遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則集合中的元素個(gè)數(shù)有（）A個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)槿?，，所以，，又因?yàn)椋?因此，集合中的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.2.已知，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，且，故，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D項(xiàng)正確.故選：D.3.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選：A4.已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，因?yàn)榍?，則內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，可得，因函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則外層函數(shù)為減函數(shù)，所以，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)的公差為，因?yàn)?，，可得，解得，所以，可得，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D.6.過(guò)圓上的兩點(diǎn)分別作圓的切線，若兩切線的交點(diǎn)恰好在直線上，則的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑.因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，由圓的知識(shí)可知四點(diǎn)共圓，且，所以，又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以.故選：D.7.某雕刻師在切割玉料時(shí)，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測(cè)得在此三棱錐中，側(cè)面底面，且，該雕刻師計(jì)劃將其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，所以，且，又?cè)面底面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，又，所以，因?yàn)?，所以．?dāng)球形玉珠為三棱錐的內(nèi)切球時(shí)，球形玉珠的直徑最大．設(shè)三棱錐的表面積為，內(nèi)切球的半徑為，則，又，，故，所以，所以磨成的球形玉珠的直徑的最大值為．故選：C8.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件C.若不等式的解集為且，則的極小值為D.若、是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)奇函數(shù)，則，且，所以，，即對(duì)任意的恒成立，則，可得，所以，“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，易得，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，則，可得，所以，“”“”，若取，則成立，即“”“”，所以，“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榍?，則、為方程的兩個(gè)根，設(shè)方程的第三個(gè)根為，則，若，則不等式的解集為，不合乎題意；若，則不等式的解集為，合乎題意；若，則不等式的解集為，不合乎題意；若，則不等式的解集為，不合乎題意；若，則不等式的解集為，不合乎題意.所以，，則，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若、是方程的兩個(gè)不同的根，由韋達(dá)定理可得，，所以，，可得，由于，解得或，D對(duì).故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則（）A.的虛部為 B.是純虛數(shù)C.在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，的虛部為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，為純虛數(shù)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，，所以，，D錯(cuò).故選：ABC.10.已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（）A.的長(zhǎng)度為 B.的長(zhǎng)度為C.的長(zhǎng)度為 D.的長(zhǎng)度為【答案】AD【解析】如圖所示，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則即為，即為，由，得，所以，，由，得，則，所以，故C錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；由，得，又易知，得，所以，所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)，故選：AD.11.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（）A.存在使數(shù)列為常數(shù)列B.存在使數(shù)列為遞增數(shù)列C.存在使數(shù)列為遞減數(shù)列D.存在使得恒成立【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，又，則，設(shè)，其中，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)使數(shù)列為常數(shù)列，故A正確；當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，又，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，又，所以，又在上單調(diào)遞增且，所以，所以存在使得恒成立，即D正確；由上述分析可知，不存在使數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則________.【答案】【解析】由題意可得：，所以，故答案為：13.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則________.【答案】【解析】由圖可知：，所以，可得：，又，所以，可得：，又，可得：，故答案為：14.已知函數(shù)，若函數(shù)存在個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，由f'x>0，可得；由f'所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)存在個(gè)零點(diǎn)，令，可得，則直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，且，可得，且，可知，可?（2）由（1）可知：，，則，因?yàn)榈拿娣e為，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周長(zhǎng)為.16.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)?，所以，又，所以為等比?shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2.（2）解：由（1）知，故，所以，故，令，①則，其中，②得，故，所以.17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：在菱形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）解：在菱形中，因?yàn)椋院投际钦切?，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，.設(shè)平面的法向量為，則取，則.記直線與平面所成角為，則.，解得，即的值為2.18.已知的其中兩個(gè)頂點(diǎn)為，點(diǎn)為的重心，邊，上的兩條中線的長(zhǎng)度之和為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率存在且不為0的直線與相交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于兩點(diǎn)，記四邊形的面積為S，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，的邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為，所以，故由橢圓的定義可知曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）.設(shè)分別為該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?短半軸長(zhǎng)?半焦距，所以，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，設(shè)，則，即，代入橢圓方程得，所以，則，所以.由對(duì)稱性知，又，所以.，又，所以的取值范圍為，故的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）求證：（）.證明：（1）因?yàn)椋?，且，．?dāng)時(shí)，設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以，使得，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，又，gπ2=1-2π2則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，得證；（2）因?yàn)椋?，由?）可得．接下來(lái)證明，其中，設(shè)，，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)