正多邊形與圓重難點題型專訓(xùn)（八大題型）（解析版）

第二十四章圓

專題19正多邊形與圓重難點題型專訓(xùn)(八大題型)

言【題型目錄】

題型一正多邊形與圓之求角的度數(shù)

題型二正多邊形與圓之求線段長

題型三正多邊形與圓之求半徑

題型四正多邊形與圓之求面積

題型五正多邊形與圓之求周長

題型六正多邊形與圓的實際應(yīng)用

題型七正多邊形與圓的規(guī)律問題

題型八正多邊形與圓中的證明

【知識梳理】

知識點、正多邊形與圓

(-)正多邊形及有關(guān)概念

(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。

(2)正多邊形的畫法：把圓〃等分([23),順次連接各等分點，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這

個圓就是這個正多邊形的外接圓。

(3)正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。

(4)正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。

(5)正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。

(6)正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。

(二)正多邊形的有關(guān)計算

(1)正〃邊形的每個內(nèi)角都等于=180°-4門.

nn

360°

(2)正〃邊形的每個中心角都等于——.

n

(3)正〃邊形的其他計算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進行，如圖所示，

設(shè)正〃邊形的半徑為凡一邊45=。，邊心距(W=r,則有/5。初=幽,氏2=/+1]]，正"邊

形

的周長/=na,面積S=nS^oB=2nsM0M=萬江

o

A

J【經(jīng)典例題一正多邊形與圓之求角的度數(shù)】

1.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，。。與正五邊形/5CDE的兩邊/E,CD相切于A,C兩點，則

//OC的度數(shù)是（）

A.144°B.140°C.135°D.129°

【答案】A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得/CME=90。，ZOCD=90°,結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108。，即可

求解.

【詳解】解：?：4E、8切。。于點4C,

.?.NONE=90°,ZOCD=90°,

5-2

???正五邊形/3CDE的每個內(nèi)角的度數(shù)為：亍*180。=108。，

ZAOC=540°-90°-90°-108°-l08°=144°,

故選：A.

【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理

是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形4BCDE尸內(nèi)接于。。，點尸在藍上，點0是洗的中

點，則NC尸。的度數(shù)為（）

C.36°D.60°

【答案】B

【分析】連接。。，OD,OQ,OE,根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)和點。是近的中點，得到

ZCOD=ZDOE=60°,ZDOQ=ZEOQ=|ZDOE=30°,得到/CO。=90。，根據(jù)圓周角定理即可得到

NC尸。的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接。C，OD,OQ,OE,

???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。，。是族的中點，

36001

ZCOD=ZDOE=——=60°,ZDOQ=ZEOQ=-ZDOE=30°,

62

.?.ZCOQ=/COD+ZDOQ=90°,

ZCPQ=^ZCOQ=45°,

故選：B.

【點睛】此題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，熟練掌握正多邊形和圓的知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形/8CDE內(nèi)接于。。，點P在弧/￡上，則NCPB的度數(shù)

為一

A

CD

【答案】36。/36度

【分析】連接03,0C,構(gòu)造圓心角，利用正五邊形的性質(zhì)求得圓心角的度數(shù)，從而求得NCP3的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接03,0C,

???正五邊形/8CDE內(nèi)接于。。，

360°

ABOC=-^―=72°,

NCPB=-ZBOC=-x72°=36°.

22

故答案為：36。.

【點睛】此題考查了正多邊形與圓以及圓心角、圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)

以及圓周角與圓心角的關(guān)系.

4.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示，在正五邊形ZBCDE中，尸是CD的中點，點G在線段在'上

運動，連接EG,DG,當(dāng)△OEG的周長最小時，NEG。的度數(shù)為

【答案】72。

【分析】根據(jù)對稱的定義得出當(dāng)點￡、G、C在同一條直線上時，△DEG的周長最小，由正五邊形的性質(zhì)可

得/CDE=108。，CD=ED,由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得/DCE=/DEC=36。，再由等

腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義進行計算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點E、G、C在同一條直線上時，△DEG的周長最小,

A

V五邊形45cDE是正五邊形,

（5-2）x180°「八「A

:./CDE=\——1--------=108°,CD=ED,

5

NDCE=ZDEC=""一=18。。-1。8。

=36°,

22

???尸是CZ）的中點,

AF是正五邊形/3CDE的一條對稱軸,

GD=GC,

:.NGDC=NGCD=36°,

ZEGD=ZGDC+ZGCD=72°,

故答案為：72。.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、

對稱的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對

稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，正方形內(nèi)接于。。，連接/C,點尸是也的中點，過點。

作的切線與AF的延長線相交于點G.

（1）試判斷/C與DG的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）求NG的度數(shù).

【答案】（1）/C〃OG,理由見解析

（2）NG=22.5°

【分析】（1）連接。。，可得448=90。，根據(jù)切線的定義可得NO￡>G=90。，即可得出結(jié)論/C〃DG.

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，ZADC=90°fDA=DC,則/。。=45。.根據(jù)點尸是方的中點，可得

/CAF=ZFAD=22.5°.最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZG=ZCAF=22.5°.

【詳解】(1)解：AC//DG.

理由：如圖，連接。

???正方形/BCD內(nèi)接于OO,

ZAOD=90°.

???QG與O。相切于點。，

.-.OD1DG,即/ODG=90。.

:"AOD=/ODG,

.-.AC//DG.

(2)解：???四邊形/BCD是正方形，

???/4。。=90。，DA=DC,

.-.ZG4Z>=45°.

???點/是也的中點，

-DF=CF

.-.ZCAF=ZFAD=22.5°.

?：AC//DG,

?.ZG=ZCAF=22.5°.

【點睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接正多邊形，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)

接正多邊形的中心角=”360°，同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，以及平行線的

n

判定和性質(zhì).

6.(2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，正五邊形Z8C0E的兩條對角線4cBE相交于點?

A

(1)求/E4E的度數(shù)；

(2)求證：四邊形CDEF為菱形.

【答案］⑴72。

(2)見解析

【分析】(1)利用正五邊形的性質(zhì)求出/A4E及度數(shù)，得出NR4尸=N8C4=36。，最后求出NE4E

的度數(shù);

(2)根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證.

【詳解】(1)解：???正五邊形N5CDE

360°

AB=AE=DE=CD,ZBAE=1SO0--------=108°,

5

1800—NBAE180°-108°

/ABE=/AEB==36。

22

同理：NBAF=/BCA=36。，

??.ZFAE=/BAE-NBAF=108。-36。=72°.

(2)證明：???/〃￡=72。，

/AFE=180°-72°-36°=72°,

AE=EF,同理3C=C尸

：.EF=CF=DE=CD

???四邊形CO歷為菱形.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及菱形的判定，利用正五邊形的性質(zhì)得出內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵.

31經(jīng)典例題二正多邊形與圓之求線段長】

1.(2023秋?河南駐馬店?九年級統(tǒng)考期末)如圖，已知。。的半徑為4,則該圓內(nèi)接正六邊形尸的邊

心星巨OG()

A.3亞B.-C.2A/3D.3

【答案】C

【分析】連接OC,OD,可得A。。是等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出

0G.

【詳解】解：連接。C,

:"COD==60°,

6

.?.△。⑺是等邊三角形，

由題意可知OGLCD,則。G垂直平分CO,

OC=OD=CD=4,CG=-CD=2

2

???OG=y/0C2-CG2=2G

故選：c.

【點睛】本題考查了正多邊形，等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的

關(guān)鍵.

2.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為6人的正六邊形“BCDE尸中，連接BE,CF,相交于點

O,若點M,N分別為08,。尸的中點，則的長為（）

A.6B.6拒C.8D.9

【答案】D

【分析】連接3尸，利用3c尸是含30。角的直角三角形，再利用是三角形8。尸的中位線求MN即可.

【詳解】解：連接BF,

???在正六邊形23CDER中，=AABC=120°,AB=AF,

：.ZABF=30°

NCBF=NABC-ZABF=90°,

???在正六邊形48CZ)斯中，ZBOC=60°,OB=OC

???8OC是等邊三角形，

ZBCF=90°,

???8C/是含30。角的直角三角形

又???正六邊形/BCDER的邊長為6月，即8C=6百

；。=12拒,

22

BF=y]CF-BC=J(12@2一18

???點M,N分別為08,。尸的中點，

??.MV是三角形BOF的中位線，

.-.MN=-BF=9

2

故選：D.

【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和中心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形三邊關(guān)系，正

確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線N2、。相交于點E.則線段BE

的長為

【答案】2+V2

【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEG尸是矩形，LACE、ABFG是等腰直角三角形，

AC=CF=FB=EG=2,再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出NE,GE,BG即可.

【詳解】解：如圖，過點尸作/G1/8于G,由題意可知，四邊形CEGF是矩形，LACE、ABFG是等腰

直角三角形，AC=CF=FB=EG=2,

在RSACE中，AC=2,AE=CE,

AE=CE=—AC=y[i,

2

同理8G=收，

:.BE=EG+BG=2+日

故答案為：2+6.

【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

4.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形的半徑為1,點〃在邊上運動，連接4W,則4M

的長度可以是（只寫出一個滿足條件的值即可）.

B

E\F~D

【答案】L8（答案不唯一，只要符合行4NM42即可）.

【分析】設(shè)正六邊形的中心為O,連接CM,OF,OE,AE,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得ANOF和AOEV

為等邊三角形，然后可由勾股定理求出4T,進而得=再求出/。=2,根據(jù)在邊助上運動得

^<AM<2,最后在這個的范圍內(nèi)取一個值即可.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為。，連接。尸，OE,AE,AD,

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得：40經(jīng)過點O,//0尸=360。+6=60。，0A=OF=OE=0D=1,

尸為等邊三角形，

AF=OA=OF=\,ZOFA=60°

同理：A。跖為等邊三角形，

ZOFE=60°

ZOFA=ZOFE=60°,

又AF=EF,

AE1OF,

FT=OT=—OF=0.5,AT=EF>

2

在RtA4FT中，AF=\,FT=0.5,

由勾股定理得：AT=y/AF2-FT2=—,

2

AE=2AT=,

又=OD=1,

AD=2,

?1,AM在邊上運動,

AE<AM<AD,

即：yf3<AM<2,

故答案為：L8（答案不唯一，只要符合近4NM42即可）.

【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此

題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，中心角、半徑等概念.

5.（2023?河北邯鄲?校考二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個大圓

和六個全等的小圓組成（如圖2）,大圓繞著圓心。勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點（如點P,N）均勻分布

在大圓圓周上，由于重力作用，掛點和小圓圓心連線（如P0）始終垂直于水平線/.

(1)Z.NOP=<

⑵若。4=16,。。的半徑為10,小圓的半徑都為1：

①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心〃與/的最大距離為；

②當(dāng)圓心〃到/的距離等于04時，求的長；

③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，的長為定值，并求出這個定值.

【答案】⑴60

（2）①25；②0H=3日；③的長為定值，定值為10.

【分析】（1）將360。平均分6份即可；

（2）①當(dāng)圓心A/在/。的延長線上時，圓心”與/有最大距離，據(jù)此即可求解；

②設(shè)。H的掛點為K,過點X作于點T,先證四邊形""。是矩形，再用勾股定理解RMOEK即可;

③先證ANOP是等邊三角形，再證MAP。是平行四邊形，可得MQ=NP=10.

360°

【詳解】(1)解：NNOP=^=60。，

6

故答案為：60；

(2)解：①當(dāng)圓心M在ZO的延長線上時，圓心M與/有最大距離,

最大距禺為AM=OM+OA=10—1+16=25,

故答案為：25；

②如圖，設(shè)。"的掛點為K,過點〃作于點T,

???掛點和小圓圓心連線始終垂直于水平線I,

..K,H,T在同一直線上，

???圓心月■到/的距離等于。4,

；.HT=OA,

HTII,OALI,

：.HT//OA,

.??四邊形是平行四邊形，

二四邊形"%。是矩形，

ZOHT=90°,

ZOHK=90°,

-OH=y)0K2-HK2=7102-12=3V1T；

③證明：如圖所示，連接NP,MQ,

由（1）知/NOP=60。，

y.--ON=OP=10,

.?.ANOP是等邊三角形，

NP=ON=OP=10,

???小圓的半徑都為1,掛點和小圓圓心連線始終垂直于水平線/,

■,MN=PQ=l,MN//PQ,

r.四邊形MVP。是平行四邊形，

.-,MQ=NP=1Q,

.?.M0的長為定值.

【點睛】本題考查圓的基本知識，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型.

6.（2023秋?河北邯鄲?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。。的半徑為4,將該圓等分成8份，連接44，44并延

長交于點尸.

不二3^4

45

（1）連接44，直接寫出44和P4的位置關(guān)系.

⑵求證：尸4=24；

（3）求44的長;

【答案】(1)44,尸4

(2)見解析

⑶44=4收

【分析】(1)連接44,根據(jù)將該圓等分成8份，可得44是。。的直徑，再根據(jù)圓周角定理可證得；

(2)連接44，44,根據(jù)圓周角定理可證得"44=再由。。被8等分可得44=44,

44=44,即可證得△尸44且△尸44(AAS),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；

(3)連接。4，OA5,OA6,由。。被8等分可求得/4。4=/4。4=45°,可得z^O4=90°,再根據(jù)

勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：如圖：連接44，

將該圓等分成8份，

\44是。。的直徑，

\￡)444=90°,

44,1pA4，

故答案為：A2A4LPA4.

(2)解：如圖：連接44，44,

???。0被8等分，

44=44，44=44，

在△尸44與△尸44中，

244=NP44

<NP=NP

?44=44

△尸44之△P4H(AAS)，

PAX=PA&,

.,?尸4-44=尸4-44,即尸4=pAi；

(3)解：如圖：連接。4，。4，04,

,■,被8等分，

幺04=N&O&=360。+8=45°,

ZA4OA6=/4。4+NA60As=90°,

OA4=OA6-4,

.?.在RtZ\044中，44=yjOAl+OAl=A/42+42=4V2.

【點睛】本題考查了圓周角定理，等分圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定定理，勾股定理，作出輔助線

是解決本題的關(guān)鍵.

$【經(jīng)典例題三正多邊形與圓之求半徑】

1.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正六邊形4BCDE廠的周長為12cm,則該正六邊形的內(nèi)切圓

C.2V3cmD.V5cm

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件先求出正六邊形的邊長以及對應(yīng)角度，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可求出答

案.

【詳解】解：連接04,過點。作。GL/8于點G,如圖所示,

??,圓內(nèi)接正六邊形斯的周長為12cm,

?二圓內(nèi)接正六邊形4BCQE尸的邊長為：12+6=2cm.

OG^AB,

AG=—AB=1cm.

2

1（6-2）x180°

vZOAG=-x^——1--------=60。，

26

ZAOG=30°f

???在RtZ\CUG中，OA=2AG=2cm,

OG=SA2-AG。=V4^1=V3cm.

，正六邊形的內(nèi)切圓半徑為：gem.

故選：A.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于正確掌握正六邊形的性質(zhì).

2.（2023秋?云南臨滄?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。。的內(nèi)接正方形A8C。的邊長為4,則。。的半徑為

（）

A.72B.272C.4A/2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)：圓的半徑等于正方形對角線的一半求解即可.

【詳解】解：???四邊形是。。的內(nèi)接正方形，且邊長為4,

正方形ABCD對角線長為"+42=4收，

.??。。的半徑為-X4V2=2A/2,

2

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接正方形，熟記圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?甘肅慶陽?九年級統(tǒng)考期末）如果一個正六邊形的周長等于24cm,那么這個正六邊形的內(nèi)切圓

半徑等于cm.

【答案】2G

【分析】根據(jù)正六邊形的定義可求出其邊長為4cm,再根據(jù)其性質(zhì)可知其相鄰兩條半徑與所夾邊組成三角

形為等邊三角形，即OC為等邊三角形的高，即可求出答案.

24

【詳解】解：根據(jù)題意可求出正六邊形的邊長=L=4cm,如圖，

6

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知ZOAB=AOBA=1x3-2）x180=6QO,AO=BO,

26

??.小。3為等邊三角形，

AO=BO=AB=4cm,

???AC-2cm.

在RtAOC4中，由勾股定理可得：

OC=y]OA2-AC2=V16-4=V12=2V3.

??.正六邊形的內(nèi)切圓半徑2G.

故答案為：26.

【點睛】本題考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?浙江溫州?校聯(lián)考三模）圖1是由兩個正六邊形組成的壁掛置物架，軸對稱仙人堂盆栽放置在木板

上，圖2是其示意圖.兩個正六邊形的邊48與CD,8尸與EG均在同一直線上.木板4D=44cm（木板厚

度忽略不計），F(xiàn)G=4cm,則42的長為cm.盆栽由矩形印次和圓弧萬灰組成，且K,E,。恰好

4

在同一直線上，已知N/=A/=3cm,圓弧最高點尸到九W的距離與線段印的長度之比為則圓弧歷次

的半徑為cm.

圖1

【答案】20曲回

3

【分析】設(shè)HPK的圓心是。，作PQLHK于。，連接OH,DK,BN,由正六邊形的性質(zhì)求出AB,

CD的長，由直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)求出KJ,BN的長，得到PQ的長，由勾股定理

列出關(guān)于不樂半徑的方程，即可解決問題；

【詳解】解：設(shè)方次的圓心是。，作PQLHK于。，連接OH,DK,BN,

■-P是圓弧最高點，

-.0在PQ上，

,?,兩個多邊形是正六邊形，

CD=CE=EG,AB=BF,ZECD=NBFN=ZCEG=120。，

NBEC=ZBCE=60°,

；.hBCE是等邊三角形，

BC=CE=CD,

AD=AB+BC+CD=AB+2CD=44cm,

???BF+FG=BE+EG=2CD,

AB+4=2CD,

AB=20(cm),CD=12(cm),

DJ=CD+BC+BJ=12+12+3=27(cm),IJ=AB-AI-BJ=20-3-3=14(cm),

??,CE=CD,NECD=120。,

:.ZEDC=30°,

；K、E、。三點共線，

:.KJ=]DJ=9瓜cm),

?.?四邊形HIJK是矩形，

HI=KJ=9向cm)

4

???圓弧最高點P到MN的距離與線段HI的長度之比為

：.P至ljMN的距離是9君xg=4瓜m,

■：BF=NF,ZBFN=nO°,

BN=6BF=20V3(cm),

PQ=2073-973-473=7V3(cm),

設(shè)HPK的半徑是「cm,

OQ=—r,

???OQ1HK,

:.HQ=；HK=[,

■：OH2=0Q2+HQ2,

22

r=(143-ry+1,

14A/3

“=丁，

：.HFK的半徑是r=2cm

3

故答案為：20,也8

3

【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵

是由以上知識點求出正六邊形的邊長，BN的長，KJ的長得到PQ的長，由勾股定理列出關(guān)于HFK

半徑的方程

5.（2022春?九年級課時練習(xí)）己知正六邊形N3CDM內(nèi)接于。。，圖中陰影部分的面積為12如，則。。

的半徑為多少？

【答案】半徑。。=4

【分析】先根據(jù)三角形的面積求出它的邊長，再根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系即可求出.

【詳解】解：連接DO并延長，交BF于點G.

???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于OO,

???陰影部分為正三角形，

設(shè)邊長是a,則FG=；a,DG=@a,

22

則面積是:ax@a=W^,即孚=12月，

2244

解得a=4百,

貝DG=BD-sin60°=4VJx—=6

2

22

;半徑OD=—DG=6x—=4.

【點睛】本題考查正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)，得出陰影部分三角形的邊長是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于O。，ZABC=135°,AC=4,求的半

徑長.

【答案】O。的半徑長為2行.

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可得aAOC是等腰直角三角形，AC=4,易得OA.

【詳解】解：：四邊形/8CO內(nèi)接于OO,ZABC=135°,

：.ZZ）=180°-ZABC=45°,

.?.NZOC=2/r>=90°,

'：OA=OC,且/C=4,

歷

：.OA=OC=半AC=2也,

即OO的半徑長為2&.

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形和圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題關(guān)鍵.

J【經(jīng)典例題四正多邊形與圓之求面積】

1.（2023春?河北衡水?九年級?？计谥校┤鐖D，已知正六邊形A8CDE尸的邊長為1,分別以其對角線4〃、

E8為邊作正方形，則兩個陰影部分的面積差百-$2的值為（）

【答案】B

【分析】分別求出兩個正方形的面積，再求差可得結(jié)論.

【詳解】解:如圖，取正六邊形/8CZ）E尸的中心。，連接。尸，OB,0C,令OA交BF于點、M,

???正六邊形ABCDEF的邊長為1,

360°

ZBOC=ZAOB=ZAOF=ZCOD=——=60°,OF=OB=OC=OA=OD,

6

：.KOD、與A/03都是邊長為1的等邊三角形，OMLBF,

：.AD=OA+OD=2,BF=2FM,ZOFM=90°-^AOF=30°,

OM=OF,

為邊的正方形的面積為4,尸3為邊的正方形的面積為3,

.-.Sx-S2=4-3=1.

故選:B.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于

中考?？碱}型.

2.（2023?重慶?九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片，雪花”的故事展現(xiàn)了，世

界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形

ABCDEF）的外接圓，若已知該外接圓的半徑是4,則正六邊形48C。斯的面積是（）

A

A.1273B.24C.2473D.48拒

【答案】C

【分析】連接OD,由正六邊形的特點求出判斷出AODE的形狀，作OHLED,由特殊角的三角函數(shù)

值求出次的長，利用三角形的面積公式即可求出AODE的面積，進而可得出正六邊形/BCDE尸的面積.

【詳解】連接OD,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

ZDEF=120°,

/.ZOED=60°,

OE=OD=4,

??.△ODE是等邊三角形,

作OHLED交ED于點、H,貝iJ//D=；OD=2,OH=26

■■■SMDE=IDEOH=gx4x26,

=6x473=2473.

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，在本題中，注意正六邊形的邊長等于半徑的特點，進行解題.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓

術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.如圖，已知。。的半徑為2,則。。的內(nèi)接

正六邊形的面積為.

(/\\

[/\i

\\/)

-7——>

【答案】6G

【分析】連接。1、OB,根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出ACM3為等邊三角形，過點。作加，于點

M,再利用勾股定理即可求出。河長，進而可求出根03的面積，最后利用。。的面積約為6S/OB即可計算

出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接0B,

E------1)

由題意可得：4403=360+6=60°,

OA=OB=2,

為等邊三角形，

AB=2,

過點。作加于點貝=B朋'=1,

在RtVAOM中，OM=V22-l2=V3，

S^AOB=1X2XV3=V3,

。。的面積約為6S?4OB=6G.

故答案為：6也.

【點睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.(2023?江蘇?九年級假期作業(yè))劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓

術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.設(shè)。。的半徑為2,若用OO的內(nèi)接正六

邊形的面積來近似估計。。的面積，則。。的面積約為.

【答案】6月

【分析】連接。4、OB,根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出AO48為等邊三角形，過點。作。河_143于點

M,再利用勾股定理即可求出。h長，進而可求出“03的面積，最后利用。。的面積約為6S-B即可計算

出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接0B

——<0

由題意可得：4403=360+6=60°

*OA=OB=2

.?.ACUB為等邊三角形，

AB=2

過點。作。于點M,貝l]/W==1

在RtZk/OM中，OM=正-f=退

'''S.AOB=1X2XV3=V3

QO的面積約為6S”AOB=673

故答案為：6拒■

【點睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.（2023春?山東泰安?八年級肥城市實驗中學(xué)?？计谥校┪覀儗W(xué)習(xí)了平面圖形的鑲嵌，即用形狀、大小完全

相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌.鑲

嵌平面的圖形有很多，值得我們研究的問題也有許多！如圖，小亮同學(xué)用繪畫的方法，設(shè)計的一個正三角

形的平面鑲嵌圖，如果整個鑲嵌圖三角形/8C的面積為75,則圖中陰影部分的面積是多少？

【答案】26

【分析】設(shè)圖中小等邊三角形的高為2分，則等邊三角形N8C的高為156,正六邊形的高為2〃，推出每個小

正六邊形的面積耳x/!=2j3『，推出陰影部分的面積為13x26^=26人/，再利用418c的面

積，求出"可得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)圖中小等邊三角形的高為2萬，則等邊三角形N8C的高為1577,正六邊形的高為2〃,

=6x^x2x-^=x

每個小正六邊形的面積h=2A/3/Z2,

2V3

陰影部分的面積為13義2出爐=26月戶，

MBC的面積為75,

上2*畢xl5/z=75,

2>/3

陰影部分的面積=26Gx近=26,

3

【點睛】本題考查平面鑲嵌，等邊三角形的面積，正多邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解

決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

6.(2023?浙江杭州?校聯(lián)考二模)已知。。的直徑/8=2,弦4c與弦BD交于點、E,且ODL/C,垂足為

點尸.

(1)如圖1,若］?=120。，求。尸的長.

(2)如圖2,若￡為弦2D的中點，求證：DF=2OF.

（3）連結(jié)BC、CD、DA,若8C是。。的內(nèi)接正"邊形的一邊，CD是。。的內(nèi)接正4〃邊形的一邊，求ANCD

的面積.

【答案】（1）0尸=0.5

（2）見解析

（3）SJC￡>=；-乎

【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理和弧、圓心角的關(guān)系可求得乙4。。=60。，進而利用含30度角的直角三角形

的性質(zhì)求解即可；

（2）先根據(jù)垂徑定理得到/尸=CF,再利用三角形的中位線性質(zhì)得到。尸=；8C,OF//BC,證明

尸絲ABEC（ASA）得到DF=BC即可證得結(jié)論；

（3）先求得BC、CD、所對的圓心角的度數(shù)，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得/C=l,

OF衛(wèi),進而求得=1-"即可求解.

22

【詳解】⑴解：如圖1,,?,QD_LZC,垂足為點尸，府=120。，

/.AD=CD=—AC=60°,貝!J/ADD=60°,

2

.?./。/尸=90?！?0。=30。，

又??,AB=2OA-2,

.-.OF=-OA=-AB=0.5-

24

圖2

???/3為直徑，OD1_/C,

AF=CF,

又：OA=OB,

：.OF=-BC,OF//BC,

2

.-.ZD=ZEBC,

■:DE=BE、NDEF=NBEC,

ADE尸思ABEC(ASA),

DF=BC,

:.DF=2OF；

(3)解：如圖，連接OC,

■?-8c是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，是。。的內(nèi)接正4”邊形的一邊,

?。。=獨360。_90。

.4ZAOD=ZCOD=

n4nn

360°90°

則+2x——=180°

nn

解得：n=3.

經(jīng)檢驗：〃=3是原方程的根.

/.ZBOC=120°fZAOD=ZCOD=30°f

v0A=\,ZAFO=90°,

;.AF^-OA^-,

22

.?./C=2/尸=1,則0>=，0/2-/尸2=也

2

貝I。尸=0。一。尸=1-J

2

j__V|

S.=-^C-r)F=-xlx1--

*cn2212J2-V

【點睛】本題考查圓的綜合，涉及垂徑定理，圓周角定理，弧、圓心角的關(guān)系、含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、正多邊形的中心角等知識，熟練掌握圓的相關(guān)知

識的運用是解答的關(guān)鍵.

二3【經(jīng)典例題五正多邊形與圓之求周長】

1.2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，若一個正六邊形的對角線42的長為10,則正六邊形的周長()

A

A.5B.6C.30D.36

【答案】C

【分析】連接c。、EF,交于點O,則點。是正六邊形9的中心，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得

ZAOC=60°,OC=OA=\AB=5,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得/C=。/=5,由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接EF,交于點。，

則點O是正六邊形ACEBDF的中心，

???六邊形4CE瓦加是正六邊形，/8=10,

36001

ZAOC=——=60°,OC=OA=-AB=5,

62

是等邊三角形，

AC=OA=5,

:?正六邊形4CEBDF的周長為5*6=30,

故選：C.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.Q023春?江蘇蘇州?九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于若。。的半徑為6,則AADE

的周長是（）

y->

A.9+373B.12+673C.18+3>/3D.18+673

【答案】D

【分析】利用正六邊形內(nèi)接于圓O,證明4AED是特殊的直角三角形，再利用三角函數(shù)值即可解題.

【詳解】解：在正六邊形/BCD跖中，每個內(nèi)角都等于120。，

.-.ZF=12O°,AF=EF,

.-.zFAE=zFEA=30°,

.-.zAED=90°,

???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于OO,

.?ZADE=6O。,即4ADE是特殊的直角三角形,AD=2DE,（30。所對直角邊等于斜邊一半）

???OO的半徑為6,

.-.AD=12,DE=6,AE=6A/3,

AADE的周長是18+673,

故選D.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用，中等難度，證明aAED是特殊的直角三角形，找到

邊長之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.（2023春?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點G,H,I,J,K,乙分別是正六邊形尸各邊

的中點，則六邊形GMMZ與六邊形ABCDE尸的周長比為.

BHC

【答案】叵

2

【分析】設(shè)正六邊形Z8CD環(huán)的中心為O,周長是6%,連接由，OC,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到

OC=BC=x,^OH=—OC=—x,于是得至悌論.

22

【詳解】解：設(shè)正六邊形ABCZ）E尸的中心為。，連接OH,OC,

設(shè)正六邊形45C。斯的周長是6x，

OC=BC=x,

：,OH=—OC=—x,

22

???順次連接正六邊形48CQM各邊的中點G、H、/、J、K、￡得到的六邊形為正六邊形,

反

,\HI=OH=-x,

2

六邊形GHKLMN的周長是3岳，

/.GHIJKL與六邊形ABCDEF的周長比二豆豆=立，

6x2

故答案為：顯.

2

【點睛】本題考查了正多邊形與圓,正六邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，AC、4D為正六邊形4BCZ）斯的兩條對角線，若該正六邊形的

邊長為2,則△/CD的周長為

【答案】2百+6/6+2百

【分析】求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判斷和性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解.

【詳解】解：???正六邊形/8CDER

ZB=ZgC￡>=（6-2）X18°-120°,AB=BC,

6

:.NACB=/BCA=3Q°,

/.ZACD=nO°-30°=90°,

由對稱性可得，是正六邊形的對稱軸，

/.NADC=ZADE=-ZCDE=60°,

2

在RtZUCD中，CD=2,ZADC=60°,

：.AD=2CD=4,AC=gCD=26,

:.LACD的周長為/C+CD+/O=2a+2+4=2君+6,

故答案為：26+6.

【點睛】本題考查多邊形與圓，掌握正多邊形內(nèi)角的計算方法以及內(nèi)角和定理積推論是正確解答的關(guān)鍵.

5.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，48是。。的直徑，48=6,/C是。。的弦，/B4c=30。,延

長4B到D,連接CD,AC=CD.

⑴求證：是。。的切線；

（2）以8c為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于

【答案】（1）見解析

⑵18

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理計算出/。8=90。即可;

（2）得出以8C為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，再求出8C的長即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

OA=OC,

ZOAC=ZOCA=30°,

?;AC=CD,

:.ZOAC=ZODC=30°,

NOCD=180°-30°-60°=90°,

即OCJ_CZ),

又是半徑，

.?.CD是。。的切線；

(2)解：連接5C,

???以2C為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，

BC=-AB=3,

2

以8C為邊的圓內(nèi)接正六邊形的周長為3x6=18.

【點睛】本題考查切線的判定，圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是正確解答的前提.

6.（2021秋?江西南昌?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一個亭子.它的地基是半徑為4m的正六邊形，求

【答案】24m；246病

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，確定其邊長等于外接圓的半徑，周長即埃6尺；把面積轉(zhuǎn)化為6個等邊三角

形的面積和計算即可.

【詳解】如圖，連接OC,

???地基是半徑為4m的正六邊形，

:.△OBC是等邊三角形,

：.BC=OB=4,

??.地基的周長為：4x6=24（m）；

過點。作垂足為G,

???地基是半徑為4m的正六邊形，

??.△OBC是等邊三角形，

:?BC=0B=4,4OBC=6。。,^BOG=30°,

:.BG=2,OG=V42-22=2V3,

.,.地基的面積為：6X—x4x2A/3=24>/3m2.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，熟練掌握中心角計算，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

,31經(jīng)典例題六正多邊形與圓的實際應(yīng)用】

1.（2023春?山東煙臺?九年級統(tǒng)考期中）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為4的正六邊形

/8CDE尸的頂點/處.兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘一次跳1個頂點，黑跳棋按逆時

針方向3秒鐘一次跳1個頂點，經(jīng)過2022秒鐘后停止跳動，此時兩枚跳棋之間的距離是（）

A.8B.46C.4D.0

【答案】B

【分析】分別計算紅跳棋和黑跳棋過2022秒鐘后的位置，紅跳棋跳回到/點，黑跳棋跳到尸點，可得結(jié)

論.

【詳解】解：???紅跳棋從N點按順時針方向1秒鐘跳1個頂點,

???紅跳棋每過6秒返回到4點，

2022+6=337,

經(jīng)過2022秒鐘后