中考數學八類最值問題（瓜豆隱圓胡不歸阿氏圓將軍飲馬逆等線費馬點構造二次函數求最值）-2025屆中考數學復習

第第頁2025屆中考復習專題：八類最值問題匯總總覽總覽題型解讀模塊一：將軍飲馬等8類常見最值問題 2【題型1】兩定一動型（線段和差最值問題） 8【題型2】雙動點最值問題（兩次對稱） 14【題型3】動線段問題：造橋選址（構造平行四邊形） 19【題型4】垂線段最短 24【題型5】相對運動平移型將軍飲馬 28【題型6】化斜為直，斜大于直 36【題型7】構造二次函數模型求最值 41【題型8】通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬 46模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問題 51【題型1】胡不歸模型·已有相關角直接作垂線 52【題型2】胡不歸模型·構造相關角再作垂線 59模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問題 64【題型1】兩定點在圓外：向內取點（系數小于1） 66【題型2】兩點在圓內：向外取點（系數大于1） 74【題型3】一內一外提系數 76【題型4】隱圓+阿氏圓 78模塊四：線段拼接最值問題（逆等線模型） 85【題型1】平移，對稱或構造平行四邊形 86【題型2】構造SAS型全等拼接線段 91【題型3】加權逆等線 97【題型4】取到最小值時對其它量進行計算 107模塊五：構造旋轉相似求最值（瓜豆模型） 112【題型1】構造中位線 122【題型2】直線型軌跡（三種解題策略） 127【題型3】線段和 139【題型4】圓弧型軌跡 142【題型5】加權線段和 147【題型6】路徑長度類問題 152【題型7】取到最值時求其它量 157模塊六：費馬點最值問題 163【題型1】普通費馬點最值問題 173【題型2】加權費馬點·單系數型 183【題型3】加權費馬點·多系數型 186模塊七：隱圓最值問題 198【題型1】定點定長得圓 203【題型2】直角的對邊是直徑 209【題型3】對角互補得圓 214【題型4】定弦定角得圓 220【題型5】四點共圓 225【題型6】相切時取到最值 227【題型7】定角定高面積最小、周長最小問題 231【題型8】米勒角（最大張角）模型 236模塊八：二次函數中的最值問題 241一題可破萬題山——二次函數最值常見模型小結，一題20問 241【題型1】鉛垂高最值 252【題型2】構造二次函數模型求最值 256【題型3】幾何構造求最值 263題型題型匯編知識梳理與?？碱}型模塊一：將軍飲馬等8類常見最值問題一、單動點問題【問題1】在直線l上求一點P，使PA＋PB最小問題解決：連接AB，與l交點即為P，兩點之間線段最短PA＋PB最小值為AB 【問題2】在直線l上求一點P，使PA＋PB最小問題解決：作B關于l的對稱點B'?PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當A，P，B'共線時取最小，原理：兩點之間線段最短，即PA＋PB最小值為AB' 【問題3】在直線l上求一點P，使|PA－PB|最大問題解決：連接AB，當A，B，P共線時取最大原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【問題4】在直線l上求一點P，使|PA－PB|最大問題解決：作B關于直線l的對稱點B'?PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、雙動點問題（作兩次對稱）【問題5】在直線，上分別求點M，N，使△PMN周長最小問題解決：分別作點P關于兩直線的對稱點P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：兩點之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''的長 【問題6】P，Q為定點，在直線，上分別求點M，N，使四邊形PQMN周長最小問題解決：分別作點P，Q關于直線，的對稱點P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：兩點之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段P'Q'的長，周長最小值為P'Q'＋PQ 【問題7】A，B分別為，上的定點，M，N分別為，上的動點，求最小值問題解決：分別作，關于，的對稱點，，則，，即所求原理：兩點之間距離最短，A'，N，M，B'共線時取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、動線段問題（造橋選址）【問題8】直線m∥n，在m，n上分別求點M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值問題解決：將點B向上平移MN的長度單位得B'，連接B'M，當AB'M共線時有最小值原理：通過構造平行四邊形轉換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【問題9】在直線l上求兩點M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值問題解決：將B點向左移動a個單位長度，再作B'關于直線l的對稱點B''，當共線有最小值原理：通過平移構造平行四邊， 四、垂線段最短【問題10】在直線，上分別求點A，B，使PB＋AB最小問題解決：作關于的對稱點，作于A，交于B，即所求原理：點到直線，垂線段最短，五、相對運動，平移型將軍飲馬【問題11】在直線l上求兩點M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 問題解決：相對運動或構造平行四邊形策略一：相對運動思想過點A作MN的平行線，相對MN，點A在該平行線上運動，則可轉化為普通飲馬問題策略二：構造平行四邊形等量代換，同問題9.六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡【問題12】如圖，點P在直線BC上運動，將點P繞定點A逆時針旋轉90°，得到點Q，求Q點軌跡？ 問題解決：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．原理：由手拉手可知，故,故Q點軌跡為直線七、化斜為直，斜大于直【問題13】已知：是斜邊上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 問題解決：取BC中點M，（1）則；（2）八、構造二次函數求最值這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復雜，需要通過面積法或者構造全等、相似建立等量關系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個二次函數或者換元后是一個二次函數，然后通過配方得到最值．【問題14】正方形的邊長為6，點在邊上，且，是邊上一動點，連接，過點作交邊于點，設的長為，則線段長度的最大值為.問題解決：根據題意，作出圖形，根據兩個三角形相似的判定得到，進而根據相似比得到，利用二次函數求最值方法求解即可得到答案【詳解】易知，，，，∴，，∴，，在時有最大值，最大值為【題型1】兩定一動型（線段和差最值問題）【例題1】透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】13【詳解】∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝13（cm）．【例題2】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上．頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（1，0），且∠AOB=30°點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點C作C關于OB的對稱點C′，連接AC′與OB相交，根據軸對稱確定最短路線得AC′與OB的交點即為所求的點P，PA+PC的最小值=AC′，過點C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根據勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點C作C關于OB的對稱點C′，連接AC′與OB相交，則AC′與OB的交點即所求的點P，PA+PC的最小值=AC′，過點C′作C′D⊥OA于D，∵點C的坐標為（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×=1，∴CD=，C′D=，∵頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+=，在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===【鞏固練習1】如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據勾股定理得，，∴，即，∴【鞏固練習2】如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發(fā)向右運動，速度為每秒，點在直線上，從點出發(fā)向右運動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．

【答案】10【分析】過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質可得；設兩點運動時間為，則，，易得，；作點關于直線的對稱點，由軸對稱的性質可得，故當三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，

易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設兩點運動時間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點關于直線的對稱點，如圖，則，，由軸對稱的性質可得，當三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，，∴的最小值為【鞏固練習3】探究式子的最小值.小胖同學運用“數形結合”的思想：如圖，取，作于．于，且，，點在上，設，則，于是，，，因此，可求得的最小值為，已知，則的最大值是．

【答案】【分析】作關于的對稱點，連接交于，連接，利用勾股定理求的最小值即可；構造圖形如圖，過點作交于，求的最大值結合三角形的三邊關系，根據矩形的性質，利用勾股定理進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作關于的對稱點，連接交于，連接，

，則，，此時的值最小為：，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，如圖，，

，則，，的最大值為的長度，過點作交于，則四邊形為矩形，，，，的最大值為【題型2】雙動點最值問題（兩次對稱）【例題1】四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當三角形AMN周長最小時，∠MAN的度數為?！敬鸢浮?0【解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關于BC對稱，A、A″關于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°【例題2】如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點，當的周長最小時，°．【答案】100【分析】作點A關于的對稱點E、F，連接分別交于點H、G，連接、，則當點M與點H重合，點N與點G重合時，的周長最小，則易得的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，作點A關于的對稱點E、F，連接分別交于點H、G，連接、，由對稱性知：，，，∴當點M與點H重合，點N與點G重合時，的周長最??；∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案為：．【鞏固練習1】如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點，M為BC上一點，N為CD上一點，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為?！敬鸢浮?【解答】解：延長AD至A′，使AD＝DA′，延長AB至E′，使BE＝BE′，連接A′E′，交BC于M，交DC于N，此時AN＝A′N，EM＝E′M，四邊形AEMN周長＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根據兩點之間線段最短，A′E′+AE就是四邊形AEMN周長的最小值；∵AD＝2，AE＝BE＝1，∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，∴AE′＝3，AA′＝4，∴A′E′＝＝5，∴四邊形AEMN周長的最小值為5+1＝6．【鞏固練習2】如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為．

【答案】【分析】如圖，由，作關于對稱的點，作關于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，由對稱的性質可得，，，，則，可知當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，由，可得，則，，，根據，計算求解即可．【詳解】解：如圖，由，作關于對稱的點，作關于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，

由對稱的性質可得，，，，∴，∴當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，∵，∴，∴，，∴，由勾股定理得【鞏固練習3】如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是．

【答案】【分析】作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，則的周長，故當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，證明是等邊三角形，得到；過D作交直線于P，由平行四邊形的性質得到，，由含30度角的直角三角形的性質得到，則，，即可得到點P與點B重合，則，由此即可得到答案．【詳解】解：作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，由作圖得：，，∴的周長，∴當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；過D作交直線于P，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴點P與點B重合，∴，∴∴的周長最小值為，

【題型3】動線段問題：造橋選址（構造平行四邊形）【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，已知，在x軸上取兩點C，D（點C在點D左側），且始終保持，線段在x軸上平移，當的值最小時，點C的坐標為．【答案】（-1，0）【分析】作點B關于x軸的對稱點B′，將B′向右平移1個單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點D，過點B′作AB″的平行線，與x軸交于點C，得到此時AD+BC的值最小，求出直線AB″，得到點D坐標，從而可得點C坐標．【詳解】解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，將B′向右平移1個單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點D，過點B′作AB″的平行線，與x軸交于點C，可知四邊形B′B″DC為平行四邊形，則B′C=B″D，由對稱性質可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，則此時AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），設直線AB″的表達式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB″的表達式為：y=2x，令y=0，解得：x=0，即點D坐標為（0，0），∴點C坐標為（-1，0），故答案為：（-1，0）．【例題2】如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為．【答案】．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質可知：,∴四邊形的周長為；要使其周長最小，則應使的值最??；設拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個單位得到，則由平移的性質可知：，將關于x軸的對稱點記為點E，則，由軸對稱性質可知，,∴，當B、E、三點共線時，的值最小，設直線的解析式為：，∴，當時，∴∴，將E點坐標代入解析式可得：，解得：，此時，此時四邊形的周長為；當時，，，，，此時四邊形的周長為：；∵，∴當時，其周長最小，所以拋物線向右平移了個單位，所以其解析式為：【鞏固練習1】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為．【答案】【詳解】解：如圖所示，∵D（0，4），∴D點關于x軸的對稱點坐標為H（0，-4），∴ED=EH，將點H向左平移3個單位，得到點G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴EH=FG，∴FG=ED，∵B（-4，6），∴BD=，又∵EF＝3，∴四邊形BDEF的周長=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,要使四邊形BDEF的周長最小，則應使FG+BF的值最小，而當F、G、B三點共線時FG+BF的值最小，設直線BG的解析式為：∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，當y=0時，，∴，∴故答案為：．【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為．【答案】【分析】先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，將點沿軸向下平移個單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點，連接，是等腰直角三角形，，，將直線：向上平移個單位長度得到直線，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，點，點，，折線的長的最小值為【題型4】垂線段最短【例題1】如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點A為射線OM上一點，OA＝4，點E，F別為射線OP，OM上的動點，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_________．MMFOAENP【答案】【解析】在ON上截取OG＝OF，連接EG，過點A作AH⊥ON于點H．MMFOAEGNPH∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝．【例題2】如圖，在中，，，，，平分交于點，點、分別是、邊上的動點，則的最小值為．

【答案】【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，作，

平分，，，∴，，，∴當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為【鞏固練習1】如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為．【答案】

【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據平行四邊形的性質，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明利用對應線段的比得到的長度，繼而得到PQ的長度．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，∵,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為【鞏固練習2】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內，點N為線段CE上的動點，過點N作NP∥EM交MC于點P，則MN＋NP的最小值為_________．MMDCBAPNE【答案】【解析】分別過點M，N作CD的垂線，垂足為M，N．MMDCBAPNGHE由題意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．∵點E為AD的中點，∴tan∠ECD＝，∴由12345模型可知tan∠DCM＝，∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝，∴MN＋NP的最小值為．【鞏固練習3】如圖，在矩形中，于點，，，、分別是、上的動點，則的最小值為．

【答案】【分析】根據矩形的性質和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如圖，延長至點，使，過點作于點，交于點，連接，可得點和點關于對稱，根據垂線段最短可得的最小值為，然后在中，利用，即可得出答案．【詳解】解：∵在矩形中，，，，∴，，，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得：或（負值不符合題意，舍去），∴，∴，如圖，延長至點，使，過點作于點，交于點，連接，∵，∴點和點關于對稱，∴，，∴，∴，當點，，共線時，的最小值為，∵，，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

【題型5】相對運動平移型將軍飲馬【例題1】如圖，在矩形中，，把邊沿對角線平移，點分別對應點，的最小值為．

【答案】【分析】先證明四邊形是平行四邊形法一：過C作BD的平行線l，可以理解為點C相對線段AB是在直線l上運動，把B關于l對稱得到點E，AE即所求法二：作點關于的對稱點，連接交于，過點作交的延長線于，連接交于，此時的值最小，最小值為，通過證明，可得，通過證明，可得，最后由勾股定理即可得到答案．法一簡析【詳解】法二：解：根據題意可得：，，四邊形是平行四邊形，，，如圖所示，作點關于的對稱點，連接交于，過點作交的延長線于，連接交于，此時的值最小，最小值為，

，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為【例題2】如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M為對角線BD上一點（M不與點B、D重合），過點MN∥CD，使得MN＝CD，連接CM、AM、BN，連接AN，則AM＋AN的最小值是________．

【答案】3【詳解】法一：相對于MN，A點在平行于BD的直線上運動法二：MN=AB=,那么根據題意當AM⊥MN時，AM+AN最短.∵∠CDB=（已求），DC∥AB∴∠MBA=∠CDB=∵AM⊥MN,MN∥AB∴∠MAB=∵AB=∴AM=1∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得則AM+AN=1+2=3∴當BN⊥CD時，AM+AN有最小值3【例題3】如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且．

將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，在拋物線平移過程中，當的值最小時，新拋物線的頂點坐標為______，的最小值為______．【答案】，【分析】設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M右平移m個單位長度得到點，由平移的性質可知，，的值最小就是最小值，作出點C關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，利用兩點間的距離公式求這個長度，用待定系數法求出直線的解析式，從而確定的坐標，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點式，從而得到其頂點，繼而確定新拋物線的頂點．【詳解】，，補充求解過程如下：設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M向右平移m個單位長度得到點，作出圖形如下：

由平移的性質可知，，∴的值最小就是最小值，顯然點在直線上運用，作出點C關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，

∵點C關于直線對稱的對稱的點是點，∴，∴，設直線的解析式是：將點，代入得：，解得：直線的解析式是：令，解得：，∴，∴平移的距離是又∵，∴平移前的拋物線的坐標是∴新拋物線的頂點坐標為即故答案是：，．【鞏固練習1】如圖，已知點P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x軸上滑動時，PA+PB的最小值是?！敬鸢浮俊窘獯稹咳鐖D所示，過P作x軸的平行線l，作點A關于l的對稱點A'，連接A'P，則AP＝A'P，∴當A'，P，B在同一直線上時，AP+BP的最小值等于線段BA'的長，過A作AD⊥BC于D，∴AD∥y軸，∵A′A∥y軸，∴A′、A、D三點共線，∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AD＝BD＝1，P（0，3），∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，∴PA+PB的最小值是．【鞏固練習2】如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓骸吡庑蜛BCD的邊長為6，∠ABC＝60°，∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AC＝3，∴BD＝＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9，如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，連接CH交BD于E，當CHE三點貢共線時，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長最?。逜H＝EF，AH∥EF，∴四邊形FEHA是平行四邊形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH，∵菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝＝3，∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周長的最小值＝3+9【鞏固練習3】如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC沿直線AC翻折，得到△AB′C，再將△AB′C在直線AC上平移，得到△A′B″C′，則△BB″C′的周長的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓哼B接AB″．∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，∴四邊形ABC′B″是平行四邊形，∴AB″＝BC′，∴△BC′B″的周長＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，∵AB″+BB″最小時，△BC′B″的周長最小，作點A關于直線B′B″的對稱點T，連接BT交B′B″于B′″，連接AB″′，此時AB′″+BB′″的值最小，設AT交B′B″于E．則AE＝AB′?sin60°＝，∴AT＝2AE＝2，過點T作TP⊥AB交BA的延長線于P．則AP＝AT?coS30°＝3，PT＝AT＝，∴．∴BB″+BC′+B″C′的最小值為【題型6】化斜為直，斜大于直【例題1】如圖，直線，分別為直線上的動點，連接，線段交直線于點．設直線與之間的距離為m，直線與之間的距離為n，若，，且，則m＋n的最大值為_____．【答案】延長AB，CG＝BD＝10，取CG中點M，BF≤BM＝5?m＋n≤【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，點P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，則的最大值是．【答案】3【解析】簡析1如圖2，分別過點A、P作BD的垂線，垂足依次為E、G，則△AET∽△PGT，故＝，從而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即點P到BD的距離最大；過點C作C⊥BD于點，交⊙C于另一點，易知即為PG的最大值，此時＝2C＝2AE，因此的最大值為3； 圖2 圖3簡析2如圖3，過點P作AD的平行線，交直線BD于點Q，則△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于點G，易得PQ＝PG，從而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即點P到BD的距離最大，下略；簡析3如圖4，過點P作BD的平行線，交AD的延長線于點Q，則＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次與⊙C相切，切點為，且交AD的延長線于點Q'，此時AQ'即為AQ的最大值；連接P'C并延長，交BD于點G'，再作DH⊥P'Q'于點H，可證DH＝P'G'＝2CG'＝，則DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值為9，的最大值為3； 圖4 圖5簡析4如圖5，連接PB、PD，同上可證＝1＋，要使最大，只需使最大；易證＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即點P到BD的距離最大，下略．反思：這里提供的四種解法，都是借助相似或面積法轉化目標線段比(即)．方法一最為直接，輕松轉化為所謂“圓線距離”；方法二通過作“橫平堅直輔助線”，構造相似，將“斜接段之比”(即)轉化為“直線段之比”(即)，再借助“定角定比”，將“直距離”(即PQ)轉化為“斜距離”(即PG)；方法三依然通過作平行線構造相似，將“斜線段之比”(即)轉化為“直載段之比”(即)．再借助平移變換，找到相切位置即為所求最大位置；方法四則是將線段比轉化為面積比，通過面積法解決問題．四種解法，各有千秋，殊途同歸，并且有許多共通之處．【鞏固練習1】如圖，等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，則CE的最大值為_________．AAFBDEC【答案】16－【解析】過點E作EH⊥BC于點H．AAFBHDEC∵等邊△ABC的邊長為4，∴∠B＝60°，AC＝4．由題意，EF＝AE．設CE＝2x，則EF＝AE＝4－2x，則EH＝．∵EF≥EH，∴4－2x≥，解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值為16－．【鞏固練習2】如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段PQ長度的最小值為?！窘獯稹匡@然AB//QC,所以PQ≥CD=【鞏固練習3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是邊AB上一動點，Q是邊BC上一動點，且始終有∠CPQ＝90°，則線段CQ長的取值范圍為.【答案】【解答】由解析提示可知：，解得：,所以【鞏固練習4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC邊上一動點，過點D作DE⊥BD交AB于點E．當點D從點A運動到點C時，AE的最大值為_________，點E運動的路徑長為_________．CCDBEA【答案】，【解析】取BE的中點F，連接DF，過點F作FG⊥AC于點G．CCGDBEAF則DF≥FG，BE＝2DF．當DF⊥AC時DF最小，BE最小，AE最大．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．設DF＝x，則BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，∴x＝，∴AE＝，＝，∴AE的最大值為，點E運動的路徑長為．【題型7】構造二次函數模型求最值【例題1】如圖，點，，P為x軸上一動點，將線段繞點P順時針旋轉90°得到，連接．則的最小值是【答案】【分析】過點C作軸交x軸于D，設，利用一線三垂直模型證明推出，根據勾股定理表示出，然后根據二次函數的性質求解即可．【詳解】解：如圖1所示，過點C作軸交x軸于D，設，由旋轉的性質可得，∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為18，∴的最小值是．【例題2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是，△BDE面積的最大值為．【答案】10【分析】如圖，過點作于，過點作于，過點作于，根據等腰三角形的性質以及三角形的面積可求出，繼而根據勾股定理求出，從而求得的長，然后證明，根據全等三角形的性質可得，設，則，繼而根據三角形的面積公式可得，根據二次函數的性質即可求得答案．【詳解】如圖，過點作于，過點作于，過點作于，，，，，，，即，，在中，，，，四邊形是正方形，，，，，又，，，設，則，，，的最大值為，故答案為，．【鞏固練習1】如圖，中，，，為中點．、是邊、上的動點，從出發(fā)向運動，同時以相同的速度從出發(fā)向運動，運動到停止．當為時，的面積最大．【答案】4【詳解】解：根據題意得：，設，∵，∴，∵，∴，∵，∴當時，的面積最大【鞏固練習2】如圖，△ABC和△ABD是兩個全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分別是邊AC、AD上的動點，且始終保持PC＝QA，連接PQ交AB于點M，則AM長度的最大值為_____________．AABDCQPM【答案】EQ\F(3,4)提示：分別過P、Q作AB的垂線，垂足分別為E、FAABDCQPMFE由已知條件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°設AP＝x，則AQ＝PC＝eq\r(,3)－x則S△PAQ＝EQ\F(1,2)AM·PE＋EQ\F(1,2)AM·QF＝EQ\F(1,4)AM·AP＋EQ\F(1,4)AM·AQ＝EQ\F(1,4)AM(AP＋AQ)＝EQ\F(1,4)AM(x＋eq\r(,3)－x)＝EQ\F(eq\r(,3),4)AM又S△PAQ＝EQ\F(1,2)AP·AQ·sin60°＝EQ\F(1,2)x(eq\r(,3)－x)·EQ\F(eq\r(,3),2)＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)∴EQ\F(eq\r(,3),4)AM＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)，∴AM＝－(x2－eq\r(,3)x)＝－(x－EQ\F(eq\r(,3),2))2＋EQ\F(3,4)∴當x＝EQ\F(eq\r(,3),2)時，AM的長取得最大值EQ\F(3,4)【鞏固練習3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點P是對角線AC上一點，AP＝EQ\F(1,4)AC，過點P的直線分別交邊AB、AD于點E、F，連接CE、CF，則四邊形AECF的面積的最小值為___________．AADFCBEP【答案】6提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于HADFCBEPGH由AP＝EQ\F(1,4)AC可得AG＝PH＝EQ\F(1,4)AB＝EQ\F(3,4)，AH＝PG＝EQ\F(1,4)AD＝1ADFCBEPGH設GE＝x，則AE＝x＋EQ\F(3,4)由△EGP∽△PHF，可得HF＝EQ\F(3,4x)，AF＝1＋EQ\F(3,4x)S△AEF＝EQ\F(1,2)AE·AF＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(3,4))(1＋EQ\F(3,4x))＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(9,16x)＋EQ\F(3,2))＝EQ\F(1,2)(eq\r(,x)－EQ\F(3,4eq\r(,x)))2＋EQ\F(3,2)∴△AEF的面積的最小值為EQ\F(3,2)∵AP＝EQ\F(1,4)AC，∴S四邊形AECF＝4S△AEF∴四邊形AECF的面積的最小值為6【鞏固練習4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，點D是AB邊上的一個動點，連接CD，以CD為邊向上作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值為___________．EEFBCDA【答案】EQ\F(3,2)提示：作CG⊥BA交BA的延長線于點G，作EH⊥BA交BA的延長線于點HEEFHBCDAGM則△CDG≌△DEH，∴DG＝EH∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°作AM⊥BC于M∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝EQ\F(1,2)BC＝2∴AM＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，AB＝AC＝EQ\F(4eq\r(,3),3)，AG＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，BG＝2eq\r(,3)∴S△BDE＝EQ\F(1,2)BD·EH＝EQ\F(1,2)(2eq\r(,3)－DG)·DG＝－EQ\F(1,2)DG2＋eq\r(,3)DG＝－EQ\F(1,2)(DG－eq\r(,3))2＋EQ\F(3,2)∴當DG＝eq\r(,3)時，△BDE的面積有最大值為EQ\F(3,2)【題型8】通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬【例題1】在中，斜邊，，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．【答案】【分析】如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，證明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得結論．【詳解】解：如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等邊三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，∴∠DBT=∠EBC，在△DBT和△EBC中，∴△DBT≌△EBC（SAS），∴DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，∵AC⊥BL，CL=CB，∴AL=AB，∵∠ABL=60°，∴△ABL是等邊三角形，∵AT=TB=1，∴LT⊥AB，∴LT=BT=，∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值為，∴BE+EC的最小值為．【例題2】如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，首先證明，點B在直線上運動，作點O關于直線的對稱點E，連接交于點T，當點B與T重合時，的值最小，再利用勾股定理進行求值即可．【詳解】解：如圖，在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，且的延長線與x軸交于點M，∴、是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴,∴點B在直線上運動，作點O關于直線的對稱點E，與交于點F，連接、連接交于點T，當點B與T重合時，的值最小，∵,，∴，根據對稱得：，，，∴，∴、∵，∴，∴的最小值為：，故選：B．

【鞏固練習1】等邊邊長為6，是中點，在上運動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為．【答案】【分析】連接，由條件可以得出，再根據等邊三角形的性質就可以證明，從而可以得出，作點關于的對稱點，連接，，則，依據當，，在同一直線上時，的最小值等于線段長，可得的周長最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接，、都是等邊三角形，，，，，，，，如圖，作點關于的對稱點，連接，，則，，當，，在同一直線上時，的最小值等于線段長，且時，的周長最小，，．周長：．故答案為：．【鞏固練習2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．【答案】【分析】在BC上取一點H，使得BH＝BA，連接AH，HN．證明∠HTC＝45°，推出點N的運動軌跡是射線HN，設射線HN交CD的延長線于T，作點D關于NH的對稱點J，連接CJ交HT于O，連接OD．當點N與O重合時，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時CN+DN的值最?。驹斀狻吭贐C上取一點H，使得BH＝BA，連接AH，HN．∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，∴＝，∠BAM＝∠HAN，∴△BAM∽△HAN，∴∠AHN＝∠B＝90°，∵∠AHB＝45°，∴∠NHC＝45°，∴點N的運動軌跡是射線HN，設射線HN交CD的延長線于T，作點D關于NH的對稱點J，連接CJ交HT于O，連接OD．當點N與O重合時，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時CN+DN的值最小，∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問題胡不歸模型講解如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1＜V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。? ，記，即求BC＋kAC的最小值．構造射線AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．將問題轉化為求BC＋CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最?。绢}型1】胡不歸模型·已有相關角直接作垂線【例題1】如圖，，，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為．【答案】【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．運動時間，由，推出，可得，推出當共線且和重合時，運動時間最短．【詳解】如圖，作于H，于，交AO于．∵運動時間，∵，，∴，∵，C（1，0），，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當C，D，H共線且和CM重合時，運動時間最短，，∴，∴，∵，設，則，則有：∴或（舍去），∴∴【例題2】如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點．

（1）°；（2）的最小值為．【答案】2【分析】（1）由矩形的性質得到，又由得到是等邊三角形，則，即可得到答案；（2）過點P作于點E，過點M作于點F，證明，進一求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．（2）過點P作于點E，過點M作于點F，

在中，由（1）知：，∴，∴，在矩形中，，∵，∴，在中，，∴，∴的最小值為2【例題3】如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是．

【答案】【分析】作出點，作于點D，交x軸于點F，此時的最小值為的長，利用解直角三角形求得，利用待定系數法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點D的坐標，過點D作軸于點G，此時的最小值是的長，據此求解即可．【詳解】解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴，，作點B關于x軸的對稱點，把點向右平移3個單位得到，作于點D，交x軸于點F，過點作交x軸于點E，則四邊形是平行四邊形，此時，，∴有最小值，作軸于點P，

則，，∵，∴，∴，∴，即，∴，則，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，，解得，即；過點D作軸于點G，

直線與x軸的交點為，則，∴，∴，∴，即的最小值是【鞏固練習1】如圖，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．【答案】【分析】過作，由菱形，，得到為平分線，求出，在中，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到，故，求出的最小值即為所求最小值，當、、三點共線時最小，求出即可．【詳解】解：過作，菱形，，，，即為等邊三角形，，在中，，，當、、三點共線時，取得最小值，，，，在中，，則的最小值為．故答案為：．【鞏固練習2】如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

【答案】6【分析】過點P作，連接并延長交于點F，連接，根據等邊三角形的性質和圓內接三角形的性質得到，，然后利用含角直角三角形的性質得到，進而求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點P作，連接并延長交于點F，連接

∵是等邊三角形，∴∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值為的長度∵是等邊三角形，，∴∴的最小值為6【鞏固練習3】如圖，二次函數與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為．點P為直線l上一動點，另一點從C出發(fā)，先以每秒2個單位長度的速度沿運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿運動到點A停止，則時間最短為秒．【答案】【分析】如圖，連接，作于點D，與交點即為符合題意的點P，可得，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半得到動點運動的時間為解題即可．【詳解】如圖，連接，作于點D，與交點即為符合題意的點P，令，則，解得或，∴A，B兩點坐標為，，∴，∵A，B兩點關于對稱，∴，∵頂點C到x軸的距離為，∴∴，∵都是的高，∴，由題意得動點運動的時間為，∵是等邊三角形，，∴，∵作，∴，∴，顯然在l上另取一點，連接，∵，∴當時，運動時間最短為，故答案為：．【題型2】胡不歸模型·構造相關角再作垂線【例題1】如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

【答案】/【分析】在線段下方作，過點作于點，連接，求出此時的的長度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過點作于點，連接，

∴，∴，當、、三點共線時，的值最小，此時，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為【例題2】如圖，，，，點為上一點，連接，則的最小值為3．【答案】3【解答】解：作，過點作于點，則此時最小，，，，，，，，，，解得：，．故答案為：3．【鞏固練習1】如圖所示，在中，，M為線段上一定點，P為線段上一動點．當點P在運動的過程中，滿足的值最小時，則．【答案】【詳解】解：作，過M作交于一點即為點P，∵，∴，∴，∴當時的值最小，∴在中，,故答案為；【鞏固練習2】如圖，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8【答案】【解答】解：如圖，以為斜邊在下方作等腰，過作于，，，，，，，，的最小值為．故選：．【鞏固練習3】如圖，是圓的直徑，，弧，點是弦上的一個動點，那么的最小值為A． B． C． D．【答案】【解答】解：的度數為，，是直徑，，，作，于，于，連接．，，在中，，，根據垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，最小值為，，，在中，，，，的最小值為，故選：．【鞏固練習4】如圖，在中，，，，點是斜邊上的動點，則的最小值為.

【答案】【分析】根據兩點之間線段最短畫出圖形，再根據銳角三角函數及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性質及直角三角形的性質即可解答．【詳解】解：過點做，過點作于，過點作于點，∴，∴，∵兩點之間線段最短，∴當共線時，的值最小，即的最小值為，【法一：正切和角公式】詳情見本專輯1-3“12345模型”，故△AHC的三邊之比為，則答案為【法二：常規(guī)法】∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為．模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問題阿氏圓模型講解【模型來源】所謂阿圓，就是動點到兩定點距離之比為定值，那么動點的軌跡就是圓，這個圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿圓．其本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構造母子相似．【模型建立】如圖1所示，⊙O的半徑為R，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知R＝OB，連接PA、PB，則當“PA＋PB”的值最小時，P點的位置如何確定？解決辦法：如圖2，在線段OB上截取OC使OC＝R，則可說明△BPO與△PCO相似，則有PB＝PC。故本題求“PA＋PB”的最小值可以轉化為“PA＋PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA＋PC”值最小?！绢}型1】兩定點在圓外：向內取點（系數小于1）【例題1】如圖，在中，，，，圓的半徑為2，點為圓上一動點，連接，．求①；②；③；④的最小值．【解答】解：①取的中點，連結，，，，，，，，，，，當在上時，最小，最小值為的長，，的最小值為，②，的最小值為，③在取一點，使，，，，，，，當在上，，，的最小值為，④，的最小值為．【例題2】如圖，正方形ABCD邊長為2eq\r(2)，內切圓O上一動點P，連接AP、DP，則AP+eq\f(eq\r(2),2)PD的最小值為______．【答案】【例題3】如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．【答案】【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進而求得，證明求得，利用兩點之間線段最短得到，當共線時取等號，即可求解．【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，∵在中，，∴，，在上截取，過作于，于，連接、，∴四邊形是矩形，，∴，，∴，在中，，∵，是公共角，∴，∴，則，∴，當共線時取等號，故的最小值為，故答案為：．【鞏固練習1】如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．【答案】【分析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3，根據題意要求構造，在BC上取M使得此時PM=，則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值．【鞏固練習2】如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．【答案】【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進而求得，證明求得，利用兩點之間線段最短得到，當共線時取等號，即可求解．【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，∵在中，，∴，，在上截取，過作于，于，連接、，∴四邊形是矩形，，∴，，∴，在中，，∵，是公共角，∴，∴，則，∴，當共線時取等號，故的最小值為，故答案為：．【鞏固練習3】如圖，等邊三角形ABC邊長為4eq\r(3)，圓O是△ABC的內切圓，P是圓O上一動點，連接PB、PC，則BP＋eq\f(1,2)CP的最小值為______________．【答案】【鞏固練習4】如圖，在平面直角坐標系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，點P為以OA為半徑的圓O上一動點，則PM＋eq\f(1,2)PN的最小值為_______________【答案】【鞏固練習5】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．

【答案】【分析】在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．【詳解】如圖，在上取點，使，連接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，∵，∴，∴的最小值為．

【題型2】兩點在圓內：向外取點（系數大于1）【例題1】如圖，∠AOB=90°，OA=OB=1，圓O的半徑為eq\r(2)，P是圓O上一動點，PA+eq\r(2)PB的最小值為________．【答案】【鞏固練習1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD上一點，2PA+PB的最小值為________．【答案】12【鞏固練習2】如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】延長到，使得，連接，，利用相似三角形的性質證明，求的最小值問題轉化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為【題型3】一內一外提系數【例題1】如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．【解答】解：在上取點，使，，，，，，，在延長線上取，，則，又，，，，，當為和圓的交點時最小，即最小，且值為，，的最小值為，故答案為：．【鞏固練習1】如圖，正方形邊長為4，是的中點，在上，的最大值是，的最小值是【解答】解：(1)如圖，連接，，交于點，連接，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，當、、在一條直線上時，，.(2)延長CD至點H，使CH=2CD顯然，由（1）可知∴由勾股定理可得，，故.【題型4】隱圓+阿氏圓【例題1】如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

【答案】【分析】在上取一點G，使得連接．根據菱形的性質可知，則，結合，可得，利用相似三角形的性質證得根據可知的長即為的最小值，利用勾股定理求出便可解決問題．【詳解】解：如圖，在上取一點G，使得，連接．

∵四邊形為菱形，，∴，，∵，P是的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴當點G、P、C在同一直線上時，取得最小值，此時【例題2】如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】由折疊的性質可得，點在以為圓心，以為半徑的圓上，在線段上取一點，使得，利用相似三角形的性質得到，從而得到，當且僅當三點共線時，取得最小值，即可求解．【詳解】解：由題意可得：∴點在以為圓心，以為半徑的圓上，在線段上取一點，使得，則

∵，∴又∵∴∴∴∴如下圖所示，當且僅當三點共線時，取得最小值

，∴的最小值為：【鞏固練習1】如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，、、、，是外部的第一象限內一動點，且，則的最小值是 ．【答案】【解答】解：如圖，取一點，連接，，，、、，，，以為圓心為半徑作，在優(yōu)弧上取一點，連接，，，，，、、、四點共圓，，，，，，，，，，，，，，，的最小值是【鞏固練習3】如圖，在平面直角坐標系中，、、、，點P在第一象限，且，則的最小值為．

【答案】【分析】取一點，以O為圓心，為半徑作圓，與交于點F，連接，首先利用四點共圓證明，再利用相似三角形的性質證明，推出，根據，利用兩點之間的距離公式，即可求出的最小值，即可得．【詳解】解：如圖所示，取一點，以O為圓心，為半徑作圓，與交于點F，連接，

∵、，，∴，，以O為圓心，為半徑作，在優(yōu)弧上取一點Q，連接，∵，，∴，∴A，P，B，Q四點共圓，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，過點F作于點G，∵，，∴∴點F的坐標為，∵，∴∵，即,∴的最小值是模塊四：線段拼接最值問題（逆等線模型）一、什么是逆等線段。兩個動點分別在直線上運動，且它們各自到某一定點的距離始終相等,那么這兩條始終相等的線段稱為逆等線段。二、解題步驟:1.找三角形。找一條逆等線段，一條動線段構成的三角形。(圖中本身就有的三角形，不要添加輔助線以后構成的三角形)2.確定該三角形的不變量。在動點移動過程中，該三角形有一個邊長度不變，有一個角的大小不變。3.從另一逆等線段的定點引一條線。使得線段長度等于第二步中的那個不變的邊長，與這個逆等線段的夾角等于第二步中那個不變的角。4.問題轉化為將軍飲馬問題求最值?！灸Ｐ徒庾x】△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么別扭怎么來。一般情況下，題目中有兩個沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動，也歸為逆等線問題。觀察圖形，我們很容易發(fā)現，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方法構造全等三角形來實現線段轉移，從而使逆等線段產生關系，最終解決問題。

這樣解釋很籠統(tǒng)很枯燥，我們以具體例題來描述如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，求CD+BE的最小值。分析思路：①AD在△ADC中，那么我們就以CD為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等。②即過點C作CF//AB，且CF=AC。（構造一邊一角，得全等）③構造出△ADC≌△CEF(SAS),證出EF=CD④CD+BE=EF+BE，根據兩點之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求此時，B、E、F三點共線，本題中，也可以利用三角形三邊關系去求最值⑤求BF【題型1】平移，對稱或構造平行四邊形【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．【答案】10【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，點E是邊AD上的一個動點，過點E作EF⊥AC，分別交對角線AC，直線BC于點O，F，則在點E移動的過程中，AF＋FE＋EC的最小值為_________．AADBCFEO【答案】【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝．∵EF⊥AC，∴由矩形內十字架模型可知，＝，∴＝，∴EF＝．以EF，EC為鄰邊作□EFGC，則EC＝FG，CG＝EF＝，AADBCFEOG∠ACG＝∠EOC＝90°．在Rt△ACG中，AG＝＝，∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝，∴AF＋FE＋EC的最小值為．【鞏固練習1】如圖，在矩形ABCD中，，，點P在邊AD上，點Q在邊BC上，且，連接CP，QD，則的最小值為．【答案】13【分析】連接BP，在BA的延長線上截取AE=AB=6，連接PE，CE，PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根據勾股定理可得結果．【詳解】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，∵AP=CQ，∴AD-AP=BC-CQ，∴DP=QB，DPBQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PBDQ，PB=DQ，則PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6，連接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，連接CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∵BE=2AB=12，BC=AD=5，∴CE==13．∴PC+PB的最小值為13【鞏固練習2】如圖，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結，則的最小值為．

【答案】【分析】證得，作點關于的對稱點，則，據此即可求解．【詳解】解：連接，作點關于的對稱點，連接

由題意得：∵∴∴∵∴∴的最小值為【鞏固練習3】如圖，正方形的邊長為2，是的中點，是上的動點，過點作分別交，于點，．（1）的長為；（2）的最小值為．【答案】【分析】(1)根據正方形的性質求得AB與BM，再由勾股定理求得AM；(2)過F作FG⊥AB于G，證明△ABM≌△FGE得AM=EF，再將EF沿EM方向平移至MH，連接FH，當A、F、H三點共線時，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此時的AH的值便可．【詳解】解：(1)∵正方形ABCD的邊長為2，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∵M是BC的中點，∴BM=BC=1，∴，故答案為：；(2)過F作FG⊥AB于G，則FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°，∵EF⊥AM，∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°，∴∠BAM=∠GFE，∴△ABM≌△FGE(ASA)，∴AM=EF，將EF沿EM方向平移至MH，連接FH，則EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH，當A、F、H三點共線時，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，此時，∴EM+AF的最小值為【題型2】構造SAS型全等拼接線段【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq\r(,3)，點E、F分別是對角線AC和邊CD上的動點，且AE＝CF，則BE＋BF的最小值是___________．DDABCEF【答案】3eq\r(,7)提示：作AG⊥AC且AG＝BC，連接BG、EGDDABCEFGH則△GAE≌△BCF，BF＝GEBE＋BF＝BE＋GE≥BG解△ABG得BG＝3eq\r(,7)，BE＋BF的最小值是3eq\r(,7)【例題2】如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當的值最小時，的長為．【答案】【分析】過點作，且，證明，可得，當三點共線時，取得最小值，證明，即可求解．【詳解】如圖，過點作，且，連接，如圖1所示，，又，，，，當三點共線時，取得最小值，此時如圖2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，設，，，，，，，，即取得最小值時，CM的長為，故答案為：．【鞏固練習1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分別是AC、AB上的動點，且AD＝BE，F是BC的中點，則BD＋EF的最小值為___________．AABCDEF【答案】eq\r(,13)提示：作BG∥AC且BG＝AB，連接GE，作GH⊥BC于HAABCDEFGH則∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝eq\r(,3)BF＝eq\r(,3)，HF＝2eq\r(,3)，GF＝eq\r(,13)△ABD≌△BGE（SAS），BD＝GEBD＋EF＝GE＋EF≥GF＝eq\r(,13)，最小值為eq\r(,13)【鞏固練習2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為邊BC上一點，AE＝AD，M、N分別為線段AE、BE上的動點，且AM＝EN，連接DM、DN，則DM＋DN的最小值為___________．AABCDNEM【答案】4eq\r(,2)提示：連接ANAABCDNEMA′由題意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN延長AB至點A'，使A'B＝AB，連接A'N、A'D則AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D當A'、N、D三點共線時DM＋DN的值最小此時A'N＝DN，∴AN＝EQ\F(1,2)A'D＝DN∴點N在線段AD的垂直平分線上∴BN＝EQ\F(1,2)BC＝2，∴AN＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4eq\r(,2)即DM＋DN的最小值為4eq\r(,2)【鞏固練習3】如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為___________．AADBCEF【答案】2eq\r(,2)提示：作BG⊥AB且BG＝AB，連接AG、EGAADBCEFG則AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30°又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)即AE＋AF的最小值為2eq\r(,2)【鞏固練習4】如圖，在平面直角坐標系中，等腰三個頂點在坐標軸上，，點D，E分別為上的兩個動點，且．當的值最小時，則點D的坐標為．【答案】/【分析】如圖：過點C作使，連接；證可得，；將最小值可轉化成最小值，則當A、D、B在同一直線上時，最小