河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2，回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】，.故選：A.2.函數(shù)的圖象在點處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：D3.為了增強學(xué)生的體質(zhì)，某中學(xué)每年都要舉行一次全校一分鐘跳繩測試．已知某次跳繩測試中，某班學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，則該班學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)的估計值為（結(jié)果精確到整數(shù)）（）A.127 B.136 C.133 D.138【答案】D【解析】該班共有人，因為，所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故選：D.4.若函數(shù)的定義域分別為，且，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】由題意，因為，所以，解得，所以故選：A.5.若直線與圓的兩個交點為，且，則（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，由題意圓心到直線的距離，則，解得或.故選：B.6.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時，，由在區(qū)間上恰有5個零點，得，解得.故選：B7.“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門．某商家設(shè)計的折疊儲物凳是正三棱臺形狀，如圖，其側(cè)面展開圖形似蝙蝠．每個側(cè)面梯形的上底長為分米，下底長為分米，梯形的腰長為分米，忽略儲物凳的表面厚度，則該正三棱臺儲物凳的儲物容積為（）A.立方分米 B.立方分米 C.7立方分米 D.立方分米【答案】D【解析】如圖，在正三棱臺中，，將棱臺補全為正三棱錐，設(shè)為底面的中心，連接，則平面，而平面，所以，因為，所以，，所以，則正三棱臺的高，該正三棱臺的上底面面積，下底面面積，所以該正三棱臺儲物凳的儲物容積.故選：D.8.當(dāng)，且有且只有一個為0時，，則（）A.既無最大值，也無最小值 B.的最大值為4，最小值為2C.的最大值為無最小值 D.的最小值為無最大值【答案】A【解析】在中，由有且只有一個為0，當(dāng)時，則，而，則，，因此，即，同理，所以，既無最大值，也無最小值.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則以下等式可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，當(dāng)時，，所以不可能成立，故A錯誤；對于B，由，得，則，則可能成立，故B正確；對于C，取，此時，則可能成立，故C正確；對于D，由，得，則則，則不可能成立，故D錯誤.故選：BC.10.已知拋物線的焦點為，過點的直線的斜率為，且與交于兩個不同的點（點在軸的上方），下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.點的縱坐標(biāo)之積與有關(guān) D.若（為坐標(biāo)原點），則【答案】ABD【解析】設(shè)，對于A，若，則直線，聯(lián)立，得，則，所以，故A正確；對于B，過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，不妨設(shè)，則，則，故B正確；對于C，易得直線的斜率不為零，設(shè)，聯(lián)立，得，則為定值，所以點的縱坐標(biāo)之積與無關(guān)，故C錯誤；對于D，由，得，即，即，由，得，，因為點在軸的上方，所以，則，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.在四棱錐中，，動點平面，且是的中點，則（）A.平面 B.長可能為3C. D.點在半徑為的球面上【答案】ACD【解析】對于A，取的中點，連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，設(shè)的中點為，連接，由題意四邊形為直角梯形，則，因為，所以點在以為球心，為半徑的球面上運動（不過平面），則，故B錯誤；對于C，，因為不共線，所以，所以，故C正確；對于D，設(shè)的中點為，連接，則，所以點在以為球心，為半徑的球面上運動，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓的離心率為，則______，______．【答案】①②.【解析】因為橢圓的離心率為，所以，所以，，.故答案為：；.13.在中，角的對邊分別為，的面積，則的最小值為______，此時的周長為______．【答案】①.8②.【解析】由和正弦定理可得，故,，，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，故，此時周長為，故答案為：8，14.如圖，機器人從A點出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個單位（每個小正方形的一條邊長為一個單位），要走到B點，不同的走法共有______種．【答案】401【解析】如圖，當(dāng)路線經(jīng)過點時，從到有1種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點時，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點時，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點時，從到有種，從到有種；當(dāng)路線經(jīng)過點時，從到有種，從到有1種，所以不同的走法共有（種）.故答案為：401四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）比較與的大?。唬?）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．解：（1），當(dāng)時，，當(dāng)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）因為，所以；（3）因為關(guān)于的不等式的解集為，則只需要即可，由（1）得，所以，解得，所以的取值范圍為．16.如圖，在中，，將沿折起得到四棱錐，且平面平面．（1）證明：四棱錐的高為．（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：依題意，則，因為，所以，所以和都是邊長為的正三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即為四棱錐的高，所以四棱錐的高為；（2）如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.某項編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級編程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對得5分，中級編程題每題答對得10分，初賽至少得60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級編程題和2道高級編程題組成，中級編程題每題答對得10分，高級編程題每題答對得20分．所有的題答錯都不扣分．已知甲同學(xué)能答對每道基礎(chǔ)編程題，中級編程題每題答對的概率為，高級編程題每題答對的概率為，且各題答對與否互不影響．（1）求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；（2）已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期望．解：（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對中級編程題的數(shù)量至少為，則甲同學(xué)初賽不被淘汰的概率為，所以甲同學(xué)初賽被淘汰的概率為；（2）由題意可取，則，，，，，，，所以的分布列為：故.18.已知雙曲線的左、右焦點分別為，且．（1）求的漸近線方程．（2）點為的左支上一點，且．分別為的左、右頂點，過點的直線交的右支于兩點，其中點在軸上方，直線與交于點．①求直線的方程；②證明：點到直線的距離為定值．解：（1）由題意可知，解得，則，所以雙曲線，所以的漸近線方程為；（2）①設(shè)，則，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根舍去），所以，所以，則，所以直線的方程為；②證明：易知直線的斜率不為零，則可設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，Δ=則，由題意得且，所以，則直線，直線，聯(lián)立可得，解得，故動點在直線上，所以點到直線的距離為，所以點到直線的距離為定值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點．若點列中的3個相鄰的點滿足，則稱關(guān)于的方程是的特征方程，將方程的實數(shù)根稱為的特征根．已知，點列的特征根為1和．（1）求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）若是公差為的等差數(shù)列，且各