山東省大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號，考場號，座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線與直線平行，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】根據(jù)直線與直線平行，則，故.故選：A2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，根據(jù)題意，故A錯誤.對于B，設(shè)，則不存在，故B正確.對于C，，故C錯誤；對于D，由，則，所以，所以，故D錯誤；故選：B.3.直線與圓交于A，B兩點，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】圓M的半徑，圓心，則圓心M到直線l的距離，故．故選：D．4.過點且與拋物線只有1個公共點的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】C【解析】因點A在C上，所以過點A且與C相切的直線只有1條，該切線滿足題意．過點A且斜率為0的直線與C也只有1個公共點，所以滿足題意的直線有2條．故選：C5.如圖，二面角的大小為，點A，B分別在半平面，內(nèi)，于點C，于點D．若，，．則（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】解法一：作于點C，且，連接，，，；解法二：由，，得，，．因為，所以，則，解得，．故選：C.6.動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，則動點M的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，化簡得．故選：B7.已知A，B分別為橢圓的左、右頂點，D為C的上頂點，O為坐標原點，E為C上一點，且位于第二象限,直線AE，BE分別與y軸交于點H，G．若D為線段OH的中點，G為線段OD的中點．則點E到x軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過點E作軸，垂足為F．由題意可得，，所以，，兩式相乘可得所以，則．故選：D8.如圖，正方形的棱長為4，G，E分別是，AB的中點，是四邊形內(nèi)一動點，，若直線與平面沒有公共點，則線段的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．設(shè)平面EFG的法向量為，則，即令，可得．設(shè)，則．因為直線AP與平面EFG沒有公共點，所以平面EFG，則，所以，即．，當時，AP取得最小值，最小值為．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間內(nèi)三點，，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】ABD【解析】因為空間內(nèi)三點，，，所以，，，則，，，A正確．因為，所以，B正確．，C錯誤．的面積為，D正確．故選：ABD.10.已知是雙曲線的上焦點，是上的兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是的中點，則B.的最小值為4C.點到的兩條漸近線的距離的乘積為12D.若的中點坐標為，則直線的斜率為【答案】ACD【解析】由雙曲線，可得焦點在軸上，，若是的中點，則直線軸，，A正確．的最小值為，B錯誤．由題意得，，所以雙曲線的漸近線方程為或，所以點到的兩條漸近線的距離乘積為，C正確．設(shè)，，則兩式相減得．因為的中點坐標為，所以，即，所以直線的斜率為，D正確．故選：ACD.11.笛卡爾葉形線是一個代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點，點Px0,y0在C上，則下列結(jié)論正確的是（A.直線與C有3個公共點 B.若點P在第二象限，則C. D.【答案】BCD【解析】因為葉形線經(jīng)過點，所以．聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個公共點，A錯誤．．因為點P在第二象限，所以，，所以，B正確．若點P在第四象限，則，可推出．因為，所以．當點P在第二、四象限時，，所以．當點P原點或在第一象限時，易得，所以，C正確．由，可得，解得，所以，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題．每小題5分，共15分．12.與圓，都相切的直線有______條．【答案】3【解析】圓的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，因為，所以圓與圓外切，與圓，都相切的直線有3條．故答案為：313.已知地球運行的軌道是橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，若地球到太陽的最大和最小距離分別為，，則這個橢圓的離心率為______．【答案】0.02【解析】設(shè)該橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，由題意，得，，解得，，所以這個橢圓的離心率．故答案為：0.0214.在正六棱柱中，，M，N分別為，的中點，平面CMN與直線交于點G，則______；點A到平面CMN的距離為___.【答案】4；【解析】連接AD，BF，設(shè)其交點為O．由正六棱柱的性質(zhì)知，，且，取中點P，連接OP，則平面ABCDEF．以O(shè)為坐標原點，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．因為，M，N分別為，的中點，所以，，，，則，，．設(shè)平面CMN的一個法向量為n=則令，則．設(shè)，則．由，解得，又，所以．點A到平面CMN的距離．故答案為：4，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點,,點C在x軸上,且是直角三角形，．（1）求點C的坐標；（2）求的面積；（3）求斜邊上的中線所在直線的方程．解：（1）設(shè)．因為，所以，顯然，則．因為，，所以，解得，則．（2），，的面積為．（3）記AC的中點為E，則．直線BE的斜率為，直線BE的方程為，即，所以斜邊上的中線所在直線的方程為．16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點，，且該四棱錐的體積為.（1）求AE的長度；（2）求二面角的正弦值.解：（1）設(shè)，則，該四棱錐的體積為，解得，即，．以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B1,0,0，，，，，，，設(shè)，則，．若，則，解得，即E為PC的中點．連接AC，在中，；（2）由（1）得，，．設(shè)平面ABE的法向量為，則即取，得n=0,1,-1．設(shè)平面PBE的法向量為，則即取，得．設(shè)二面角的大小為，則，所以，所以二面角的正弦值為．17.已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為F，拋物線的焦點與F重合，是與的一個公共點．（1）求與的標準方程；（2）過點A的直線l與交于D，E兩點，若E是AD的中點，求直線l的斜率．解：（1）因為，所以，解得，所以的標準方程為．因為拋物線的焦點與F重合，所以，．又，解得，所以的標準方程為．（2）由（1）知．設(shè)直線l的方程為，，．因為E是的中點，所以①．聯(lián)立，得，則，②，．由①②解得，，所以，解得，即，經(jīng)驗證，此時滿足，所以直線的斜率為．18.已知，分別為橢圓的上、下焦點，是橢圓的一個頂點，是橢圓C上的動點，，，三點不共線，當?shù)拿娣e最大時，其為等邊三角形．（1）求橢圓的標準方程；（2）若為的中點，為坐標原點，直線交直線于點，過點作交直線于點，證明：．解：（1）因為是橢圓C的一個頂點，所以．當點與的左頂點或右頂點重合時，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因為，所以，．故橢圓C的標準方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，Px1,y由得，，，所以，，即點，所以直線的方程為．令，得．又，所以直線的方程為．令，得．延長交于，延長交于．由，得，則．同理由，得，則．因為，，顯然，所以．19.空間直角坐標系中，任意直線l由直線上一點及直線的一個方向向量唯一確定，其標準式方程可表示為.若平面以為法向量且經(jīng)過點,則平面的點法式方程可表示為，整理成一般式方程為．特殊地，平面xOy的一般式方程為，其法向量為．若兩個平面相交，則交線的一般式方程可以表示為（1）若集合，記集合M中所有點構(gòu)成的幾何體為S，求S的體積；（2）已知點，直線．若平面，，求的一般式方程；（3）已知三棱柱的頂點,平面ABC的方程為，直線的方程為，平面的方程為．求直線與直線BC所成角的余弦值．解：（1）由條件知，S