2023年高考數(shù)學(xué)十年高考數(shù)學(xué)專題23立體幾何解答題

1.（2019?江蘇?第16題）如圖，在直三楂柱44。-48c中，七分別為8C,4c的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：⑴力固〃平面。EC1；（2）4￡_LGE.

2.（2022高考北京卷?第17題）如圖，在三棱柱4以7-4￡&中，側(cè)面8CC心為正方形，平面BCCg，

平面44片4，AB=BC=2,M,N分別為44，4C的中點(diǎn).

（1）求證：〃平面BCG4；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB工MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分.

3.（2016高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題）（本小題滿分12分）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓。的直徑,

EF是上底面圓。，的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.

⑴已知G,“分別為EC,FB的中點(diǎn),求證：GM〃平面A8C；

（ID已知EF=FB=L4C=2gAB=BC.求二面角尸一8。一月的余弦值.

2

題型二：證明垂直問題

1.（2020江蘇高考?第15題）在三棱柱中，ABA.AC,4CJ■平面48C,反￡分別是片。灣。

（1）求證：所||平面期G：

（2）求證：平面平面

2.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷-第15題）（本小題滿分14分）在平行六面體48co-44G.中，

AA}=AB,AByJL41G.

求證：（1）/8〃平面44。：

（2）平面力8用41平而48。.

（第15S）

3.（本小題滿分12分）如圖，在五面，本48C。片”中，點(diǎn)O是矩形Z4C。的對角線的交點(diǎn)，曲CD“是等

邊三角形，梭EF與、BC.

2

（I）證明EO〃平面CQE：

（II）設(shè)8C=&。，證明EO_L平面以/.

4.（2014高考數(shù)學(xué)江蘇?第16題）如圖，在三棱錐/>-月址？中，。，￡,F分別為棱尸的中點(diǎn).已

知4_L4C,PA=6,

8c=8,DF=5.

（1）求證：宜線產(chǎn)力〃平面/：

（2）求證：平面平面力8c.

⑶c世）

5.（2015高考數(shù)學(xué)江蘇文理?第16題）如圖，在直三棱柱月8C-48cl中，已知力C_L8C,BC=CC\,

設(shè)力用的中點(diǎn)為。，BCC\Bq=E.

求證：⑴。E〃平面力4G。；

（2）BCX1AB].

6.（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第15題）如圖，在三棱錐力-8c。中，ABLAD,8cd.8。，平面"/1_L

平面8C。，點(diǎn)E/（E與4。不重合）分別在棱/。，〃。上，且EFJ.4）.

求證：（1）所〃平面力8c；

（2）ADLAC.

7.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第16題）如圖，在直三棱柱48C-44G中，。，石分別為48,8。的中

點(diǎn)，點(diǎn)/在側(cè)棱上,且7，--J.4%

求證：（1）直線DE〃平面4￡6；（2）平面gQ￡_L平面4。,.

8.（2023年全國乙卷理科?第19題）如圖，在三棱錐產(chǎn)一月8C中，AB1BC,AB=2,BC=2叵'

PB=PC=?BP,AP,8c的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=#>DO，點(diǎn)F在AC上,BF1AO.

(1)證明：EF//平面ADO；

(2)證明：平面400，平面8EF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

題型三：求線線角

1.(2018年高考數(shù)學(xué)上海?第17題)(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底而圓心為O,半徑為2,

(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；

(2)設(shè)00=4,3、08是底面半徑，且N/lOB=90。，M為線段48的中點(diǎn)，如圖，求異面直線PW

與OB所成的角的大小.

2.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第18題)如圖，四邊形48C。為菱形，ZABC=120°,是平面

同一?側(cè)的兩點(diǎn)，8￡_L平面/14CD,平面48。。，BE=IDF,AEA.EC.

(1)證明：平面NEC_L平面*廣C；

(2)求直線4E與直線3所成角的余弦值.

3.（2016高考數(shù)學(xué)上海理科?第19題）（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題

滿分6分.

將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，力r長為;萬.4兄長

為其中4與c在平面的同側(cè).

（1）求三棱錐。-0/4的體積；

（2）求異面直線B￡與AA,所成的角的大小.

4.（2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第18題）（本小題滿分14分）

如圖2,三角形PDC所在的平面與長方形A8C。所在的平面垂直，PD二PC-4,AB=6,BC=3.點(diǎn)E

是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G分別在線段48,8c上，旦4F=2FB,CG=2GB.

（1）證明:PEUG：

（2）求二面角P—AD—C的正切值：

（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值.

題型四：求線面角

1.（2021年高考浙江卷?第19題）如圖，在四棱錐P-/I8CQ中，底面是平行四邊形,

ZJ5C=120°,/1fi=l,5C=4,P/i=V15?M,/V分別為8CJC的中點(diǎn)，PDJ.DCJM1MD.

(D證明：AB±PM：

(2)求直線4V與平面PDA/所成角的正弦值.

2.(2020年高考課標(biāo)H卷理科?第20題)如圖，已知三棱柱A8C-4&G的底面是正三角形，側(cè)面8&GC是

矩形，M,N分別為BC,81G的中點(diǎn)，P為4M上一點(diǎn)，過81cl和P的平面交48于￡,交4c于F.

(1)證明：AAt//MN,且平面4AUN_LE8iCiF：

(2)設(shè)。為△48iCi的中心，若4?！ㄆ矫鍱8￡F,l-LAO=AB,求直線瓦￡與平面八/MN所成角的止弦

值.

3.(2020北京高考?第16題)如圖,在正方體力88-4與G刀中,3為的中點(diǎn).

(I)求證：8C"/平面NQE；

(II)求直線AA.與平而力〃￡1所成角的正弦值.

4.(2019?浙江?第19題)如圖，已知三棱柱力8。-44G,平面44，平面/18C,ZJ5C=90°,

/41C=30。，

AiA=A,C=AC,E,/分別是力C,4片的中點(diǎn).

(I)證明：EFLBC；

(II)求直線EF與平面48c所成角的余弦值.

5.(2019?天津?理?第17題)如圖，AEL平面ABCD,CF//AE,ADHBC,

AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(I)求證：〃平面,4DE；

(II)求直線"與平面BDE所成角的正弦值：

(III)若二面角E-BD-F的余弦值為1,求線段CF的長.

3

6.(2023年全國甲卷理科?第18題)如圖，在三棱柱中，4C_L底面A8C,

/力。8=90。,44=2,4到平面8CG4的距離為1.

⑴證明：Afi=AC-

（2）已知AA｝與BBi的距離為2,求力用與平面BCC^所成角的正弦值.

7.（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)（海南）?第20題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PO_L底面A8CD.設(shè)

平面必。與平面PBC的交線為/.

（1）證明：/_L平而PDC：

（2）已知PD=AD=1,Q為/上的點(diǎn)，Q8=J5，求P8與平面QCD所成角的正弦值.

8.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第19題）如圖，三棱臺。EF—48c中，面力。憶_1面48。,/4cB=NACD=45°,

⑴證明：EF工DB；

（II）求DF與面D8c所成角的正弦值.

9.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）在四極錐P-/18C。中，PQ_L底面

ABCD.CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,0尸=W.

（D證明：BDLPA：

⑵求P。與平面PAB所成的角的正弦值.

10.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第19題）如圖，己知川?C。和。0￡戶都是直角梯形，ABHDC,

DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=Z.CDE=69°,二面角尸-OC-8的平面角為

60°.設(shè)M,N分別為力瓦8c的中點(diǎn).

（1）證明：FN1AD；

（2）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

11.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）如圖，四面體力中,

AD1CD,AD=CD,ZADB=ABDC,E為NC的中點(diǎn).

（1）證明：平面8瓦）_L平面力CT）；

⑵設(shè)4B=BD=2,NACB=60。，點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△/尸。的面積最小時(shí)，求CE與平面48。所成

的角的正弦值.

12.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第25題）（本小題滿分10分）如圖，在正三棱柱48C-481G中，AB=AAt=2,

點(diǎn)P，Q分別為481，8C的中點(diǎn).

（1）求異面直線BP與AG所成角的余弦值；

（2）求宜線CCi與平面A。。所成角的正弦值.

（第22題）

13.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第19題）（本題滿分15分）如圖，已知多面體力4C4￡G，44B1B，GC均

垂直于平面力4C,

ZJ5C=120°,4力=4,C,C=1,AB=BC=B、B=2.

（1）證明：力4，平面44G；

⑵求直線AC｝與平面ABB,所成角的正弦值.

B

14.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理）?第18題）（12分）如圖，四邊形49C。為正方形，旦方分別為4。,8c

的中點(diǎn)，以DF為折痕把AOC/折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFLBF.

（1）證明：平面PEF1平面ABFD:

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

15.（2014高考數(shù)學(xué)陜西理科-第19題）四面體48CO及其三視圖如圖所示，過被力4的中點(diǎn)E作平行于

AD,8c的平面分別交四面體的棱8。，DC,CA于點(diǎn)、F,G,H.

⑴證明：四邊形七/G”是矩形；⑵求直線初與平血EFG”夾角，的正弦值.

16.（2014高考數(shù)學(xué)福建理科-第17題）（本小題滿分12分）

在平行四邊形48CQ中，AB=BD=CD=1,ABLBD,CDA.BD.

將沿BZ）折起，使得平面平而BCD,如圖：

（1）求證：ABA.CD；

（2）若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面所成角的正弦值.

17.（2014高考數(shù)學(xué)北京理科?第17題）如圖，正方形AMDE的邊長為2,8.C分別為AM、MD的中點(diǎn)，在

五棱錐P78CDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面八8F與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G、H

(1)求證：AB//FG；

⑵若PA_L平面48CDE,且PAyE,求直線8c與平面ABF所成角內(nèi)大小，并求線段PH的長.

18.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第19題）（本題滿分12分）如圖，長方體48cz與G。中，月8=16,

BC=W,441=8,點(diǎn)E,廠分別在力￡,CR上,4E=RF=4.過點(diǎn)E,尸的平面a與此長

方體的面相交，交線圍成一個正方形.

（【）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）:

（II）求直線AF與平面a所成角的正弦值.

19.（2015高考數(shù)學(xué)上海理科?第19題）（本題滿分12分）如圖，在長方體48CO-中，44=1,

AB=AD=2,E、/分別是棱/3、8。的中點(diǎn)，證明《、J、F、￡四點(diǎn)共面，并求直線與平

面4C/E所成角的大小.

20.（2017年高考數(shù)學(xué)浙江文理科-第19題）如圖，已知四極錐，△尸4。是以4。為斜邊的等腰

直角三角

形，BC//AD,CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,七為PO的中點(diǎn).

（I）證明：CE〃平面P44；

（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

21.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)in卷理科?笫19題)如圖，四棱錐P-ABC中，尸力J.地面ABCD,AD//

BC,AB=AD=AC=3,4=6C=4,M為線段40上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

(I)證明MN〃平面夕4A;

(II)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

22.(2016高考數(shù)學(xué)天津理科?第17題)如圖，正方形48CO的中心為。，四邊形03所為矩形，平面

OBEFL平面力BCD,點(diǎn)G為4B的中點(diǎn),AB=BE=2.

(I)求證：EG〃平面4DF；

(II)求二面角O-EF-C的正弦值；

2

(川)設(shè)〃為線段力尸上的點(diǎn)，且/〃=—〃/，求直線3〃和平而戶所成角的正弦值.

3

/)

23.(2016高考數(shù)學(xué)四川理科?第18題)如圖，在四棱錐尸一48CQ中，AD//BC,ZADC=APAB=90°,

BC=CD=-AD,E為棱4。的中點(diǎn)，異面直線力與Q)所成的角為90。

2

(1)在平面48內(nèi)找一點(diǎn)“，使得直線CM〃平面P8E,并說明理由：

(2)若二面角尸-CQ-力的大小為45。,求直線21與尸C￡所成的角正弦值.

24.(2017年高考數(shù)學(xué)北京理科?第16題)如圖，在四棱錐夕-43CO中,底面ABCD為正方形,平面PAD1

平面力BCD,點(diǎn)M在線段PB上，PD〃平面M4C,P4=PD=6,48=4.

(1)求證：例為。8的中點(diǎn)；

(II)求二而角B-PO-4的大??；

(HI)求直線"C與平面BDP所成角的正弦值.

1.(2020天津高考?第”題)如圖，在三棱柱—中，CG1平面/4C,/C_L3C,/1C=3C=2,

C￡=3,點(diǎn)。，E分別在棱彳4和棱CC；上，且力。=1。E=2,M為棱4片的中點(diǎn).

Cl

Al

(I)求證：C,A/1B.D；

(H)求二面角8-8￡-。的正弦值；

(III)求直線AB與平面DB、E所成角的正弦值.

2.(2020江蘇高考?第24題)在三棱錐4—8CO中，已知C8=CD=GBD=2,。為3。的中點(diǎn)，AOL

平面8CQ,40=2,E為4。的中點(diǎn).

(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；

(2)若點(diǎn)廠在8c上，滿足8尸=J8C,設(shè)二面角尸-QE-C的大小為〃，求sin。的值.

3.(2021年新高考全國II卷?第19題)在四棱錐。-中，底面"CO是正方形，若

AD=2,QD=QA=yf5,QC=3.

(D證明；平面平面“8CD；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

4.(2021年高考全國乙卷理科?第18題)如圖，四棱錐的底面是矩形，PDJJ氐面力BCD,

PD=DC=\,M為4c的中點(diǎn)，且

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

5.(2020年高考課標(biāo)【卷理科?第18題)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，4E為底面直徑,

AE=AD."8C是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，PO=^-DO.

(1)證明：21d.平面尸BC；

(2)求二面角B—PC—E的余弦值.

6.(2020年高考課標(biāo)川卷理科?第19尊)如圖，在長方體中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別在棱。烏,84

上，且2DE=ER,BF=2FB\.

(1)證明：點(diǎn)G在平面/IEb內(nèi);

(2)若48=2，40=1，=3,求二面角力-E廠一4的正弦值.

7.(2019?全國川?理?第19題)圖1是由矩形AD￡8,RQA8C和菱形8FGC組成的一個平面圖形，其中

48=1,BE-BF-2,NFBC=60。，將其沿48,8c折起使得8E與8F重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的4C,G,。四點(diǎn)共面，且平面48C_L平面8C6E；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

8.(2019?全國II?理?第17題)如圖，長方體48C。-44GA的底面力8c。是正方形，點(diǎn)E在極44

上，BE±ECX.

(1)證明：8E_L平面￡?】￡：

=4,4B=2,NB4Q=60°,E,M,N分別是BC,，4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二而角A-MA.-N的正弦值.

10.(2023年北京卷?第16題)如圖，在三楂錐尸一,46。中，2f_L平面,44C,

PA=AB=BC=1,PC=6

B

(1)求證；4。/平面小8；

(2)求二面角A-PC-B的大小.

11.(2023年新課標(biāo)全國H卷?第20題)如圖，三極錐力中，DA=DB=DC,BD工CD,

AADB="DC=60、E為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BC上DA；

(2)點(diǎn)F滿足喬=耳，求二面角?！?8—/的正弦值.

12.12022新高考全國II卷?第20題)如圖，PO是三棱錐尸一處?。的高，PA=PB,ABtAC,E是PB

的中點(diǎn).

(1)證明：OE〃平面P4C：

(2)若480=/C8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角。一力￡一8的正弦值.

13.(2022新高考全國I卷?第19題)如圖，直三棱柱力AC—44G的體積為4,△4〃。的面積為2&.

(1)求a到平面44c的距離；

(2)設(shè)。為4。的中點(diǎn)，AA.=AB,平面48cl平面求二面角力一8O—C的正弦值.

14.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷(理)?第20題)(12分)

如圖，在三棱錐。一月8C中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=4,。為4C的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面力8C：

(2)若點(diǎn)M在棱4c上，且二面角M-P/i-C為30。，求尸。與平面P4W所成角的正弦值.

15.(2014高考數(shù)學(xué)重慶理科?第19題)如圖(19),四棱錐P-ABCD,底面是以。為中心的菱形，P01

底面ABCD,

AB=2,ZBAD=-,M為BC上一點(diǎn)，且BM=,，MP1AP.

32

(1)求PO的長：

(2)求二面角A-PM-C的正弦值。

p

16.(2014高考數(shù)學(xué)浙江理科?第20題)如圖，在四棱錐/—8CQE中，平面48C_L平面

BCDE/CDE=NBED=90°,=CD=2,DE=BE=\,AC=42.

(1)證明：平面力CO;

(2)求二面角8-4?！狤的大小

17.(2014高考數(shù)學(xué)四川理科?第18題)三棱銖/-8C'O及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)分別為

線段4D/出的中點(diǎn)，P為線段8c上的點(diǎn)，AMNLNP.

(I)證明：P是線段8c的中點(diǎn)：

(II)求二面角A-NP-M的余弦值.

18.(2014高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題)如圖，在四棱柱18CO-44G。中，底面是等腰梯形,

ZDAB=60a,48=2。。=2,M是線段48的中點(diǎn).

(I)求證：〃平面

(II)若CD、垂直于平面ABCD且CD、=6求平面G%W和平面48CQ所成的角(銳角)的余弦值.

19.(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科?第19題)(本小題滿分12分)

如圖，和A5CO所在平面互相垂直，且4B=BC=BD=2,N/8C==120°,E、F

分別為AC、DC的中點(diǎn).

(1)求證：EF工BC；

(2)求二面角E-8尸一C的正弦值.

20.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科?第19題)如圖三棱柱力BC-44G口，側(cè)面88CC為菱形，收4c.

(1)證明：4C=/4;

(2)若4。_1,力耳，NCBBi=60°,AB=BC,求二面角力一的余弦值?

21.(2014高考數(shù)學(xué)湖南理科?第19題)如圖，四棱柱ABCD-AB￡DI的所有棱長都相等，ACC\BD=O

4G08Q=。四邊形ACC}.41和四邊形片均為矩形.

(I)證明：底面49CO;

(H)若NC3月=60>,求二面角C|一04一。的余弦值.

22.(2014高考數(shù)學(xué)廣東理科?第18題》如圖4,四邊形4BCD為正方形,尸。_L平面ABCD,NDPC=30°,

4F工PC于點(diǎn)F,FE//CD,交尸。于點(diǎn)

(1)證明：W_L平面/。/；

(2)求二面角D-AF-E的余弦道.

23.(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科?第19題)如圖，三棱柱4BC-481G中，點(diǎn)4在平面48。內(nèi)的射影。在

AC±,乙4c8=9(f,BC=\.AC=CC.=2.

I

(1)證明：AC}±A}B；

(2)設(shè)直線44與平面BCqB1的距離為JL求二面角A.-AB-C的大小.

A'

24.(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科?第19題)(本小題滿分13分，(1)小問4要，(2)小問9分)

如圖，三棱錐Q—45C中，。。_1平面力8。,2。=3,//。？=巳.。,后分別為線段/民4c上的點(diǎn),

(1)證明：DE上平面PCD;

（2）求二面角力一戶。一C的余弦值.

25.（2015高考數(shù)學(xué)浙江理科?第17題）（本題滿分15分）如圖，在三極柱48C—44G-中，ZBJC=90\

AB=AC=2,4力=4,4在底面48C的射影為8C的中點(diǎn)，。為用6的中點(diǎn).

（1）證明：％。_1平面48。：

（2）求二面角4一8。—4的平面角的余弦值.

26.（2015高考數(shù)學(xué)四川理科-第18題）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,

在正方體中，設(shè)8。的中點(diǎn)為M,G”的中點(diǎn)為N.

（1）請符字母￡G,〃標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）

（2）證明：直線A/N//平面6?！?/p>

（3）求二面角4一EG-用的余弦值.

27.（2015高考數(shù)學(xué)陜西理科?第18題）（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，AD//BC,

ZBAD=-,AB=BC=\,AD=2,石是4。的中點(diǎn)，。是力C與8f的交點(diǎn).將A48E沿8￡折

2

起到A4/8E的位置，如圖2.

(I)證明：8，平而4。。；

(II)若平面A.BE1平面BCDE,求平面48c與平面4co夾角的余弦值.

28.(2015高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題)如圖，在三棱臺。斯一48C中，4B=2DE,G,H分別為AC,BC

的中點(diǎn).

(I)求證：BD"平面FGH；

(II)若CFJ?平面AB工BC,CF=DE,N44C=45'，求平面PH與平面/CFQ所

成的角(銳角)的大小.

29.(2015高考數(shù)學(xué)福建理科?第17題)如圖，在幾何體48CDE中，囚邊形48CD是矩形，A8_L平而8EC,

B￡1￡C,ABBE=EC^2,G,F分題是線段8￡,DC的中點(diǎn).

(I)求證：G/〃平面：

(11)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

30.(2015高考數(shù)學(xué)北京理科?第”題)(本小題14分)如圖，在四棱錐力-￡尸。8中，AAEF為等邊三角

形，平面/￡尸_1,平面斯C8,EF//BC,8c=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60°,。為￡”的中點(diǎn).

(I)求證：AOLBEx

(II)求二面角F-AE-B的余弦值;

(W)若砥,平面小乂；，求。的值.

31.(2015高考數(shù)學(xué)安徽理科?第19題)(本小題滿分13分)如圖所示，在多面體48QQC84,四邊形

AAfi.B,均為正方形，E為片。的中點(diǎn)，過4,O,E的平面交于F.

(I)證明：EF//B.C；

(11)求二面角七一4。一打的余弦值.

32.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科-第18題)如圖，在四棱錐。一力8co中，AB//CD，且

NBAP=NCDP=90"

(1)證明:平面PAB1平面P/。；

Q)若P4=PD=4R=DC,NAPD-90°，求二面角力一PA—C的余弦值.

33.(2017年高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題)如圖，幾何體是圓柱的--部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以

AB邊所在宜線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是方的中點(diǎn).

(I)設(shè)P是近上的一點(diǎn)，且為P18E,求NCBP的大?。?/p>

(H)當(dāng)力8=3,力。=2,求二面角E—/G—C的大小.

34.（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文埋科?弟25題）如圖，在平行六面體ABCD-ABGDi中“4」平面48CD,且

AB=AD=2,AAi=,/.BAD=120°.

（1）求異面直線48與4G所成角的余弦值;

（2）求二面角B-A.D-A的正弦值.

35.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第179（本題滿分15分）如圖，在三棱臺/13C-。￡尸中，平面3CFEJ.平

面48。，/4。8=90°,BE=EF=FC=l,BC=2,AC=3.

（I）求證：8F_L平面/CFZ）；

（II）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

（第17題圖）

35.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第19題）（本小題滿分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)。，

48=5,4C=6,點(diǎn)E,產(chǎn)分別在上，4E=CF=3,EF交BD于點(diǎn)、H.將ME尸沿E尸

折到AO'E廠的位置，0。'=麗.

⑴證明：D'H上平面/BCD；

（II）求二面角B—D'A—C的正弦值.

ir

37.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科-第18題）（本題滿分為12分）如圖，在以瓦E為頂點(diǎn)的五面

體中，面力BEF為正方形,AF=2FD,NAFD=9G,且二面角D-4F-E與二面角C一BE-尸

都是60°.

⑴證明平面力臺上/J."DC；

（II）求二而角E-BC-A的余弦值.

A

題型六：求幾何題的表面積和體積

1.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第17題）現(xiàn)需要設(shè)“?一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正

四棱錐尸-44GA，下部分的形狀是正四棱柱44GA（如圖所示），并要求正四棱柱的高

op是正四棱錐的高PO1的4倍.

（1）若=PO,=2m,則倉庫的容積是多少；

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,當(dāng)尸O1為多少時(shí)，倉庫的容枳最大？

2.（2014高考數(shù)學(xué)上海理科?第19題）底面邊長為2的正三棱錐尸-18。，其表面展開圖是三角形＜68,

如圖.求的各邊長及此-：棱錐的體積P.

3.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科?第18題）（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底而ABCD為矩形，PA_L平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

（I）證明；PB〃平面AEC：

（II）設(shè)二面角D-AE-C為60"，AP=1,AD=y/3,求三棱錐E-ACD的體積.

B

4.（2014高考數(shù)學(xué)安徽理科?第20題）如圖，四棱柱力冏加烏中，力/J,底面48CO.四邊形

4BCD為梯形,AD//BC,且/Q=28C.過4,C,O三點(diǎn)的平面記為a,84與。的交點(diǎn)為0.

(I)證明：。為BB］的中點(diǎn):

(II)求此四棱柱被平面。所分成上下兩部分的體積之比；

(III)若44=4,CZ)=2,梯形48。。的面積為6,求平面a與底面49CQ所成二面角的大小.

5.(2015高考數(shù)學(xué)湖南理科?第21題)如圖，己知四楂臺力8C?！?4GA上、下底面分別是邊長為3

和6的正方形，AA.=6,且44,底面48CD,點(diǎn)P,。分別在校O",BC上.

(1)若P是。。的中點(diǎn)，證明：世上PQ；

3

⑵若PQ//平面4BB4,二面角。一。/3-4的余弦值為求四面體力。尸。的體積.

題型七：求距離的問題

1.(2019?上海?第17題)如圖，在長方體力SCO—44GA中，M為BBi上一點(diǎn)、,已知8A/=2,40=4,

CD=3,AAX=5.

(1)求直線4c與平面力68的大角；

(2)求點(diǎn)/到平面4MC的距離.

2.(2023年天津卷?第17題)三棱臺ABC-A/G中，若4/_L面

ABC.AB1AC,AB=AC=AA,=2,J,C,=1,M,N分別是中點(diǎn).

Q)求證：4N〃平面GM/；

(2)求平面G"4與平面4CG4所成夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)C到平面C'MA的距離.

題型八：根據(jù)條件確定點(diǎn)的位置

1.(2021高考北京?第17題)如圖：在正方體力BCD—44GR中，E為4。中點(diǎn)，4。與平面交

于點(diǎn)產(chǎn).

(1)求證：〃為4G的中點(diǎn)；

(2)點(diǎn)〃是棱44上一點(diǎn)，且二面角M—R7—E的余弦值為苴，求黨的值.

3'圈

2.(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科?第19；題)如圖，在棱長為2的正方體力8CD-44G。中，E、F、M、N

分別是棱力6、AD、同為、

4A的中點(diǎn)，點(diǎn)尸、。分別在棱B及上移動，且。尸=32=2(0<a<2).

(I)當(dāng)4=1時(shí)，證明：直線3G〃平面￡7?0；

(II)是否存在2，使平面EFPQ與而PQMN所成的二面角為直二面角？

若存在，求出力的值；若不存在，說明理由.

3.(2021年高考全國甲卷理科?第19題)已知直三棱柱中，側(cè)面441乃為正方形,

AB=BC=2,E,F分別為IC和CG的中點(diǎn)，D為棱44上的點(diǎn).BF1

(1)證明：BF1.DE；

(2)當(dāng)4。為何值時(shí)，面BBCC與面DFE所成的二面角的正弦值最小？

4.(2021年新高考I卷?第20題)如圖，在三棱錐N-BCO中，平面平面8CQ,AB=AD,O為BD

的中點(diǎn).

(1)證明：O/1CQ：

(2)若△OCO是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)￡在棱力。上，,且二間角￡-8C-。的大小為45°,

求三棱錐力-8CQ的體枳.

5.(2016高考數(shù)學(xué)北京理科?第17題)(本小題14分)如圖，在四棱錐尸中，平面E4OJ_平面

ABCD,PA1PDtPA=PD,AB1AD,AB=\,AD=2,AC=CD=E

⑴求證：PO_L平面P48；

(II)求直線PB與平面PCO所成角的正弦值；

(III)在棱口上是否存在點(diǎn)使得8W//平面PCO?若存在，求W竺的值：若不存在，說明理由.

AP

6.(2023年新課標(biāo)全國I卷?第18題)如圖，在正四棱柱瑪GA中，*8=2,44=4.點(diǎn)

4，%。2,3分別在棱力4,88”CG，上，AA,=\,BB2=DD2=2,CC2=3.

D2

(1)證明：B2C2//A2D2；

(2)點(diǎn)尸在梭8片上，當(dāng)二面角尸—4G—3為150。時(shí)，求82P.

7.(2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)?第17題)(本小題滿分13分)如圖，AD//BC且AD=2BC,ADLCD,

EG〃ADREG=AD,CD//FG,且CQ=2M7,OGJ■平面48CO,DA=DC=DG=2.

⑴若M為CE的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證："N〃平面COE；

(2)求二面角E-BC-F的正弦道：

(3)若點(diǎn)P在線段OG上，且直線8P與平面4OGE所成的角為60。，求線段。尸的長.

A

8.(2014高考數(shù)學(xué)天津理科-第17題)如圖，在四棱錐P-ABCD中,PA1底面

ABCD,ADLAB,AB//DC,力。=OC=4P=2,//=1,點(diǎn)￡為棱/C的中點(diǎn).

(I)證明：BE1DC；

(II)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(III)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BF1AC,求二面角F-AB-P的余弦值.

9.(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科?第19題)(本小題滿分12分)《九章算術(shù)》中，將底而為長方形且有一條例梭

與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉隔.

如圖，在陽馬尸-4BCO中，側(cè)棱尸。，底而力8C。，且尸O=CO,過棱PC的中點(diǎn)￡,作EF工P8交

PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

(I)證明：尸4J.平面0M.試判斷四面體D4E尸是否為鱉膈，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出

結(jié)論)；若不是，說明理由；

(H)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為4,求生的值.

3BC

10.(2017年高考數(shù)學(xué)天津理科?第0題)如圖，在三棱錐產(chǎn)一48。中，刃底面NBC,NB4c=90°.點(diǎn)

D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),“是線段力。的中點(diǎn)，PA=AC=4tAB=2.

(1)求證：MN〃平面8OE；

(2)求二面角C-EM-N的正弦值；

(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為唱，求線段AH的長.