2012年7月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

2012年7月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試卷

（課程代碼04184）

本試卷共6頁，滿分100分，考試時間150分鐘，

考生答題注意事項：

1.本卷所有試題必須在答題卡上作答.答在試卷上無效,試卷空白處和背面均可作草稿紙

2.第一部分為選擇題必須對應試卷上的題號使用2B鉛筆將“答題卡”的相應代碼涂黑一

3.第二部分為非選擇題必須注明大、小題號，使用0.5亳米黑色字跡簽字筆作答

4.合理安排答題空間,超出答題區(qū)域無效。

說明：本卷中,表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，。,表示向的轉(zhuǎn)置.E表示單位矩陣，|A|衰示方

陣A的行列式,4r衰示方陣A的逆矩陣，r（A）表示矩陣A的鐵.

第一部分選擇題

一、單項選擇題（本大題共1。小題，每小題2分,共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題卡”

的相應代碼涂黑。未涂、錯涂或多涂均無分。

1?設(shè)A為三階矩陣，且|A-"=3,則I-3AI

A.-9B.-1C.1D.9

2.設(shè)A=其中a,G=l,2,3）是三維列向量，若|A|=】，

Ml[4aj,2q—3cr：?crj]I=

A.-24B.-12C.12D.24

3.設(shè)A、B均為方陣，則下列結(jié)論中正確的是

A.若|A8|=0,則A=0或5=0B.若|Ab|=0,則|川=0或|叫=0

C.若AB=0,則4=0或B=0D.若ABK0,則|A|#0或IX0

4.設(shè)A、B為〃階可逆陣，則下列等式成立的是

A.（AB）-1-B.

C.I《Ab〉T=7^5TD.|G4+b）T|=SF+

IAi>?

5.設(shè)A為mX〃矩陣，且mVm則齊次方程AX=0必

A.無解B.只有唯一解C.有無窮解D.不能確定

]2

6.設(shè)A=:1

?則，(4)=

21

003.

A.1B.2C.3D.4

7.若A為正交矩陣，則下列矩陣中下號正交陣的是

A.11B.2A*C.A1D.AT

8.設(shè)三階矩陣A有特征值0、1、2,其對應特征向量分別為卻、&、&，令P=［品，與，2&J,

則p-AP=

0O-200-

A.010B.000

000.001

9.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A)=r(5),則

A.A與B等階B.A與》合同C.|A|=|B|D.A與5相似

10.實二次型f(工i?x2,x>)=x?4-2xJ—2x>x2f是

A.負定B.正定C.半正定D,不定

第二部分非選擇題

二、填空題(本大題共10小題,每小題2分，共20分)

請在答題卡上作答、

11.設(shè)A、B均為三階方陣，|A|=4,|5|=5,則|2AJJ|=

n

12.設(shè)A=.B=，則ATB

3010

0]

13.設(shè)A=010則A-'

1002J

15.a,所生成的線性空間L(ai皿z，a3的

16.設(shè)A為三階方陣，其特征值分別為.1,2,3.則lA-'-El=,

「1ri

17.設(shè)a=1,p=2,且a與p正交，則￡=___________.

18.方程N1+與一%,=1的通解是?

19.二次型/(X1,X：,X3,X4)=X^X^+XtXi+XiXi+5x［所對應的對稱矩

陣是_________________.

riIT

n0無

20.若A=010是正交矩陣，則*=.

三、計算題(本大題共6小題,每小題9分，共54分)

請在答題卡上作答。

1112

21.計算行列式；：：：

1<1

2111

22.設(shè)A=，且X滿足X=AX+8,求*.

=5

23.求線性方程組《2f+與+/+2工4=1的通解.

,5x1+3xt4-2xi+2x4=3

24.求向班組電=(2,4,2),%=(1,1,0)，4=(2,3,1),a=(3,5,2)的一個極大線性

無關(guān)組，并把其余向量用該極大線性無關(guān)組表示.

2012年7月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參考

（課程代碼04184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.A2.B3.B4.C5.C

6.C7.B8.B9.A10.B

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

423'

1

11.16012.34113.°°

120

007

14.1115.2

16.017.-118.1國為任意實數(shù)）

0700

10±

2u20

19

0；01

7

5

三、計算題（本大題共6小通每小題9分，共54分）

5555

1121

21.解：原式口+口+口+?

,^―1211

211)

1111

1121

=5

1211

2111

001

0010

=510

010

00

100

=5

22.解：???X-AX=B

則(E?A)X=B

AX=(E-A)-*B

1

3

1

3

1

3

3-r

20

1-1

23.解：方程的增廣矩陣

1010-8

01-1013

00012

=

才?-x3-8

x3為自由未知量,1七=工3+13

-1-8

113

???結(jié)構(gòu)解:X=c+，其中c為任意常數(shù)

10

02

24.解:設(shè)A=［。］丁竊2Ta3T

2123一

=4135

.2012_

2123一

-*0-1-1-1

0-1-1-1.

「1

2123110y1

f0111f0111

【。。。?！筁o000.

???6,（X2是一個極大無關(guān)組

口1

且aj=yai+a2

=

a4<Xi+az

r：-3ri

25.解：A---0

rj-5,i

Lo

12

r?-rt

-----0-4

P0

因r（A）=2

J5-X=0

故1t—1=0

入=5

從而＜

t=l

3一入

26.解：|A一入E|=-2

0

=（3一入）（2一入）（7—入）

***Xi=2,入2=3,入3=7

xi—2X=0

當入=2時彳特征方程《2

(?3=0

，斤特征向垃Pl=

20

令P=[p]，。2，pj=10

。1

200,

WJPlAP=030

007.

四、證明題（本大題共1小題，6分）

noon

00

27.證：[0i，氏，氏，04]=[ai,ci??da?a]=[a),a?a,a]C

011024

P011

???加，％P<P<線性相關(guān)

2012年4月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

（課程代碼04184）

一、單項選擇題（本大題共10小通，每小題2分，共20分）

1.D2.A3.B4.C5.A

6.B7.A8.B9.CtO.D

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.1612.2

13-（00）,4-2

（2\（0\

15.316.x=c+C.（其中c為任意常數(shù)）.

-2-2

17.618.3

19.220.咒-4只（形式不惟一）

三、計算題（本大題共6小題,每小題9分，共54分）

3-1-1-1

21.解D=-4/1:331

1000

2-4-32

-1-1-1

=（-1產(chǎn)1331

-4-32

1220）,

=133

-30-9

=48.

欠缺的答案

22.解由/+X=X4可得XG4-E)=/I

‘0-30、

由Z-E=200,得|4一同=6=0,故/-E可逆,

、001J

從而X=A(A-EY'.

I

00

2

G45"-100

o0

因此X=--10

3

002

23.解|4+5|=|3,72，%，%)+(萬，力，八，九)|

=|4+夕，2%，2%,2%|

=|。，2%,2%,2九|+16,,2%,2"

二8|凡力，%，九|+8|B,1>/3>/4|

=8|/|+8|.|

=40.

003T3T

[o000,

當，=3時，秩（4,alte,&）=20是一個極大無關(guān)組,

當，工3時，秩（%,.，％，&）=3,%,%，%是一個極大無關(guān)組，

（極大無關(guān)組不惟一）

25.解對增廣矩陣作初等行變換

因此非齊次線性方程組的一個特解為"=(4,-1,0,0)T,

導出組的一個基礎(chǔ)解系為

6=(-3,1,1,0)、$=(-3,2,0,1)、

所以，非齊次線性方程組的通解為

x=if+占(占，/為任意常數(shù)).

26.與％正交的向量x=a,%J)T應滿足方程

(%,x)=玉+x?+X,=0,

解得它的一個基礎(chǔ)解系為$=1，芻=0

、0)IL

由于冬心不正交，因此，將心，&正交化得

2

0

*6繇k22

I0J1

-1、

是所求的兩個向量.

從而a2=1

、0,

四、證明題（本題6分）”

27.證一由于，?

由題設(shè)知r（H/）=〃，'.

所以r（/l）=n.故線性方程組=0只有零解.?

證二反證法

若線性方程組4x=0有非零解，則存在向量4工0,使46=0.?

從而彳）q=o,歹/T44=0，?

因此二次型/（4~口不是正定的，這與彳?正定矛盾，

故企=0只有零解...

全國2024年1月自考《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》答案

課程代碼：（）4184

2012年1月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參考

（課程代碼04184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小SI2分，共20分）

1.D2.A3.D4.D5.A

6.B7.B8.A9.B10.C

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.-812.-313/714.n15.n-r

16.r(A.6)=r(A)17.2b18.019.1

20.3

三、計埠題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

11-1211-12

00-530150

21.解：原行列式=a-

02-4-302-4-3

015000-53

11-12112-1112-1

015001050105

00-14-300-3-1400-3-14

*00-53003-5000-19

=57?

22.解：由條件

從而(A-E)8r4E

1r,

故B=4(A?E)T=42

J,、

=47=2

j_1

T

291

6

23.

04

故4?4.火豆極大線忤無關(guān)組.且

%=%+2a2-3%?

24.解：矩陣A的特征多項式為:

1+1-4-3

|AE-A|=A(A-D,

242+2

故A的特征值為2=0,%=入=1?

對于A=0,求解齊次線性方程組（0EA）x=0

"1'

得一個基礎(chǔ)解系為：4=1，故屬于即=0的全部特征向*為:

比6=扁1（30）

.-1.

對特征值％=入=1,考慮齊次線性方程組（1比4爪=0

求解得，其一個基礎(chǔ)解系為:

故屬于特征值％=k=1的全部特征向量為

22a2+13%1十八0，其中44不全為o

0.2

25.解:對該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣實行初等行變換得

由于r(A)=2V4,基礎(chǔ)解系含2個自由未知量.

X|="XS+5X4

原方程組等價于4，工4為自由未知量.

故原方程組的通解為:

片cEi+q%=Ci為任意常數(shù).

26.解:對A施行初等行變換將其化成階梯形

由于A的非0行數(shù)為3?

故A的秩為3.................................................................................................（9分）

四、證明題（本大題共1小包.6分）

27.證明,設(shè)有一組數(shù)/出國，使+&q+扁%=0.........................................<2分）

亦即Akt=0.即kt是Ax-0的笫?...........................（4分）

扁,A>

注意到4x0只有零解，因為人的秩等于3H未知量的個數(shù).

故人?心?扁?0.從而5，5，,線性無關(guān)........................（6分）

毓★后馳

I-1Y

22解周氏方程化為22X?U1……3分

2011年1。月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命遇考試-10

線性懶（經(jīng)管類）試題答案及部豺\IT丫1J(114、n4

A'-O220I42I-3017分

'-222卜-2

1-10,「2-2；

（照代碼04184）?

-6-If

小

一帆腳I體她共"橫,你Mh分,共2。分）一9分

IB2B1C4C）.BIJ

6A]D8D9.A10.D1-13』I1-1J-I'

1-32-60-2.-1Y人

二'殿事秋默I。愜,g憧2分，美20分）a常嗚嗎?,g）ST分

15-iio0010

*2Jb

H012（°00p-1]

（00；1

片2M向長?a,444線性相關(guān)，

B214.2

此RM融1豺3…-7分

1516-2

01馬必（或a,a）M）為菜一個空大無關(guān)俎…州

I],

24?⑴轉(zhuǎn)戰(zhàn)的藕廨力￡KMMMMUR，，7分

n；〃；mtlftB.0,.5,-5

4u折照仙1目|.60,方勵鐮-鼎…?以

19.220MY

1=-：時，M）H疝，方糊無知”4分

三計熊（本大缺6小品包慵/共54分）

[一-rtfl=i（X）=2<3>方腿有無另多解…5#

21能/刎⑶力職）-“八川

⑵當人I時，

加通h2d?“???4

(2-ijr100|r

7工?-1112-401-1；?1-7分

+必聞也片聞

54,000(0

4%%M-2|AWJi,6分[°)I)

漸舊工M14-l斛砂做xw…嶗

如蝌…帆?j卜LQ,

紇性股隹髏）酸告融W媚與象頁供紈）噓修傕皆拈朗赫及整觸勒頁供3頁）

25解（D8的特征值為6分

（2）固=〃的=3……9分

26解/（xj,x2.XjJ-x/-4?1%2-2xJ+12^xs-2xJ

=（耳一444+4§）-6尺+12與弓-2g2分

=Ui-2卬?一6（考一七與+g）+4,

=（占一2,尸_6（占.3戶+4年…5分

[$=*.2力+2為

令[外=馬?弓，則經(jīng)可逆線性變換4=h+為-”…8分

必=不〔4=r>

將二次型化為標準形爐-6*+44——9分

四、證明題（本386分）

27證因為/i=-/',",…2分

所以M4叫。（-『1"卜-⑷...5分

因此|力二0-6分

線性代數(shù)（跤管類）試題答案及評分參考第3頁（共3頁）

31-2-1

4-3-2-1

=160

22.解：由|A-同蒲0,因此可逆

且X=(A-5)-,(A2-￡)

=(A-￡)-'(A-SXX+jy)

=4+jff

"20f

=030

162

I

1253'

-210-1

23.解：設(shè)4=值,%?.,%]=3275

—1—2—5—3

■2—3—4—1■

對4進行行初等變換化為行最簡形矩陣

所以秩％,.烏04二取4尸2

易知%,%為%,4,%,生的一個最大無關(guān)組

且有=%+血。4=囚十%

12-2,

24.解：設(shè)方程系數(shù)矩陣4=2-14

31-1

:AX=Q有非零解

則H=o

120

而|A|=2-1義-1=5(4—1)

310

所以入=1

當入=1時，原方程可變?yōu)?/p>

fx,+2X2=2xy

I匕=均

'0、

通解為X=*1(%0)

25.解：設(shè)4的屬于4=-1的特征向量。=(覆，X],x0r,

由于4為實對稱，則a與X的屬于劣=4=1的特征向量正交,

則卜i+.一巧?°

(2x)+2x2+x3=0

解方程得

，1、

a=k-1ANO

、o>

01f

26.解：/的矩陣4=10-1

由/=1-A-1=-01-1)2(4+2)得F：

1-1-4

得4--2占=&='=0

當4=&=1時，解方程組%,%+見，％+3%線性無關(guān)

基礎(chǔ)解系為G=（i,oW4?（i,i,o）r

其全部特征向意為?&々g,與不全為零）

211

對％=-謝，由12-I

1-12

解得6=（1,7,-1）,

正交規(guī)范化G，G，々得

44(1。1)"噎(7,-24/產(chǎn)表(1,71),

1

1T

73T

170276

萬

令P-2

=忑,Y^PX

—1

五-1

76萬

六犬+K-2*

四、證明題《本大題共I小愚，6分）

27.證：令用4+4（q+2a2）+&（。1+3%）=。

即（*,+&+&孫+2與q+3&=。

由6,.線性無關(guān)

kx+k2+片=0

得2Az=0

3羽=0

*,,4=&=A,=。

%,%+2.,%+3%線性無關(guān)

2011年4月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

（課程代碼04184）

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.D2,C3.C4.D5.A

6.A7.B8.D9.B10.C

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.212.0

13.(14,0)1風4-8

15.2E16.(4,-3,0)

空,（矗盍焉盍）18」（1,1,???,1兒（及為任意常數(shù)）

19.2420.a>4

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

41n171oo'

21.解(1)ATB=2-1°210

(021

X10iJ

2<100、’54r

=1-1。210=-1-10

、10JN21,、121,

541

(2)|ATB|=-1-10=-2

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案?第1頁（共3頁）

25.解由于.，5線性無關(guān)，令尸=（■,.）,則由P"AP=「j?得到

fl)

A=PP-1

I9j

26.解因為4與/i相似，所以存在可逆矩陣P,使

A=P'lAP

|A-E|=\P'XAP-E\

=|pT(/l-E)P|

=\A-E\

-20

==-2

01

四、證明題(本大題共6分)

27?證已知4T=A,-5,則

(1)(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T

=BTAT-4TBT

=-BA+AB

^AB-BA

所以AB-84為對稱矩陣

(2)(AB+BA)T=(A5)T+(BA)T

=BTAT+ATJBT

=-BA-AB

="(AB+BA)

所以AB+5A為反對稱矩陣

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題雷多第3頁（共3頁）

一國2024年1月自

考線性代數(shù)（經(jīng)管類）參考答案

kB2、A3、C4、B5sA6、C7、C8、B9、D1。、A

二、SSS

17s218、019、?120s-72<t<V2

三、計算題

a+b+ca+b+c?〃+b+c

2bb-a-c2b

2c2cc-a—b

111

=(a+b+c)2bb-a-c2b

2c2cc—a-b

1

=(a+6+c)0

0

W+b+c)3

22.解：對矩陣實行初等變換，得

1A-12

0-1-244+21

010-1-5-1

12-121000

0.1+24-A—2—1000-1

09-34030004-30

當X=3時，A的秩為2

當*3時，A的秩為3

131100

23.解：由于C41E)=261010

0又工

001001

100-532100-532

0-10-211—0102-1-1

001001][001001

.-532

所以/可逆，且＜“=2-1-1

00

故原矩陣方程變?yōu)椋?/p>

131T,卜14

X=26125

0。UL-3.

24.解：以所有向量為列向量形成4x4矩陣，然后對該矩陣施行初等行變換化為簡化行

階梯形矩陣

123-1'

,,、2512

4=（ctp色，a,04）=

3-1—6I—7

-2-51-3

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案第2頁（共4頁）

123-T

01-54

0-44-8

0-177

j013-51013-9

01一5401-54

—?

00-16800-21

902-10000

10-50~

0130

00-2!

0000

所以其一個極大線性無關(guān)組為：4

且々3=?5q+3a2?2久

25.解：利用行初等變換將該線性方程組的系數(shù)矩陣化為行簡化的階梯形矩陣

531

A=-42-4

-1-230

07-7-701-1

0-777000

士二巧一4

所以原方程組等價于其中Xj,4為自由未知地

三=X1+X4

得其一組基礎(chǔ)解系為:

原方程組的通解為：

T

o

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試蹶答案第3頁（共4頁）

2024年10月全國自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）參考答案

2010年10月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參考

（課程代碼04184）

一、單項選擇題（本大題共10小魔，每小題2分，共20分）

1.A2.D3.B4.C5.A

6.B7.D8.