湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊，第二冊至5.2一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某物體運(yùn)動(dòng)后，其位移（單位：）為．在這段時(shí)間里，該物體的平均速度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，位移為，當(dāng)時(shí)，位移為，在這段時(shí)間里，該物體的平均速度為：．故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)l的傾斜角為，則，由題可知l的斜率為，所以l的傾斜角為．故選：D.3.在數(shù)列中，已知，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由，，取倒數(shù)得：，則是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以，所以；由于，故．故選：C.4.在三棱錐中，為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.5.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時(shí)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得．設(shè)線段中點(diǎn)，因?yàn)樽鴺?biāo)，且過焦點(diǎn)，所以，則的斜率，解得．故選：A.6.若三條不同的直線，，不能圍成一個(gè)三角形，則a的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，則，解得．若，則，解得．若，，交于一點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得得，代入，得，解得，故a的取值集合為．故選：D.7.如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都是其外接正三角形各邊的中點(diǎn)．現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個(gè)網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形的周長從大到小是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.設(shè)最小的正三角形的邊長為米，則，則，即，得，故最小的正三角形的邊長為米.故選：B.8.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l：與C相交于A，B兩點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，則（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】依題意，雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)到直線AB的距離為，到直線AB的距離為，則，，因?yàn)榈拿娣e是面積的3倍，所以，即，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，所以．故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；，，C，D正確.故選：ACD10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對A,若，則，A選項(xiàng)不正確；對B,若，則，B選項(xiàng)正確；對C,若，則，C選項(xiàng)正確．對D,若，則，D選項(xiàng)正確．故選：BCD11.在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得平面平面C.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A項(xiàng)正確；建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，對于B項(xiàng)，，，，設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，由，令，可得．設(shè)平面的法向量為，由，令，可得．若平面平面，則，解得，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，．設(shè)直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，如下圖，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，．設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D項(xiàng)正確．故選：ABD.12.已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的對稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，平行四邊中,，在中，.因?yàn)橹本€斜率存在，所以A，B兩點(diǎn)不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因?yàn)?，故A，C錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則__________．【答案】【解析】由點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，得，即，所以.故答案為：14.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則__________．【答案】【解析】由題意可得：．故答案為：.15.若直線是圓的一條對稱軸，則點(diǎn)與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為__________．【答案】1【解析】由題可知，該圓的圓心為，直線過圓心，則，解得，則該圓的方程轉(zhuǎn)化為，該圓圓心為，半徑為，易知圓心與的距離為，故點(diǎn)與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為．故答案為：116.在數(shù)列中,,,其中是自然對數(shù)的底數(shù),令，則____________．【答案】【解析】由，得，則，則，故．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足，且對于任意m，，都有．（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和．解：（1）取，則由，得．因?yàn)椋?，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可知，則，故．18.已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，．（1）求過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程．（2）設(shè)線段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為E，過E的直線l平分四邊形的面積.若四邊形為平行四邊形，求直線l的方程．解：（1）方法一：因?yàn)椋?，，則，，由，得，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心為線段的中點(diǎn)，半徑，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為；方法二：設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為，則，解得，故過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為，即.（2）設(shè)，由題意可得：，，因?yàn)榫€段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為E，則，則，解得，即．方法一：直線l平分四邊形的面積，可知直線l過線段的中點(diǎn)，所以直線l的方程為，整理得；方法二：設(shè)l與相交于點(diǎn)，則，由直線l平分四邊形的面積，可得，則，解得，即，所以直線l的方程為，整理得.19.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在點(diǎn)A處的切線與直線垂直．（1）求a，b的值；（2）求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程．解：（1）由，則，因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則，解得.（2）由（1）可設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則切線斜率，則切線的方程為，將點(diǎn)代入方程整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，切線方程為．當(dāng)時(shí)，切線方程為．故經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程為或．20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，且．（1）求的長;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由，得，，，．因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21.已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）在中，對每個(gè)正整數(shù)k，在和之間插入k個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，比較與20000的大小關(guān)系．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，則，解得，所以，．（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，可知，且，令的前n項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22.已知橢圓與雙曲線的焦距之比為