山西省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，則.故選：A.2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.3.的展開式中常數(shù)項為（）A. B.30 C. D.15【答案】B【解析】的展開式的通項為：，令，解得，常數(shù)項為.故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)兩角和的正切公式，，可得，即；根據(jù)誘導(dǎo)公式，，故原式.故選：A.5.已知，動點滿足，動點滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】已知，為動點，根據(jù)雙曲線的定義可得，由于，所以點的軌跡是雙曲線的右支，且，即a=2，則，則點的軌跡方程為，，設(shè)，由可得，整理得點軌跡方程為，所以.故選：C.6.設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向下，在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，即結(jié)合題意需有；對于正弦函數(shù)需為增函數(shù)，則，因為，需滿足，即；又在分段點處需滿足，即，綜上.故選：C.7.已知拋物線的焦點為，、是上不同的兩點，為坐標(biāo)原點，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)、，則，即，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)或時，等號成立，故的最小值為.故選：A.8.同底的兩個正三棱錐與的所有頂點都在球的表面上，若2，則二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得為球的直徑，，因為，所以，作，垂足為，則為外接圓半徑，且，所以在正中，，取中點，連接，由，得，則就是二面角的平面角，，所以.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩條不同的直線是兩個不同的平面，，則（）A.不平行是不平行的充分條件B.不相交是不相交的必要條件C.垂直且相交是垂直的充分條件D.平行或相交是異面的必要條件【答案】BD【解析】不平行，有可能平行，故A錯誤；若不相交，則不相交，故B正確；若垂直相交，，可能不垂直，故C錯誤；若異面，則平行或相交，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的定義域，對任意的，恒有，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】中取得f1=0，取，得，故A正確；取得f-x=-fx，故由題意構(gòu)造函數(shù)，滿足，取，滿足，此時，所以，故C錯誤；取，得，所以，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，所以，故D正確.故選：ABD.11.某科技企業(yè)通過一家代工廠為其加工某種零部件，加工后的零部件先由智能檢測系統(tǒng)進(jìn)行檢測，智能檢測系統(tǒng)能檢測出不合格零部件，但會把的合格零部件判定為不合格，所以智能檢測系統(tǒng)檢測出的不合格零部件需要進(jìn)行人工第二次檢測，人工檢測可以準(zhǔn)確檢測出合格與不合格的零部件，通過統(tǒng)計需要人工進(jìn)行第二次檢測的零部件中，零部件的合格率為，則（）A.該零部件的合格率為B.從該代工廠加工的零部件中任取100個，則取到的合格品個數(shù)的均值為96C.從該代工廠加工的零部件中先后兩次各取一個，若至少有1個為合格品，則第1次取到合格品的概率為D.從需要進(jìn)行人工第二次檢測的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大【答案】BCD【解析】設(shè)零部件的合格率為，由題意可得，解得，故A錯誤；從該代工廠加工的零部件中任取100個，記取到的合格品個數(shù)為，則，故B正確；從該代工廠加工的零部件中先后兩次各取一個，至少有1個為合格品的概率為，所以所求概率為，故C正確；從需要進(jìn)行人工第二次檢測的零部件中任取10件，記取到件合格品，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以或最大，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量滿足，且，則__________.【答案】【解析】由得；由得；由得，所以.故答案為：13.對于勾股定理的證明，我國歷史上有多位數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了利用面積出入相補(bǔ)證明勾股定理的不同的證法，如后漢時期的趙爽?三國時期的劉徽?清代的梅文鼎?華蘅芳等.如圖是華蘅芳證明勾股定理時構(gòu)造的圖形，其中為直角三角形，分別以為邊長作3個正方形，通過出入相補(bǔ)證明兩個較小的正方形面積之和等于大正方形面積，從而可以證明勾股定理.若，以中點為圓心作圓，使得三個正方形的所有頂點只有2個在圓外，則滿足題意的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】（答案不唯一，形如的方程都可以）【解析】如圖，點，，線段的中點到三個正方形頂點的距離最大為，其次為，所以以中點為圓心作圓，使得三個正方形的所有頂點只有2個在圓外的圓方程為，取得該圓的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（答案不唯一，形如的方程都可以）.14.若對任意，當(dāng)時恒有則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由得，即，設(shè)，則，所以問題轉(zhuǎn)化為在1,+∞上沒有零點.當(dāng)0時，沒有零點，滿足題意；當(dāng)時，由得，設(shè)，則，因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以.綜上，的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若，求面積的最大值；（2）若，求.解：（1）因為，所以.由正弦定理得，因為，且，所以.由及余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的面積，即面積的最大值為.（2）由及正弦定理得，因為，所以，所以，即，所以.16.近年來，因使用手機(jī)過久?工作壓力大等因素導(dǎo)致不少人出現(xiàn)了睡眠問題.某媒體為了了解出現(xiàn)睡眠問題者的年齡分布，調(diào)查了200名成年人的睡眠時間，得到如下列聯(lián)表：90后非90后合計23：00前入睡308023：00后入睡合計100200（1）完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析能否認(rèn)為“23：00前入睡”與“是90后”有關(guān)聯(lián)？（2）隨著出現(xiàn)睡眠問題人群的增加，及社會對睡眠健康重視程度的加深，有助提高睡眠質(zhì)量的產(chǎn)品受到消費者推崇，記年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為年中國睡眠經(jīng)濟(jì)市場規(guī)模及2024年中國睡眠經(jīng)濟(jì)市場規(guī)模（單位：千億元）預(yù)測，年份代碼12345市場規(guī)模3.84.24.55.05.3根據(jù)上表數(shù)據(jù)求關(guān)于的回歸方程.參考公式：，其中.回歸方程，其中參考數(shù)據(jù)：.解：（1）列聯(lián)表如下：90后非90后合計前入睡305080后入睡7050120合計100100200假設(shè)：“23：00前入睡”與“是90后”無關(guān)聯(lián)，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為“前入睡”與“是90后”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.（2）由的取值依次為，得，所以，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為.17.如圖，在體積為的三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，?為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為是邊長為2的正三角形，設(shè)點到平面的距離為，則三棱柱的體積，所以，因為，所以就是點到平面的距離，故平面.因為平面，所以，因為為中點，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：以為原點，直線為軸，在平面內(nèi)過點與垂直的直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，所以.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則有得取，得.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓經(jīng)過點的左?右焦點分別為，且.（1）求的方程；（2）若過點的直線與交于點?，且線段的中點恰好為，求直線的方程；（3）若斜率為且不經(jīng)過點的直線與交于不同兩點，直線的斜率成等差數(shù)列，求的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，，所以，即，因為點在上，所以，由解得，所以的方程為；（2）設(shè)，則，且，兩式相減得，即，因為線段的中點為，所以，所以，即直線斜率為1，所以直線的方程為，即.（3）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由，整理得，所以.因為直線的斜率成等差數(shù)列，所以，即，整理得，因為不經(jīng)過點，所以，所以，代入，得，所以的取值范圍是.19.若的定義域為，數(shù)列滿足，則稱為的“倍點列”.（1）若為的“2倍點列”，求的前項和；（2）若為的“1倍點列”且，求證：為定值；（3）若，判斷是否存在，使得為的“倍點列”，并證明你的結(jié)論.（1）解：因為為的“2倍點列”，所以，即，所以所以，當(dāng)時，，顯然滿足，故綜上，（2）證明：因為