浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高三年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷

浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A={%|—1<x<4},B={久|x<3},則4UB=（）

A.{%|-1<%<3}B.{%|-1<%<4]

C.{x|%<4}D.{x\x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（z—l）i=4+3i（i為虛數(shù)單位），則z+N=（）

A.8B.6C.-6D.-8

3.已知向量而=（遍，1）,AC=（2V3,一2）,則布在左上的投影向量是（）

4.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27,31,37,m,42,49;乙組：24,n,33,44,48,52,若

這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則6+n=（）

A.60B.65C.70D.71

TT

5.已知7T）,且3cos2a—sina=2,則（）

A.cos（jr-a）=IB.tanfji-a）=

C.s譏g一/）二字D.cos（^—a）=

6.記是數(shù)列{冊}的前71項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；設(shè)乙：Sn=仆產(chǎn)）,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

7.在正四棱錐P—ABCD中，底面力BCD的邊長為2,APAC為正三角形，點(diǎn)M,N分別在PB,PD上,且PM=

2MB,PN=2ND,若過點(diǎn)A,M,N的截面交PC于點(diǎn)Q,則四棱錐P-AMQN的體積是（）

ABC2>/6D

—―~9~~9~

8.已知函數(shù)/(%)=g(%)=a%2,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=/(%),y=g(%)圖象均相切，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

ee17

A.(“+oo)B.(29+°°)C.(—,+oo)D.(—,+co)

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，至少有兩個

是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

9.下列結(jié)論中正確的是()

A.在2X2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a,b,c,d均變?yōu)樵瓉淼?倍，則/的值不變位2=

2

(a+6)(cld)(a?c)Q+d)'其機(jī)=a+b+c+d>)

B.已知隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(3,4),若f=2?7+3,則￡)(?7)=1

C.在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(陽，%)(i=l,2,,九)都在直線y=0.9x+1上，則這

組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.9

D.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M表示為“第1枚為正面“，事件N表示為“兩枚結(jié)果相同”，則事件

M,N是相互獨(dú)立事件

10.已知正數(shù)a,6滿足a(a+b)=l,下列結(jié)論中正確的是()

A.。2+/的最小值為2魚—2B.2a+b的最小值為2

C.打犧最小值為苧D.迎一海的最大值為1

11.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=As譏at,但我們平時(shí)聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱

為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為，的基音的同時(shí)，其各部分，如二分之一、三分

之一、四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2人3f,4/■等.這些音叫諧音，因

為其振幅較小，我們一般不易單獨(dú)聽出來，所以我們聽到的聲音函數(shù)是y=sinx+^sin2x+^sin3x+….記

/n(x)=sinx+-^sin2x+^sin3xH-----1--sinnxi則下列結(jié)論中正確的是()

A.%=7T為7*2(%)的一條對稱軸B.八色)的周期為2兀

C.%。)的最大值為警+*D.九(X)關(guān)于點(diǎn)(兀，0)中心對稱

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(—2,-1)在拋物線C：/=—2py上，過點(diǎn)B(0,1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，則

下列結(jié)論中正確的是()

A.C的準(zhǔn)線方程為y=lB.直線AB與C相切

C.麗?麗為定值3D.\BP\■\BQ\>\BA\2

三'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(久-多(1-無)4的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為8,則實(shí)數(shù)a=.

14.已知圓C的圓心在直線y=x+1上且與y軸相切.請寫出一個同時(shí)滿足上述條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程：.

15.已知一個圓臺的上、下底面半徑為a,b(a<b),若球。與該圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，且球。與該圓

臺體積比為息則齊.

16.已知雙曲線*￡=l(a>0,b>0)的左右頂點(diǎn)分別為B,點(diǎn)C滿足前=4畫4>1),點(diǎn)P為雙曲線

右支上任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)B),以4c為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)M,直線BP與直線CM交于點(diǎn)N.若N點(diǎn)的橫坐標(biāo)

等于該圓的半徑，則該雙曲線的離心率是.

四'解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.

17.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=sinBsinC=,sinAsin^B—C)+

sinBsin(C—A)=sinC(sinB—sinC).

(1)求角A的大小；

(2)求△ABC的面積.

18.已知數(shù)列｛a"的前n?項(xiàng)和為Sn，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且滿足的,=-1,a2+b3=0,Sn=2an+bn(nG

N*).

(1)求數(shù)列｛%｝和｛"｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若數(shù)列｛%｝滿足q=必,且c2n=c2n-i+hi，c2n+1=c2n+dn(WN*),求數(shù)列｛4｝的前2c項(xiàng)和七。

19.如圖，在多面體4BCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形，且BC==1,BD1CD.DE1平面

1

ABCD,且OE=WBF=V5,DE||BF.點(diǎn)H,G分別為線段DC,EF上的動點(diǎn)，滿足DH=EG=4(0<4<2).

(1)證明：直線GH||平面BCF；

(2)是否存在；I,使得直線GH與平面4EF所成角的正弦值為照？請說明理由.

20.杭州第19屆亞運(yùn)會，是繼1990年北京亞運(yùn)會、2010年廣州亞運(yùn)會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的

國際綜合性體育賽事2023年9月23日，杭州亞運(yùn)會開幕式隆重舉行.某電商平臺亞運(yùn)周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，

主播為當(dāng)晚7點(diǎn)前登錄該直播間的前N名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運(yùn)、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)

獨(dú)立、隨機(jī)地從這N名觀眾中抽取15名幸運(yùn)觀眾，抽中者平臺會有亞運(yùn)吉祥物玩偶贈送.而直播時(shí)這N名觀眾始

終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)為X(幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計(jì)數(shù)，例如若某幸運(yùn)觀眾兩次都

被抽中，但只記為1人).

(1)已知小杭是這前N名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為|,求N的值；

(2)當(dāng)P(X=20)取到最大值時(shí)，求N的值.

21.已知橢圓C：今+/=l(a>b>0)過點(diǎn)4(-3,0),且離心率為孚.過點(diǎn)B(,,0)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)

(異于點(diǎn)A).直線4P,AQ分別交直線久+2y-9=0于M,N兩點(diǎn).

(1)求證：直線ZP與直線ZQ的斜率之積為定值;

(2)求AAMN面積的最小值.

22.已知函數(shù)/(%)=Inax+(ax—a—l)ex-1—ax(a>0).

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)〃久)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)若函數(shù)/(%)存在極大值M,極小值N,證明：M+N<-4.(其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：因?yàn)榧?={%|-1<%<4},B={%|%<3},則4UB={久|%W4}.

故答案為：C.

【分析】本題主要考查并集的運(yùn)算，根據(jù)已知的集合A和集合B在根據(jù)并集的計(jì)算即可求解.

2.【答案】A

2

【解析】【解答】解：根據(jù)：(z-l)i=4+3i,可解得：2=早=竺學(xué)=4—43,根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義

可得：2=4+4i,貝lz+￡=8.

故答案為：A.

【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算及共軌復(fù)數(shù)的概念，根據(jù)題意可得：z=4—4i,再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念求

得力進(jìn)而得到答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)檐?(點(diǎn)，1),AC=(2V3,—2),則薪?￡?=bx2b+1X(—2)=4,AC

J（2⑹2+々/=%

TT—>

AB-ACAC1/V31\

故荏在刀上的投影向量是丁丁xra=4AC=d，-2）-

故答案為：A.

【分析】本題主要考查向量的數(shù)量積計(jì)算、模長公式、及投影向量公式，根據(jù)已知條件，得到薪.幾及|盛

再結(jié)合投影向量公式進(jìn)行求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得甲組、乙組數(shù)據(jù)均為6個，又6X30%=1.8,得到第30百分位數(shù)為第二

個數(shù)，故n=31,又6x50%=3,

得到第50百分位數(shù)是第三個和4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即：37+m=33+44^解得：m=則血+n=71.

故答案為：D.

【分析】本題主要考查百分位數(shù)的定義，利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)二倍角公式：cos2a=1—2sin2a/可得：3cos2a—sina=3x(1—2sin2a)—

sina=2,

解得：sina=—或者sina=',又得,TT),則sina=J,

Z3乙3

對于A選項(xiàng)：COS(TC—a)=—cosa=—V1—sin2a=—，故A選項(xiàng)錯誤；

對于B選項(xiàng)：tcm(7r—a)=—tana=—列竺=_(+/2/2\l_?，故g選項(xiàng)正確；

COSGC13\3jIJT

對于C選項(xiàng)：sing—a)=cosa=—2,，，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)：cosg—a)=sina=:,

故答案為：B.

【分析】本題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意結(jié)合二倍角公式及

角a的范圍可得sina的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：若也3為等差數(shù)列，則數(shù)列｛a九｝的前n項(xiàng)和%=四產(chǎn)，如果數(shù)列也九｝的前n項(xiàng)和

c_n(a1+a?)

%-2，

則當(dāng)n23,且九CN*時(shí)，即=Sn—Sn_i=出要D_(〃T)()+味i)=%+n吁廣1)味i,

所以a1+(n—2)on—(n—l)Qn_1—0/(T)

即a1+(n—3)cin_1—(ji-2)Gn_2=0,(2),

故①-②得：an+斯-2=2的i_i，即an-an_i=即-1-與-2，故數(shù)列｛%i｝為等差數(shù)列綜上所述：甲是乙

的充要條件.

故答案為：C.

【分析】本題主要考查數(shù)列的求和公式及an=Sn-S-i，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可甲是乙的充分條件,

再利用an=Sn-Sn_i，及已知條件可得到：冊-冊-1=與-1-%i-2，從而判定必要性，即可得到答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖：

連結(jié)BD,交AC于O,連結(jié)AQ,交PO于G,:PM=2MB,PN=2ND,.'.MN//BD,且PG=2GO,根

據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可得：P01AC,故點(diǎn)G為APAC的重心，；.Q為AC的中點(diǎn)，

?..△PAC為正三角形PQJ.AC,又四棱錐P—ABCD為正四棱錐，...BD1AC,PO1BD,且ACCPO=。，

：.BD1平面PAC,

又PCu平面PAC,故PC1BD,,:MN[IBD,:?PC1MN,且尸。1AC,ACCMN=G,故PC1平面

AMQN,

...在正四棱錐P—力BCD中，AB=2,：.AC=BD=則皿=|8。=竽，AQ=^-AC=V6,PQ=

^AC=五,

故四棱錐P—AMQN的體積是Vp_4MQN=gs四邊形4MQNxPQ=^x&x顯x考？xV2=

故答案為：D.

【分析】本題主要考查正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、體積公式、線面垂直的判定、三角形的重心的判定及性質(zhì)，連

結(jié)BD,交AC于0,連結(jié)AQ,交PO于G,根據(jù)題意可得：G為APAC的重心，則Q為AC的中點(diǎn)，進(jìn)而得

到：PQ1AC,PC1MN,從而可證明PC1平面AMQN,然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意可得aH0,設(shè)函數(shù)/(x)=e*T,g(久)=a/的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為：[廣e^T),

[2，謁)，

xrX1-1

對兩個函數(shù)分別求導(dǎo)可得：f(%)-e~,g\x)=2ax,則公切線的斜率為：e=2ax2>可得：久2=

~^a~'

則公切線的方程為：=ex1-i(x_Xi),又公切線必然經(jīng)過點(diǎn)(%2,a成)，

貝1Jax：_蜻「1=靖1-1(％2—把亞=e乙,代入可得：a)-eX1~1=eX1~1---，化簡

可得：2=為"

令t=%—1,則白=攝，因?yàn)榭偞嬖趦蓷l不同的直線與函數(shù)y=/(久)，y=g(x)圖象均相切，

則方程白=2，有兩個不相同的實(shí)根，設(shè)以久)=*,則，(乃=*,

令八'(x)=0,可得x=l,則當(dāng)x<l時(shí)，h(x)>0,當(dāng)％>1時(shí)/I'O)<0,故/i(x)在(一8,i)上單調(diào)遞增，在

(1,+8)上單調(diào)遞減，

故八(久)<八(1)=:,且當(dāng)X趨近于一8時(shí)，八(%)也趨近于一8,又X趨近于+8時(shí)，/l(x)也趨近于+8,

作出的圖像如下圖,

根據(jù)八（久）的圖像可得：方程看=有兩個不相同的實(shí)根，貝心〈會<白解得。f，故實(shí)數(shù)a的取值范圍

為：C，+8）.

故答案為：A.

【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值，由題意可得a70,設(shè)函

數(shù)fW，9。）的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為：同，的-i）,[2,a慰），通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義及公切線的性質(zhì)可求得：

根據(jù)題意可得：*=茅4,令t=/-L方程2=掾，有兩個不相同的實(shí)根，構(gòu)造新函數(shù)依）=*,利

用導(dǎo)數(shù)判定其單調(diào)性后，作出其圖像，結(jié)合圖像即可求解.

【解析】【解答】解：對于A選項(xiàng)：在2X2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a,b,c,d均變?yōu)樵瓉淼?倍,

則_2n(4ad—4hc)2_2n(ad—bc>)2

2為原來的兩倍，故A選項(xiàng)正確;

、X~(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2d)—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

對于B選項(xiàng)：隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N（3,4），則。（f）=4,又f=2〃+3,則0（比）==1,故B

4

選項(xiàng)正確;

對于C選項(xiàng)：若所有樣本點(diǎn)（X”%）（i=l,2,,n）都在直線y=0.9%+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本

相關(guān)系數(shù)為1,則C選項(xiàng)錯誤;

對于D選項(xiàng)：分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M表示為“第1枚為正面”，則P（M）=；，事件N表示為“兩枚結(jié)

果相同”，

則尸（N）=^=；，則有P（MN）=P（M）P（N），事件M,N是相互獨(dú)立事件，故D選項(xiàng)正確.

故答案為：BD.

【分析】本題主要考查獨(dú)立性實(shí)驗(yàn)、正態(tài)分布、相關(guān)系數(shù)等基礎(chǔ)知識，根據(jù)％2的計(jì)算公式即可判定A選項(xiàng)，

由正態(tài)分布和方差的性質(zhì)即可判定B選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義即可判定C選項(xiàng)，由相互獨(dú)立事件的定義即

可判定D選項(xiàng).

【解析】【解答】解：根據(jù)：a（a+b）=l,可得:a+b=」，即—%對于A選項(xiàng)：a2+b2=a2+

aa

(：—aj=2a2+a—222J2a2)a—2=2遮一2,當(dāng)且僅當(dāng)2a2=今，即。2=芋，時(shí)取等號，故A選項(xiàng)

正確；

對于B選項(xiàng)：2a+b=(a+b)+a=1+a22xa=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=，，,即a=1，時(shí)取等號，但是此

時(shí)：=--a=0與b為正數(shù)相矛盾，故B選項(xiàng)錯誤；

ba,

對于C選項(xiàng)：'+、=,+J溫=口)。3'令/(a)=a—則/(Q)=1—3Q2,a>0,時(shí)，令f(a)=1—

對于D選項(xiàng)：VH—VF=—J，—CL,令九(a)=y/a——a(0<a<1)^則%(a)=2VS+

2(1+，)JI二>仇

故/i(a)在(0,1］上單調(diào)遞增，則/1(a)?/(I)=L又a=1,時(shí)取等號，但是此時(shí)：b=1—a=0,與b為正

數(shù)相矛盾，故D選項(xiàng)錯誤.

故答案為：AC.

【分析】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用、利用導(dǎo)數(shù)求最值，對已知條件進(jìn)行變形可得：b^--a,帶入AB

a

選項(xiàng)的整式中，通過基本不等式即可判定AB選項(xiàng)，再將b=」—以帶入C選項(xiàng)可得：4+/=工，令

aa。a—a^

/(a)=a-標(biāo)，通過求導(dǎo)后判定其單調(diào)性即可求解，D選項(xiàng)參照C選項(xiàng)的方法即可求解.

1L【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得：/2(x)=sinx+^sin2x,對于A選項(xiàng)：

則々(一%+2TT)=sin(—x+27ra)+；si;i2(—%+2TT)=—sinx—^sin2x=-f2(%)/所以介―％+2")W

--2(%)

則％=兀不是介以)的一條對稱軸，對于B選項(xiàng)：/2(x+2TT)=sin(%+2兀仇)++2兀)=sinx+

^sin2x=/2(x)/

則打。)的周期為2"，故B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)：f3(%)=sinx+^sin2x+^sin3x,

/

貝!Jf3(x)=cos%+cos2x+cos3x=cos%+cos2x+cos(2x+x)=cosx+cos2x+cos2xcosx—sin2xsinx=

cosx+cos2x+cos2xcosx—2sin2xcosx=cosx(l—2sin2%)+cos2x+cos2xcosx=cos2x+2cos2xcosx=

cos2x(l+2cosx),

又因?yàn)橥狻?2TT)=sin((x+2TT))+^sin2(＜2x+2TT)+^sin3(2x+2TT)=f3(%)/故/3(E)的周期為2兀，

故只需考慮為3在［o,27Tl上的最大值即可，令八(久)＞0,可解得：0＜尤＜稱，或等＜x(苧，或者苧＜

x＜竽，或者等＜久＜2兀，

令/'3(久)＜。，得：*＜久＜與，或者竽＜久＜苧，或者萼＜久〈冬，

故匕⑺在(0,勺和(竽,竽)和(竽,均和(竿，2兀)上單調(diào)遞增，在(3竽)和(竽，沿和(等竽)上單

調(diào)遞減，

v田%c_^1,1A/2_12V2r/3TT\_1.272

又因力.3(4)=丁+Ia+wxXZ2=2+I丁，.3(彳)=2+丁，

外(竽”—苧，/(2")=0,則/⑴的最大值為孥+稱，即C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)：7n(%)=sinx+^sin2x+^sin3x+—F.sizm%,

貝%(—%+2TT)=sin(—x+2TT)+*sin2(-x+2TT)+/s譏3(—%+2TT)+—h^sinn(—x+2TT)=—sinx—

111

■^sin2x--5sin3x------sinnx9

23n

即7n(%)+fn(-％+2TT)=0,則7n(%)關(guān)于點(diǎn)(7T,0)中心對稱,故D選項(xiàng)正確.

故答案為：BCD.

【分析】本題主要考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，根據(jù)題意可得：打(一支+2兀)。-打(%)，即可判定A選項(xiàng)；根

據(jù)題/2。+2兀)=/2(%)，即可判定B選項(xiàng)，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判定

C選項(xiàng)；根據(jù)題意可得：fn(X)+/n(f+2兀)=。，即可判定D選項(xiàng).

【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)4(—2,—1)在拋物線C：久2=_2py上，所以(―2)2=—2pX(―1),解得：p=

2,

則拋物線：C的準(zhǔn)線方程為y=l,故A選項(xiàng)正確；

設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b,將點(diǎn)2(-2,—1),點(diǎn)B(0,1)代入直線的方程可得：「2卜：，：一1，解

得:仁=：，

3=1

則直線AB的方程：y=x+lr聯(lián)立直線AB和拋物線C的方程可得：產(chǎn)2=-"，消去可得：%2+4x+

'(y=x+1

4=0,

則4=非—4ac=42—4x4x1=0,故直線ZB與C相切，貝UB選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)：當(dāng)過點(diǎn)B(0,1)的直線斜率不存在時(shí)，直線與拋y軸重合，此時(shí)直線與物線只有一個交點(diǎn)，不符

合題意，當(dāng)直線存在時(shí)，可設(shè)過點(diǎn)B(0,1)的直線方程為：y=kx-X,聯(lián)立直線和拋物線C的方程可得：

卜萬，消去y可得：x2+4kx—4=0,△=b2—4czc=(4/c)2—4x1x(—4)=16k2+16>0,

設(shè)P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為［i，yj,鼠，丫2)，則由韋達(dá)定理可得：+%2=—4k,刈冷二—4,

則丫1%=(一?)(一?)=(等j=(D=L故而.OQ=久2+y/z=—4+1=-3,故C選項(xiàng)錯誤；

22

對于D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)可得：\BP\=71+fc|%il，\BQ\=Vl+/c|x2b

2222

順BP|?|BQ|=(1+k)\X1xz\=4(1+/c),\BA\=J(一2—09+(—1—1尸=4,則BP|?|BQ|>\BA\,

故D選項(xiàng)正確.

故答案為：ABD.

【分析】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本性質(zhì)、直線與拋物線的綜合問題，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線

的方程，即可求出p的值，在根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解判定A選項(xiàng)；利用待定系數(shù)法求出直線AB的

方程，聯(lián)立直線AB的方程及拋物線的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用判別式即可判定B

選項(xiàng)，對于C選項(xiàng)，設(shè)出過點(diǎn)B的直線方程再聯(lián)立拋物線方程，消去y得到關(guān)系x的一元二次方程，設(shè)

P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為11，%)，［2,丫2)，由韋達(dá)定理得到y(tǒng).2的值即可判定C選項(xiàng)；再利用C的

的條件結(jié)合距離公式即可判定D選項(xiàng).

13.【答案】3

【解析】【解答】因?yàn)?1—%)4的展開式的通項(xiàng)公式為(―1)7笈"，

則展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為(—1)1以-a(—l)3(4=8

解得a=3

故答案為：3

【分析】根據(jù)題意得到(1-支產(chǎn)的展開式的通項(xiàng)公式，再由條件列出方程即可得到結(jié)果.

14.【答案】(X+1)2+y2=1(答案不唯一)

【解析】【解答】解：因?yàn)閳AC的圓心在直線y=%+1,可設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a,a+1),又圓C與y軸

相切，則半徑r=|a|,

故圓C的方程為：Q—a)2+(y—a—=a2,令a=-l,可得滿足上述條件的一個圓的方程為：(久+1產(chǎn)+

y2—1,

故答案為：(%+I)2+y2=1(答案不唯一).

【分析】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)與y軸相切得出半徑，即可寫出圓的

方程，然后再賦值即可求解.

15.【答案】1

【解析】【解答】解：根據(jù)題意作出圓臺的軸截面，如圖所示:

E為切點(diǎn)，DF為圓柱的高，根據(jù)切線長定理可得：DE=a,AE=b,DE則圓臺的母線：AD=AE+DE=

a+b,AF=2b~2a=b-a,所以圓臺的高：DF=>/AD2-AF2=J（a+-產(chǎn)一（b—a）2=2而，則球O的

半徑r==4ab,

又因?yàn)榍颉Ｅc該圓臺體積比為%則瓢嚴(yán)_，化簡可得：3a2-10油+3b2=0,方

13na2+ftb+nabx2jab15

程兩邊同時(shí)除以必，

可得：3償f-101+3=0,解得：￡=聶3（舍去）.

\bJbb3

故答案為：I

【分析】本題主要考查圓臺及其內(nèi)切球的性質(zhì)、圓臺、秋的體積公式，根據(jù)題意作出圓臺的軸截面，然后根

據(jù)題意可求得圓臺的母線長，進(jìn)而可求得圓臺的高，再根據(jù)球與圓臺的體積之比即可求解.

16.【答案】V2

【解析】【解答】解：如圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)C滿足方=4荏（4>1）,則點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線，故可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為k，0）（t>a）,

由題意可得：A（^—a,0）,B（a,0）,則|AC|=a+3則可設(shè)月），P（%2，外），故膜P=久普.，

k_巧_2yl

2

又以AC為直徑的圓交直線4P于點(diǎn)M,所以AMICM,即AP1NC,故X與=一1，所以:

t-CL

久2+a一匹'

又因?yàn)镻,B,N三點(diǎn)共線，故kpB=kBN，即券=舍=誓,故缶、表=或x衿=L即

2

光二1

%與-02'

22

X2y2

又點(diǎn)P在雙曲線馬-4=l(a>0,>O所以--

)±-2--2=

ba力

所以雙曲線的盾心率e=￡=

a

故答案為：V2.

【分析】本題主要考查雙曲線的離心率、共線向量、圓的幾何性質(zhì)、直線垂直斜率的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(a0)(t>a),在結(jié)合題意可設(shè)yj,P(%2，丫2)，在根據(jù)題意可得k/pkcN=-1，再根據(jù)kpB=

岫N，進(jìn)一步求出關(guān)系式，進(jìn)而可求得丫2,%2的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線上得出a,b,C的關(guān)系，即可求解.

17.【答案】(1)解：sinA(sinBcosC-cosBsinC)+sinB(sinCcosA-cosCsinA)=sinCsinB—sin2C

由正弦定理可得：abcosC-accosB+bccosA-abcosC=be—c2,

bccosA—accosB=be—c2,

由余弦定理：bc-b2+^-a2-ac-a2+f-b2=be-c2

化簡得：b2+c2—a2=be

所以+，4T.

(2)解：由正弦定理：品=島=薪=2,

所以be=4sinBsinC=3

則S=^besinA=稱x*=

ZZZ4

【解析】【分析】本題主要考查正弦定理、余弦定理得運(yùn)用.

(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合已知等式可得：bccosA-accosB=be-c2,再根據(jù)余弦定理進(jìn)一步化簡可得：三邊

a,b,c的關(guān)系，再運(yùn)用余弦定理即可求解；

(2)根據(jù)已知條件結(jié)合(1)可得：bc=4sinBsinC=3,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求解.

18.【答案】(1)解：令n=1,則Si=2al+br=cz1；得比=1,

令n=2>則S2=2a2+歷=a1+a2,又a2+加=0,所以歷—=—1=—d,

即d=1.所以bn=n,

由Sn=2an+n得，Sn—=2an_r+n-1.兩式相減得斯=2tzn_1-1,

—

即時(shí)1=2(an_i—1),

且%—1=—2,所以?n—l｝是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列，

所以斯一1=一2"，因此^=—2.+1

n

(2)解：由C2n=c2n-i+",c2n+1=c2n+an可得C2ri+i=C2n-1-2+2

cc21

C2n-1—2n-3~1+2,C2n-3=2n-5-2n+2,…C3=C1—2+2-

累加可得C2n-i=-2"+2n+1,

((

T2n=C1+C3+C5H----HC2n-1)+C2+C4+c6H----Fc2n)

c

=(i+C3+C5+—Fc2n-i)+(Ci+1+c3+1+c5+1+—Fc2n-i+1)

-2(q+C3+c5H----Fc2n_i)+n,

而q+C3+C5+…+C2n-i=-(2〔+2?+…+2n)+(3+5+…+27i+1)

=2—2n+1+n2+2n,

因此72n=4-2n+2+2n2+5n

【解析】【分析】本題主要考查等式數(shù)列的基本性質(zhì)、數(shù)列前前n項(xiàng)和為S.通項(xiàng)公式的an的關(guān)系及分組求和的

運(yùn)用.

(1)根據(jù)已知條件，通過對n進(jìn)行賦值可求得比=1及d,從而可得數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到5.=

20n+n,再根據(jù)an=Sn-Sn_i(n>2)進(jìn)行求解即可；

(2)結(jié)合(1)和題意可得：C2.+1=C2nt-2n+2,然后運(yùn)用累加法可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)

列｛%｝的通項(xiàng)公式知道其由等比數(shù)列和等差數(shù)列兩部分組成，然后分組運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式進(jìn)

行求和即可.

19.【答案】(1)解：過點(diǎn)G作的垂線，交于點(diǎn)Q,

貝|JGQ||BF.連接QH,貝且由。4=4,

所以。H=20Q,QH||BC,又因?yàn)镼HCABCF,

BCUXBCF,所以，QH||平面BCF

且GQII平面BCF,GQCQH=Q

所以平面GQH||平面BCF,

又因?yàn)镠GuHQG,

所以HGII平面BCF

(2)解：如圖：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DC,DB,DE方向?yàn)閤,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

~Z、

則C（2,0,0）,B（0,L0）,4（—2,L0）,F（0,1,2遮），E（0,0,呵,貝必E=（2,-1,遮），

點(diǎn)=（0,LV3）,設(shè)平面AEF的法向量為通=（%2,y2，Z2）

（—y+V3Z=0

則由A__E,?而=0,E—F,?族__,=0,2X2",922,解得雨=（遮，5—i）

y2+V3Z2=0

&+月

所以sin。=|cos（nJ,~GH）\=\

V7j2A2+3A+3

解得4=1.

【解析】【分析】本題主要考查線面平行的判定、運(yùn)用向量解決直線與平面所成角的問題.

(1)過點(diǎn)G作BC的垂線，交BD于點(diǎn)Q,根據(jù)線段成比例及線面平行的判定定理可證得QHII平面BCF,再根據(jù)

面面平行的判定得到平面GQH||平面BCF,根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可求證；

(2)以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DC,DB,DE方向?yàn)閤,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面AEF的法向量為

雨=(久2，y2>Z2)，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面4EF的法向量為元=(久2，y2>Z2)，求得道=(遍，V3,—

1),然后利用公式：sine=|cos〈R,涌〉|進(jìn)行求解即可.

20.【答案】(1)解：記“小杭被抽中”為事件4"小杭第i次被抽中”為事件4(i=1,2).

P(4)=PGM2)+P(AM+2(△).=舟+得,9)X2=1

解得N=45

1O51O

CCC

15N15

15-

45

157

LrN(N-14)

(N+1)(N-19)

N—15

所以N=22時(shí)P(X=20)取最大值.

【解析】【分析】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率公式及概率運(yùn)用.

⑴記“小杭被抽中”為事件4"小杭第i次被抽中”為事件4(i=1，2),根據(jù)題意可得：A=&&+公瓦+

A；A2,然后根據(jù)相互獨(dú)立事件概率公式可得關(guān)于N的等式，解出N進(jìn)行求解即可；

1O

C

-1515記知=廿,然后解不等式符“，求出N的取值范

(2)根據(jù)題意可得：P(X=20)啃

圍即可求解.

(cV6a=3

21.【答案】⑴解：由題意得廣矛解得

b=W

、。二3

所以橢圓C的方程為普+[=

設(shè)PQi，%),Q(X2,y2),直線2P,AQ的斜率分別為七，k2,

汽2+3y2—9

設(shè)直線PQ為X=ty+1與橢圓聯(lián)立，3,

2x=ty+

(3t

"2+3M+3ty之一°力力=一三

+D)y+Sty彳—Uj271'

(當(dāng)力=一彳有

前=一

沙T9

tyi+jty2+l嗎。2+別%+丫2)+警

代入可得心?七=-/所以直線力P與AQ的斜率之積為定值J

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