浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)的計(jì)算（11類題型）（原卷版）

第02講銳角三角函數(shù)的計(jì)算（11類題型）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.銳角三角函數(shù)的計(jì)算；

1.掌握特殊角的三角函數(shù)值及其計(jì)算；

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1：特殊銳角三角比的值

1.特殊銳角的三角比的值

asinacosatanacola

1

30°出

322

交也

45°11

2

73

60°走

322

2、補(bǔ)充（僅作了解，若填空、選擇中出現(xiàn)，可直接使用）

atanacotasinacosa

述+忘

15°2-石2+73

44

指+血

2+g2-y/3

75°44

3.通過觀察上面的表格，可以總結(jié)出：

當(dāng)0。<戊<90。，a的正弦值隨著角度的增大而增大，a的余弦值隨著角度的增大而減??；a的正切

值隨著角度的增大而增大，a的余切值隨著角度的增大而減小.

【即學(xué)即練1】

1.（2023上?山西臨汾?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列計(jì)算不正確的是（）

A.sin45°cos45°=—B.sin30°+cos60°=1

2

sin30°,3

C.=1D.sin260°=-

cos30°4

【即學(xué)即練2】

2.（2023上?山東濰坊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）若a是銳角，tana=l,則cosa的值是（）

ALR叵「小D1

D.L.U.J.

222

【即學(xué)即練3】

3.（2023上?安徽亳州?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列各式：?sin59°>sin28°;②0<cosa<l（a是

銳角）；（3）tan30°+tan45°=tan75°,其中成立的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【即學(xué)即練4】

4.（2023上?安徽六安?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若銳角a滿足J_<cosc<，2,則銳角1的取值范圍是（）

22

A.0°<cr<45°B.30°<cr<45°

C.45°<?<60°D.30°<6T<60°

【即學(xué)即練5】

5.（2022上?安徽淮北?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在，ABC中，ZA=105°,/B=45。,cosC的值是（）

A.。B.—C.1D.y/3

22

【即學(xué)即練6】

6.（2023上?北京東城?九年級(jí)北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┮阎?A是銳角，tanA=百，那么—A的度

數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

題型精講

題型01求特殊角的三角函數(shù)值

1.（2223?杭州?中考真題）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。.若NAC?=60。，則；==（）

DY

2.（2223下?二模）小明在計(jì)算、+隨x2cos45。-（夜時(shí)，先對(duì)題目進(jìn)行了分析，請你根據(jù)他的思

路填空:

（1）原式中"可以轉(zhuǎn)化為（-2戶，機(jī)的值為.

（2）原式中“強(qiáng)"的結(jié)果為;

（3）原式中"（0+1廣的結(jié)構(gòu)特征滿足某個(gè)乘法公式，該公式為（“+6）2=/+2"+外

（4）原式的最終結(jié)果為：1.

3.（2023秋?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式型3/。-2"一二］的值,其中。=31g30。+1；

aa］

6=Jisin450?

題型02特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

1.（2223上?洛陽?期末）下列計(jì)算錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

1sin30°

①sin60°-sin30°=sin30°；②sin245°+cos2450=1;③（tan600）2=一；@tan30°=---------

3cos30

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2020上?萬州?期中）計(jì)算：sm2300+cos2300-tan60°=.

3.（上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：

4cos60°-2cos45°

tan2600-6cot60°+

sin300-tan45°

題型03由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀

1.（2223上?盤錦?期末）在，ABC中，/4、均為銳角，5.|tanB-A/3|+（2cosA-73）"=0,則ABC是

（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.（2017下?蕪湖?一模）在△ABC中，（2cosA--tan邳=0,貝！］ABC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

3.（2223上?嘉峪關(guān)?期末）在ABC中，|2cosA-l|+（囪-tanB『=0,則ABC的形狀是.

題型04由計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值

1.（2022?山東東營?模擬預(yù)測）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下:

2/3-J16=,按鍵的結(jié)果為他；

2ndFJ64—2x2―,按鍵的結(jié)果為〃；

9ab/c2—cos60=,按鍵的結(jié)果為女.

下列判斷正確的是（）

A.m=nB.n=kC.m=kD.m=n—k

2.（2023秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）請從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分.

A.若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于140。，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是.

B.用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：13x713xsinl4°=（結(jié)果精確到0.1）

3.（2023秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用計(jì)算器求下列各式的值（精確到0.0001）：

（1）sin47。；

（2）sinl2030,；

⑶cos25°18'；

（4）sinl80+cos55o-tan59°.

1經(jīng)典例題五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】

k

1.（22?23上?西安?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=—（左。0）圖像上一點(diǎn)，B、。分別在％、y軸上,

x

連接A8與y軸相交于點(diǎn)。，已知sin/G4D=cos〃BC>￥，且,ABC的面積為2,則上的值為（）

A.2B.-2C.-4D.4

2.（2023秋?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系加，中，頂點(diǎn)為M的拋物線丁=依2+法（。>0）

經(jīng)過點(diǎn)4-1,0）和無軸正半軸上的點(diǎn)B,AO=OB.

⑴求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)OM,求/AQM的度數(shù)；

⑶聯(lián)結(jié)AM、BM、AB,若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)使NOAP=NABM,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

題型05根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)

1.（2019上?淮北?階段練習(xí)）已知sina>cosa,那么銳角。的取值范圍是（）

A.30<a<45B.0<a<45C.45<a<60D.45<a<90

2.（2022上?邵陽?期末）下列說法中正確的是（）

A.sin450+cos45O=1B.若。為銳角，貝ljsina=cos（90?！?。）

C.對(duì)于銳角夕，必有tan，=^2

D.若。為銳角，則sincr>cosa

題型06已知角度比較三角函數(shù)值的大小

1.（2023秋?黑龍江大慶?九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知g<cosa<sin80。，則銳角a的取值范圍是（

A.30°<?<80°B.10°<?<80°C.60°<tz<80°D.10°<?<60°

題型07根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍

1.（2023秋?黑龍江大慶?九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知g<cosa<sin80。，則銳角a的取值范圍是（

A.30°<a<80°B.10°<?<80°C.60°<a<80°D.10°<a<60°

2.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形A3CZ）中，。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn),若

AC=4"OE=2,則AB的最大值為.

題型08利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值

L（2223?婁底?中考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個(gè)

結(jié)論：三邊分別為。、b、。的ABC的面積為S*=；J"?的一j1g-'21?9C的邊。、b、c所對(duì)的

角分別是她、團(tuán)3、0C,則5Ac=—absinC=—acsinB=—bcsinA.下列結(jié)論中正確的是(

As222

2

/+Z?2-C2D…二-C

A.cosCB.COS—

2ab2ab

a2+b2-c2c廠a2+b2-c2

C.cosCL*?CUoL一

2ac2bc

2.(2022下?專題練習(xí))已知0<a<45?,關(guān)于角a的三角函數(shù)的命題有：①0<sina<乎，②cosa<sinar,

③sin2a=2sina,(4)0<tan?<1,其中是真命題的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.(2022?湖南湘潭??？家荒?同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：

sin(?-/7)=sin?coscostzsin,sin(?+y0)=sintzcos(5+cosasin/3；

cos[a-/3^=cosacos+sinasin(3,cos(?+?)=coscrcosQ一sinasin?.

例：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=.

⑴試仿照例題，求出cos75°的值；

(2)若已知銳角a滿足條件sina=g,求sin2a的值.

題型09求證同角三角函數(shù)關(guān)系式

1.（2021春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在RfflABC中，回C=90。，把0A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做她的余切，記作cotA

h

=-.則下列關(guān)系式中不成立的是（）

a

A.tanA-cotA=lB.sinA=tanA-cosA

C.cosA=cotA-sinAD.tan2A+cot2A=l

2.（2022春?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）下列結(jié)論中（其中。，￡均為銳角），正確的是.（填序號(hào)）

①si/a+cos2a=1；（2）cos2a=2cosa；③當(dāng)0°<a</<90。時(shí)，0<sin。<sin6<1；（4）

sina=cosatana.

題型10互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

1.（2022秋?廣西百色?九年級(jí)?？计谀┫铝惺阶又?，不成立的是（）

A.應(yīng)sin45。=2sin30。B.sin40°=cos50°

C.tan40°xtan50°=1D.sin（30°+30°）=sin30°+sin30°

2.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：

sin（a-/?）=sinacos-cosasin,sin（?+y0）=sintzcos+cosasm/3,

cos（a-=cosacos+sin?sin,cos（a+尸）=cosacos力一sinasin夕.例：

sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos300-cos45°sin30°=巡］亞.若已知銳角?滿足條件sina=1,則

sin2a=.

題型11三角函數(shù)綜合

1.（2023?湖北恩施?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片ABCD中，E為8C的中點(diǎn)，連接AE,將AABE沿AE折

疊得到△詼￡,連接CP.若AB=4,BC=6,則CF的長為（）

2.（2023?上海長寧?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E在正方形A3CD的邊8上，NABE的平分線交AO邊于點(diǎn)尸,

連接E尸，如果正方形ABCD的面積為12,且CE=2,那么cot（-BE尸--￡＞莊）的值為.

AFD

/

C

強(qiáng)化訓(xùn)練

A夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2023上?河北邢臺(tái)?九年級(jí)邢臺(tái)市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列三角函數(shù)的值是走的是（）

2

A.cos30°B.tan30°C.cos60°D.sin45°

2.（2022上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考開學(xué)考試）若sinA=g（NA為銳角），則NA

的度數(shù)為（）

A.60°B.30°C.45°D.30°或60°

3.（2023上?上海寶山?九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：sin45°+cos45°=.

4.（2023下?山東臨沂?九年級(jí)校考期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,貝UsinA+cosB的值為.

5.（2023上?山東東營?九年級(jí)東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算：

⑴4+2sin45°-（%-3）°+|應(yīng)-2卜

⑵cos30。+$畝245。-tan60°.

1-cos60°

6.（2023上?山東泰安?九年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?）sin260°-tan30°-cos30°+tan45°

、tan60°-tan45°

（z2）------------------------

1+tan60°?tan45°

B能力提升

1.（2023上?山東濰坊?九年級(jí)校考階段練習(xí)）在RtZXABC中，ZC=90°,若。=10,S=也叵，則=

,ADC3

（）

A.60°B.30°C.45°D.75°

2.（2023上?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考期中）己知。的半徑。4=2,弦A3、AC的長分別是2月、2后，則

/30C的度數(shù)為（）

A.30°B.120°C.30°或150°D.30°或120°

3.(2023上?黑龍江大慶?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))在一ABC中，若sinA-y-j+1-cosB=0,則/C的

度數(shù)為.

4.(2022上?江西撫州?九年級(jí)?？计谥?定義一種運(yùn)算：sin(?+13)=sinacos+cosasm/3,

sin(6z—=sinacos(3—cosasin(3,則sinl5。的值為.

5.(2023上?山東東營?九年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算

3,

(1)2cos45°--tan300-cos30°+sin260°；

(2)(sin30°)-1.(sin60。-cos45。)--tan60。)，.

1a+2

6.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考階段練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式