G(九冽一1),IJIlJ+bm-l),l,町,3,

當(dāng)a=l時(shí)，y=x2+bx-l,

???過(guò)直線y=x-ia,x?3)上一點(diǎn)G作V軸的平行線，

令'%?+bx-1-x-1，

解得演=0,x2=l-b.

b?—2,

/.x2=1-b..3,

點(diǎn)G在〃的上方，如圖，

設(shè)GH=t,貝!j/=-m2+(1-b)m,

其對(duì)稱軸為冽=1三-b，且三1-b.43'

3\-b

①當(dāng)2”3時(shí)，即一5”—2,

由