第四章《數(shù)列》復(fù)習(xí)小結(jié)示范公開課教學(xué)PPT課件【高中數(shù)學(xué)人教A版】

第四章數(shù)列復(fù)習(xí)小結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)問題1

本章內(nèi)容有兩大部分，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法，在數(shù)列部分，我們可以用哪幾個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)描述？定義、通項(xiàng)、特殊數(shù)列、函數(shù)．追問1：你能用知識(shí)結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示嗎？知識(shí)結(jié)構(gòu)數(shù)列數(shù)列的定義數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)特殊數(shù)列等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列等比數(shù)列的定義項(xiàng)等比數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)結(jié)構(gòu)概念表格圖象通項(xiàng)公式遞推公式一次函數(shù)概念通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式指數(shù)函數(shù)基本原理簡(jiǎn)單應(yīng)用表示數(shù)列應(yīng)用表示數(shù)學(xué)歸納法特殊數(shù)列等差數(shù)列類比等比數(shù)列特殊化知識(shí)結(jié)構(gòu)追問2：每一個(gè)關(guān)鍵詞都有相應(yīng)的內(nèi)容，如數(shù)列里有數(shù)列的定義和分類、數(shù)列的表示法以及數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)之間的關(guān)系等，依此思路，你能將上面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖再補(bǔ)充上相關(guān)的內(nèi)容嗎？數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列的表示法數(shù)列數(shù)列的定義和分類數(shù)列的表示法數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的遞推式如何看待不是每一個(gè)數(shù)列都可以寫出通項(xiàng)公式或遞推式數(shù)列的遞推式與通項(xiàng)公式互化數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系數(shù)列的前n項(xiàng)和與構(gòu)造新數(shù)列列表的定義列表的分類數(shù)列和集合的異同點(diǎn)數(shù)列和函數(shù)的異同點(diǎn)深層次理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)追問3：你能將數(shù)列相關(guān)公式用結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示嗎？數(shù)列定義及有關(guān)概念

等差數(shù)學(xué)

等比數(shù)列

遞推數(shù)列應(yīng)用知識(shí)結(jié)構(gòu)問題2

數(shù)學(xué)歸納法中，我們可以用哪幾個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)描述？方法、步驟、證明．追問1：你能用知識(shí)結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示嗎？方法數(shù)學(xué)歸納法證明步聚知識(shí)結(jié)構(gòu)追問2：對(duì)于任意角α，sinα，cosα都有意義嗎？證明一個(gè)與正整數(shù)n（n≥n0，n∈N*）有關(guān)的命題（1）證明當(dāng)n＝n0（n0∈N*）時(shí)命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立歸納奠基歸納遞推兩個(gè)步聚缺一不可對(duì)所有正整數(shù)n（n0，n∈N*），命題都成立研究思路問題3

你能簡(jiǎn)單描述一下數(shù)列內(nèi)容的研究過(guò)程和方法嗎？從生活中的實(shí)例出發(fā)引出了數(shù)列的概念，并以取值規(guī)律最簡(jiǎn)單的兩類數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列為例，在研究它們的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了這兩類數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，還通過(guò)建立數(shù)列模型，解決了一些數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此我們可以用函數(shù)的方法來(lái)研究數(shù)列，例如，用表格、圖象和函數(shù)解析式（數(shù)列的通項(xiàng)公式）來(lái)表示數(shù)列，建立數(shù)列模型刻畫具有遞推規(guī)律的事物等．?dāng)?shù)列的定義建立起了它的序號(hào)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．而從等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系．在本章的學(xué)習(xí)中，我們還常常通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)數(shù)列的取值規(guī)律，解決與數(shù)列有關(guān)的問題．在本章中，用到了類比、分類討論、函數(shù)與方程以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．研究思路問題4

你能簡(jiǎn)單描述一下數(shù)學(xué)歸納法這部分內(nèi)容的研究過(guò)程和方法嗎？從不完全歸納法入手，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法．這種方法建立了一種無(wú)窮遞推的機(jī)制，用有限的步驟證明了與無(wú)限多個(gè)正整數(shù)有關(guān)的命題，實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的飛躍．它既是我們證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的一種思想方法，又為我們提供了一種“觀察－歸納－猜想－證明”的思維模式．需要注意的是，數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟是缺一不可的．具體內(nèi)容問題5

你能對(duì)本章的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納和整理嗎？（一）數(shù)列的概念（二）等差數(shù)列（三）等比數(shù)列（四）數(shù)學(xué)歸納法具體內(nèi)容（1）一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．（2）數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示；第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．（3）數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為｛an｝．?dāng)?shù)列的概念具體內(nèi)容數(shù)列與函數(shù)數(shù)列｛an｝是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f（n）．另一方面，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果f（n）（n∈N*）有意義，那么f（1），f（2），…，f（n），…，構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列｛f（n）｝．?dāng)?shù)列可以用列表法、圖象法和解析法來(lái)表示．具體內(nèi)容數(shù)列的分類

類別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)按項(xiàng)的變化趨勢(shì)從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列具體內(nèi)容數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列｛an｝的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項(xiàng)公式可以寫出數(shù)列的各項(xiàng)．?dāng)?shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，知道了首項(xiàng)和遞推公式就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了．具體內(nèi)容數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和數(shù)列｛an｝從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．如果數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．

具體內(nèi)容【方法技巧】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式的具體思路為：（1）先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等．（2）分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系．（3）對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用（－1）n或（－1）n＋1處理符號(hào)．（－1）n或（－1）n＋1常常用來(lái)表示正負(fù)相間的變化規(guī)律．（4）對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，考慮利用周期函數(shù)的知識(shí)解答．具體內(nèi)容【方法技巧】已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn，求an，一般使用公式an＝Sn－Sn－1（n≥2），但必須注意它成立的條件是n≥2且n∈N*．由Sn－Sn－1求得的an，若當(dāng)n＝1時(shí)，a1的值不等于S1的值，

具體內(nèi)容等差數(shù)列的概念文字語(yǔ)言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．符號(hào)語(yǔ)言：an＋1－an＝d（d為常數(shù)，n∈N*），或an－an－1＝d（d為常數(shù)，n∈N*且n≥2）．等差中項(xiàng)如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，此時(shí)a＋b＝2A．具體內(nèi)容首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝a1＋（n－1）d．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式具體內(nèi)容等差數(shù)列的性質(zhì)（1）等差數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)成等差數(shù)列；（2）在等差數(shù)列｛an｝中，d為公差，若p、q、s、tN*，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at；（3）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn、S2n－Sn、S3n－S2n、…成等差數(shù)列，公差為n2d；S2n＝n（a1＋a2n）＝n（a2＋a2n－1）＝…＝n（an＋an＋1）（an，an＋1為中間兩項(xiàng)）（4）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列｛an｝，有

具體內(nèi)容等差數(shù)列的性質(zhì)（5）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1的等差數(shù)列｛an｝，有S2n－1＝（2n－1）an（an為中間項(xiàng)），

【方法技巧】等差數(shù)列中通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，常用基本量法知三求二；三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，常將三數(shù)設(shè)為a－d，a，a＋d；具體內(nèi)容【方法技巧】（1）在等差數(shù)列中，求Sn的最大（?。┲?，其思路是找出某一項(xiàng)，使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正（負(fù)）值或零，而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)（正）值，則從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大（?。捎赟n為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解．（2）求等差數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列｛an｝的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，然后去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題．具體內(nèi)容等比數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q0）．

等比中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，G，b組成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．此時(shí)，G2＝ab．具體內(nèi)容首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量求和公式首項(xiàng)a1、公比q（q≠1）與項(xiàng)數(shù)n首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an與公比q（q≠1）首項(xiàng)a1、公比q＝1

Sn＝na1具體內(nèi)容等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)成等比數(shù)列；（2）等比數(shù)列｛an

｝中，若m，n，r，s∈N＋，且m＋n＝r＋s，則am·an＝ar·as．特別地，若2p＝m＋n，則ap2＝aman．（3）等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn、S2n－Sn、S3n－S2n、…（Sn不為0）成等比數(shù)列，公比為qn．具體內(nèi)容【方法技巧】1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an＝amqn－m，知道任意兩項(xiàng)，可以求公比；

3．在等比數(shù)列｛an｝的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時(shí)經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．具體內(nèi)容數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n＝n0（n0∈N*）時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)n＝k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．特別地，當(dāng)n0＝1時(shí)，命題就對(duì)從1開始的正整數(shù)成立，也就是對(duì)所有正整數(shù)都成立．具體內(nèi)容【方法技巧】數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明的時(shí)候需要兩個(gè)步驟：一是證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，故稱之為歸納奠基；二是假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)也成立，也就是要證明一個(gè)遞推關(guān)系，故稱這一步為歸納遞推．這兩個(gè)步驟缺一不可，最終證明對(duì)所有正整數(shù)n，命題都成立．具體內(nèi)容問題6

可以將本章主要知識(shí)用框圖表示出來(lái)嗎？數(shù)列概念表示

自然數(shù)的乘方和公式：an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）dan＝a1·qn－1＝am·qn－m

an＋1－an＝常數(shù)