《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。） 學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值仍然保持相等。 我們猜想：==設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動(dòng)：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述） 學(xué)生：思考得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗(yàn)。=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，作：，垂足為在中，（圖5）在中，（圖5）同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，作交的延長(zhǎng)線于（圖6） 在中，（圖6） 在中， 同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對(duì)于任意△ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程。(圖7)AB(圖7)ABCDEFbac（圖7）在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式 教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，這個(gè)到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8） 學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長(zhǎng)交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（圖8）證明：連續(xù)并延長(zhǎng)交圓于，在中，即同理可證：， 教師：從剛才的證明過程中,，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識(shí)來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長(zhǎng)度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，（圖9） （圖9） 即 同理： 對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡(jiǎn)單交代。 教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。（四）利用定理，解決引例師生活動(dòng)：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學(xué)生：馬上得出 在中， （五）了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型： =1\*GB3①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如； =2\*GB3②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。 例1：在中，已知，，，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，已知，，，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流。 用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。（八）作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用（相關(guān)網(wǎng)址：）七、設(shè)計(jì)思路：本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過程，通過“觀察——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。2、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想通過特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生