2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 備用題 第10單元 立體幾何

第十單元立體幾何

10.1空間幾何體的直觀圖、三視圖及其應(yīng)用

1.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是—

⑴一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面.⑵平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形.

⑶有一個(gè)面是平行四邊形的棱柱一定是四棱柱.⑷正極錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：D

解析:⑴三棱柱的面最少，有5個(gè)面，故（1）正確.⑵平行六面體的六個(gè)面都是平行四

邊形，且相對(duì)的面兩兩是全等的，故（2）正確.⑶棱錐的側(cè)面都是三角形，有一個(gè)

面為平行四邊形，這個(gè)而一定是底面，即為四棱錐，故（3）正確.⑷正極錐的底面

是正多邊形，惻校長(zhǎng)都相等，故側(cè)面都是全等的等腰三角形，所以（4）正確.

2.一個(gè)四核錐的三視圖如圖所不，一只螞蟻從該四棱錐底面上的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)四梭?錐的

側(cè)面爬到與其不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)（同-條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)稱為相鄰頂點(diǎn)），則這只螞蟻

經(jīng)過(guò)的最短路程為（）.

h--2--IIKT

正（主）視圖他（左）視圖

帽視圖

V2心/+W73+V?

答案：B

解析：四棱錐P-ABCD如圖吁示,PDJ_平面ABCD,BD_LDC,底面為平行四

邊形，且PD=DC=1,AD=PC=Y,PA=.

①沿著側(cè)面從A到C,若沿著側(cè)面PAD與側(cè)面PDC展成平面圖形，則最短的

路程為1+6，若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PBC展成平面圖形，＜■

口

y3+優(yōu)

則由余弦定理得最短路程為：

②沿著側(cè)面從B到D,若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PAD展成平面圖形，得最短路

程為W.若沿著側(cè)面PBC與側(cè)面PCD展成平面圖形，則最短路程為一廠.

綜上，最短路程為第.故選B.

3.已知△ABC的平面直觀圖△A，B，C是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原^ABC的面積為（）

口岸0

A.2B.4C.2

答案：C

=空—Sr

解析:直觀圖的面積S'=T1一下，設(shè)原圖面積為S,則由S'=T,得S'=

取、展字故選c.

4.如圖足利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABO的直觀圖，已知ABO的面積為16,過(guò)N

作ACJ_x，軸，則AC的長(zhǎng)為（）

A.2戊B艱C16a.D.1

答案：A

解析：?.,AB獷軸.,.在^ABO的中，AB±OB,5LVAABO的面積為16

AB?OB=i6，?.?OB=O'B'=4,AAB=8，.?.AE=4.如圖，作AC_LOE于C

V2

?.?<A'B'C'=45。,JAC的長(zhǎng)為:4sin45*2▼.故選A

5.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為4的正方形，兩條虛線互相垂直,

ifWH

則該幾何體的體積是（）

17<16012

A尸VC產(chǎn)

D.D.32

?M0

答案:B

解析：根據(jù)三視圖可得幾何體為正方體中挖去一個(gè)倒置的四棱錐O-AIBCQI.

116C

-K4K4乂7

如圖所示，故其體積為：4?-3=3.^B.

6.一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、左視圖和視

圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，貝J挖去多面體的體積為（）

A.8B.2C.4D3

兇

答案:D

解析:將三視圖還原可得下圖，挖去多面體為正四棱錐,其體積為V=

故選D.

7.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)

A

K-2—H

ATBVC"D,2*3

答案:B

解析：由三視圖知:該幾何體是一個(gè)底而邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，高為2的三棱錐，如圖所示:

ABNBI/C作故選B

???該幾何體的體積為V=/SA

8.（2021?北京）某四曲體的三視圖如圖所不，該四曲體的表面枳為（）

正（主）視圖倒（左）視圖

俯視圖

A.3+立B.3+73C.-+\5D.3+—

2222

【答案】A

【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-AAC,其側(cè)而為等腰直角三角形,

底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,故其表面積為

+

3x—xlxl+^-xfV?）-=^,故選A.

24''2

9.如圖所示的陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為（）

A.一個(gè)球體B.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱

C.一個(gè)圓柱D.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)棱柱

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)球的定義，可得圓面旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)球，根據(jù)圓柱的概念，可得里面的

長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，所以繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個(gè)球中間挖去一個(gè)圓

柱，故選B.

10.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長(zhǎng)方形ABCO為底

面，則四邊形EFGH的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【解析】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)：各對(duì)面平行，易知HGUEF,EHUFG,EFGH為平行g(shù)

邊形.

故選B.

10.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，Q'是中B'C邊的中點(diǎn)，且A77平行

于y'軸，那么AZ',A'r>',4'C'三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段4所從。,4。中（）

A.最長(zhǎng)的是48,最短的是ACB.最長(zhǎng)的是AC,最短的是A8

C.最長(zhǎng)的是A3,最短的是AOD.最長(zhǎng)的是A。，最短的是AC

【答案】C

【解析】由題中的直觀圖可知，A'。'"/軸，8'。'//"軸，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知,

在原圖形中AD〃y軸，8C〃x軸.

又因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以△ABC為等腰三角形,且AD為底邊8C上的高，則有AB=AOAD

成立.故選C.

11.如圖，一個(gè)水平放置的圖形的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形OA3,斜邊長(zhǎng)03=1,那

么原平面圖形的面積是（）

y

A

A）R0n1

A.2B.C?D.

242

【答案】B

【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原圖形為如圖所示△O4'8',因?yàn)椤鱋AB是等腰直角三角形,

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得為直角三角形，；OB=1,:.OB'=OB=l,

QA=204=JL所以原平面圖形的面積是Ix夜二1.故選B.

22

12.（2021?安徽合肥質(zhì)檢）如圖.網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)四棱

錐的二視圖，則該四棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

z正觀K圖側(cè)視圖N

―丁圖

A.4拉B.4右C.8D.8五

【答案】：B

【薛析】：根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖為:

該幾何體為四棱錐

體A-BCDE.如圖所示：所以，BC=4=DE=AE所以

CD=AD=AC=BE=>]42+4i=4x/2,BE=?46)2+4?=4、回故選R

13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為

答案:32幾

解析：根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖如下圖所示:由三視圖可知，該

幾何體為三棱錐Ai-ABC,且AA】_L底面ABC,由三視圖中的數(shù)據(jù)可

何^32+3=2V3V3+I2=□「1二AC

得AB=,BC=2,JaACM.AB-+BC~=AC~,

則ABJ_BC,將三棱錐ArABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-A|BQD】,??三棱錐

Ai-ABC的外接球直徑為2R=^12+4+16=4^...R=2便因此，該幾何體的外接球的表面

積為S=4兀葭=32兀.故答案為：32兀.

14.已知某圓錐被一過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若

該圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在球0的球面上，則球0的表面積為.

答案:

解析：該幾何體如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知，底面圓弧所在圓的半徑為0出=2,

且AO|=1,PA=B.二POi=BF=2?,設(shè)球O的半為R.

由球的性質(zhì)可知，R2=Q*R)2+22.解之，得R，3故球O的表面積為S=4nR2=41rx

故答案為1.

15.如圖，四邊形A8C。是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，AB//CD,AD1CD,

且3C與軸平行，若48=6,8=4,3C=2五，則原平面圖形的實(shí)際面積是.

【答案】20拒

【解析】由斜二測(cè)直觀圖的作圖規(guī)則知，原平面圖形是直角梯形，且A8,CO的長(zhǎng)度不變,

仍為6和4,高8。=4及，故所求面積S=gx(4+6)x4忘=20夜.故答案為：20夜

16.已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，則這個(gè)正四面體的主視

圖的面積為cm2.

【答案】

【解析】根據(jù)題息，止四面體的校長(zhǎng)可取為2夜cm，且該止四面體的主視圖是?個(gè)底邊長(zhǎng)

為。=20cm，腰長(zhǎng)為向加的等腰三角形.所以主視圖的高為

力=6)--(及)=2(7〃

從而可得主視圖的面積為S=La〃=Lx2&x2=2點(diǎn)cm?.故答案為：2夜.

22

10.2空間幾何體的表面積與體積

1.下列說(shuō)法中正確的是().

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.正方體和長(zhǎng)方體都是恃殊的四棱柱

C.所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形

D.棱柱的各條棱都相等

答案B

解析棱柱的側(cè)面都是四邊形,A不正確；

正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱,B正確；

不是所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形，球不能展開(kāi)成平面圖形,C不正確；

棱柱的各條棱并不是都相等他棱柱的側(cè)棱都相等.D不正確：

故選B.

2.某幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐組合而成，該幾何體的三視圖如圖所示，若三棱錐的

體積為匕，四棱錐的體積為匕，則耳：匕=()

220^

正視圖側(cè)視圖俯視國(guó)

A.1:4B.1:3C.2:5D.3:4

【答案】A

【解析】由三視圖可知,該組合體的直觀圖如下；則

1141“吟，所以

V=-x-x2x2x2=-,V：=-x2x2>

1323'3

416

V,：V,=-：y=l：4.故選A.

3.已知：△ABC是面積為竿的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球o的球面上.若球O的表面積為

16乃，則O到平面ABC的距離為（)

A.V3B.5C.lD.苧

答案C

解析設(shè)球。的半徑為改.則41^7=16]!，解之，得超=2.設(shè)△4BC外接圓

半徑為n邊長(zhǎng)為。：公川配是面積為竿的等邊三角形，二#x苧=苧里逡

解之，得°=3.二丁="以上=人二球心。到平面曲的距離

3443、4

d=V第一e=V4-3=1.故選C.

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐，方錐的

底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上，若方錐的體積為18,則半球的說(shuō)法

正確的是（）

A.半徑是3B.體積為煙!

C.表面積為27兄D.表面積為18H

答案：ABC

解析：如圖，△次是正四棱錐的對(duì)角面，設(shè)球半徑為了，4￡是半圓的直

徑，則正四棱錐底面邊長(zhǎng)為缶，棱錐體積為/\

40c

2

y=lx（Va-）xr=p=18,r=3,半球體積為

V=^HF3=?-!rx3a=18JI>表面積為S=2JFX3,+>TX3?=27H，故選：ABC.

4.（2021.四川成都三診）某幾何體的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)珞紙上的小正方形邊長(zhǎng)為1.

則該幾何體的表面積為（）

A(20+8偽房B.(20+4揚(yáng)乃

r（24+8淄）乃n（24+4&）1

【答案】B

【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為組合體，上半部分為圓錐，下半部分

為圓柱，圓錐的底面半徑為2,高為2,圓柱的底面半徑為2,高為4.則該幾何體的表面積

為.5=^X22+2^X2X4+^,X2X2垃=（20+4&）乃故選g

5.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為1,顯方,則此三棱錐的外接球的表面

積為（）

A.6RB.12nC.18HD.

答案A

解析由題意，得三棱錐的外接球即為長(zhǎng)寬高分別為L(zhǎng)逐次的長(zhǎng)方體的外接球，又???長(zhǎng)方

體的體對(duì)角線長(zhǎng)為外接球的直徑，球的半徑尺=+（血fMG）=如.?.球的表面積

22

S=4nR2=6H.故選A.

6.（2021?安徽合肥調(diào)研）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某多面體的三

視圖，則該兒何體的體積為（）

48^

A.2布+46+10B.C.5D.3

【答案】C

-x2x4

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，轉(zhuǎn)換為幾何體是由一個(gè)底而面積為2的直角三角形,

V=1，?2*4?2=-

高為2的三極錐體，故323.故選c.

7.已知圓錐的表面積等于1271cm2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底而圓的半徑為（）.

A.lcmB.2cmC.3cniD.4cm

答案：B

解析：SA=7rr+nr?2r=3rtr=\2n,，L？cm.故選B.

8.《九章算術(shù)》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長(zhǎng)方體的斜截平分體，稱為塹堵.

今有如圖所示的塹堵形狀（A8=8。）容器裝滿水，當(dāng)水量使用/一半時(shí)，水面高度占A8的

C.2D.叵

22

【答案】C

【解析】水的一半就是體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高，高沒(méi)變，底面積變?yōu)橐话?

因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?，所以邊長(zhǎng)變?yōu)锳B的也，所以水面高度占AB的”也，

22

故選C.

9.（2021?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的為積是（）

D.3正

【答案】A

【解析】幾何體為如圖所示的四棱柱ABC。-A/GA,其高為1,底面為等腰梯形AACO,

一也

該等腰梯形的上底為下底為2及，腰長(zhǎng)為1，故梯形的高為

一2

故匕BCD-A用C閩=gx（五+2何=,故選A.

10.如圖是某幾何體的三視圖，則該兒何體的體枳為（）

【答案】A

【解析】如圖，由三視圖知原幾何體是一個(gè)三棱錐A—8C。，A3_L平面8CO,

BC=CD=4i，BCLCD,A3=2，V8co=:x2x；xV5x&=；.故

D?**乙D

選A.

BD

C

II.（2021?北京卷）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而

在水平面上枳聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級(jí)劃分如

卜.:

等級(jí)24h降雨量（精確到01）200mm-H

????????????

小雨0.1-9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0~49.9

暴雨50.0-99.9

..........

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.

若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨

量的等級(jí)是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

200

【解析】由題意，一個(gè)半徑為二100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿?個(gè)底面半徑為

2

200150

—X—=50（mm）,高為150（mm）的圓錐，所以枳水厚度

-^-X502X1501工人山田也n

,3icT屬于中雨.故選B.

d=---------；——=12.5（mm）

^-xlOO2'7

12.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的梯卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如

圖所示的十字立方體，其上.下、左右、前后完全對(duì)稱，6根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成3組，經(jīng)

90。樺卯起來(lái).若正四棱柱的高為8,底面正方形的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形

容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（）（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留乃）.

A.96乃B.84匯C.42乃D.16萬(wàn)

【答案】B

【解析】若球形容器表面枳最小，則正四極柱與球內(nèi)接，此時(shí)球體的直徑等于一組正四棱柱

的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=揩+（2+2尸+2]=2用，所以R=后,球形容器的表面積

5=4乃/?2=84乃.故選B.

13.如圖所示，在正方體44。）-4產(chǎn)。口中，S是棱上任意一點(diǎn)，四棱錐S-ABC。的

D.不確定

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，則正方體的體積丫=/,易知四棱錐S-A8CO的高為S點(diǎn)

到底面的距離，即側(cè)棱長(zhǎng)，所以四極錐S-A3CD體積為=1/?〃=《，

3ABCD…33

所以P：V=_L,故四棱錐S-ABCD的體積與正方體A8C。-ABCQ的體積之比為

33

故選B.

14.正方體M為CG的中點(diǎn)，A8=2,k列說(shuō)法正確的是（)

A.A[C±BM

B.三極錐C-8O何與剩余部分的體積比為土

c.直線G。與平面BOM所成角的正弦值為正

6

D.平面截正方體內(nèi)切球的截而面積為￡

【答案】BCD

【解析】因?yàn)锳C_L8G，所以AC不垂直于8M,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤：

112222

%-8/W=Vw-8CC=§X]X2x2xl=§,匕徐郃分=8一％_8““=8—§=彳，所以

二[’所以選項(xiàng)B正確：

%余部分11

設(shè)點(diǎn)G到平面BDM距離為/?,直線CQ與平面BDM所成角為6.因?yàn)镸為CG的中點(diǎn),

2

所以C到平面8DM等于C到平面8。例的距離，VC.BDM=~S^BDMh=-,因?yàn)?/p>

12A

$3=寸2必&=瓜，所以h=了，所以sine=_L=U^=@，直線G。

2標(biāo)一CQ-2夜一6

與平面BDW所成角的正弦值為正，所以選項(xiàng)C正確；

6

如圖，設(shè)。為正方體內(nèi)切球的球心，O?為截面圓的圓心，。為球O與底面A8CD的切點(diǎn),

連接,OO],OM,OO2,則。O；,_L面3ZW.Rt/XOOM中

O、MOO,=（X）TOM,所以oo、==且普=9,所以

0、MGQ

4。2=/'=5,所以截面圓的面積為?，所以選項(xiàng)D正確.

故選:BCD.

15.在三棱錐產(chǎn)一A8c中，R1_L底面ABC,BC±PC,P4=AC=&,BC=a,動(dòng)

點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱PC上?點(diǎn)到點(diǎn)A的最短距離為癡，則該棱銖的外接

球的表面積為（）

A.51B.&7TC.10汗D.20期

【答案】B

【解析】符側(cè)面P8C沿PC就折到與側(cè)面A4C共面，如下圖所示：

則動(dòng)點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱PC上一點(diǎn)到點(diǎn)A的最短距離為AB，

底面48C,ACu平面ABC,:.PALAC,又BCA.PC,PA=AC,

NAC8=—+一,

24

.?.482=4。2+3。2-24。3。（：00/4。8=2+。2+2&。又巫=10，解得：a=2,

2

:.PB7PC?tBC27P#+AC?+BC?=26取戶8r點(diǎn)。，連接AQC°,

?.?24_14也產(chǎn)。_13。，/./10=。0=,尸6,，0為該校錐的外接球的球心，共半徑

2

R=&，，球。的表面積S=ITTR?=8?.故選B.

2

16.（2021?貴州模擬）如圖，在△/WC中，48=AC=JLcosNBAC=-,,。是棱BC

的中點(diǎn)，以A。為折痕把八48折疊，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C'的位置，則當(dāng)三棱錐C'—AB。體

積最大時(shí).，其外接球的表面積為（）

【答案】D

【解析】在aABC中，因?yàn)锳5=AC=G，cosN8AC=-g,由余弦定理可得

BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=3+3-2x百xx/5x〔-g）=8,所以BC=2>/L

當(dāng)CDJLBD,即CD±平面ABD,三極錐C-ABD體積最大，此時(shí)C'D、DB、DA兩

兩垂直，可把三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為：1,血,及，所以三

qBD'AD'CD:/+（可+（垃）=立,所

棱錐U—A3。的外接球半徑為:

-2.22

以外接球的表面積為：S=4TTR2=4TTX（—^尸=5乃.故選D.

17.設(shè)正方體AHCO-AqGR為部有兩個(gè)球01和O?,已知球。與正方體的三個(gè)面相切，球

。2與正方體的六個(gè)面均相切，且球。I與球。2也相切.設(shè)球?！?。2的半徑分別為（，4,

則上=（）

r2

A.V3-V2B.2->/3C.D.1--

22

【答案】B

【解析】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,球。?同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切.由題可知,

兩個(gè)球心。一和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線AG上，兩個(gè)球在平面處的截面如圖所

示，則。2"=4=1，4。2=年=\/5,:.AF=AO2-O2F=43-\,又

AF=AOI+OIF=^+/5=（^+1）7；,._1_（——1）.2...4=2—3

V3+12"今

18.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面.上，則該圓柱的

B

體積為（）

3?

A.兀B,C.D.

答案B

解析繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：AC=1,AB』.結(jié)合勾股定理，得底面半徑

一WX隹）=-!!

?.由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積V=7tLh=\2j?.故選B.

19.（2021?全國(guó)）香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艷后克婁巴特拉

七世就己經(jīng)開(kāi)始用15種不同氣味的香水洗澡了.近年來(lái)，香水己經(jīng)逐漸成為眾多女士的日常

用品.已知“香奈兒”的一款飽受熱評(píng)的男1?香水的包裝瓶如圖（I）所示,其三視圖如圖（2）

所示，其中圖（2）中方格小正方形的邊長(zhǎng)為I,則該香水瓶的體積為（）

圖⑴

A.乃+120B.2乃+120C.江+110D.2萬(wàn)+110

【答案】D

【解析】由三視圖可得包裝瓶的直觀圖如圖所示：故其體積為

2

5x(24-2)+,rxlx2=110+2乃，

故選D.

20.（2021?山西太原模擬）如圖是某個(gè)四面體的三視圖，則下列結(jié)論正確的是（

俯視圖

A.該四面體外接球的體積為48萬(wàn)

2/r

B.該四面體內(nèi)切球的體積為3

C.該四面體外接球的表面枳為326乃

D.該四而體內(nèi)切球的表而枳為2廣

［答案］口

【藍(lán)析】由三視圖還原原幾何體如圖，

可知該幾何體為三棱錐，底面三角形3C。為等腰直角三角形，BD±CDtRD=DC=2五,

側(cè)棱AO_L底面BCO,且人。=46.設(shè)三棱錐外接球的球心為0,8c的中點(diǎn)為七，連接

OE,則=.外接球的半徑為8=2?=20外接球的體積

"一§"乂(28)-32%,表面積為41x(20)2=48,設(shè)三楂錐內(nèi)切球的半徑為r,由等

體積法可得：

—X—x4x2x4V2=—(―x4x2+2xix2>/2x4\/2+—x4x6)/?r=^-

323222，解得：2,則三棱錐內(nèi)

4

-JTX上4,x°

切球的體積為33,表面積為.綜上可知，A、3、C錯(cuò)誤,

。正確.故選D.

21.兩個(gè)半徑都是/(rAl)的球01和球O?相切，且均與直二面角1-/一/7的兩個(gè)半平面都

相切，另有?個(gè)半徑為1的小球。與這二面角的兩個(gè)半平面也都相切，同時(shí)與球。?和球O?

都外切，則廠的值為().

及+177+3

A.72+1B.5+3rD.

2

答案D

解析???三個(gè)球都與直二面角a-1-B的兩個(gè)半平面相切，J/與。?、

。2、。共面.如圖所示，過(guò)點(diǎn)?！浮?分別作?M_U、O2NYl,

垂足分別為點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)。分別作OAJL/,OB，。.，則|。也|=102可二正廣,

22

\OA\=42,|O,B|=|O2B|=r,|<9O,|=|002|=r+1,\0B\=|-\0,B|=V2r+I

|=|。4|+|O耳=0+N/27+T=叵r；歷斤=夜一貝.等式兩邊平方得

2r+1=2/-4r+2?化簡(jiǎn)得2，一6r+1=0，Vr>\,解之：得/?二^^，故選D.

22.已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的體積為(

9

正D.—71

.542

【答案】D

【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，斜高為石的正四枝錐

S-ABCD,如下圖所示：

連接正方形A8CO的兩條對(duì)角線AC與30,交于點(diǎn)O',連接SO',則SO'是四棱錐

S-ARCD的高,設(shè)七為8C的中點(diǎn)，連接SE,則SE_L8C,設(shè)外接球的球心為O,則O

在SO'上.

連接OCO'E,在RsES。中,SE=5E(y=\,EO'_SO',.設(shè)外接

球的半徑為R,則。。=|2-用，OC=R,O'C=&,「.(2—/?『+(正『=R2,解得:

R=13,，外接球的體積V=24?R3=42;r-==9乃，故選D.

233⑵2

23.已知正多面體共有5種，即正四面體、正六面體、正八而體、正十二面體和正二十面體.

任一個(gè)正多面體都有內(nèi)切球和外接球，若一個(gè)半徑為1的球既是一個(gè)正四面體的內(nèi)切球，又

是一個(gè)正六面體的外接球，則這兩個(gè)多面體的頂點(diǎn)之間的最短距離為（）

A.73-1B.IC.272-ID.2

【答案】D

【解析】固定正四面體A8C。不動(dòng)，則其內(nèi)切球也隨之固定，考慮頂點(diǎn)A與正六面體（即

正方體）的頂點(diǎn)的距離，當(dāng)正方體的頂點(diǎn)在球面上移動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)A到球面上點(diǎn)的距離最小

值就是頂點(diǎn)A與正方體頂點(diǎn)距離的最小值，即當(dāng)球心和頂點(diǎn)A以及正方體的頂點(diǎn)共線且A

和正方體的頂點(diǎn)落在球心同側(cè)時(shí)取得最小值，由正四面體的內(nèi)切球半徑為1,根據(jù)正四面體

的特征,可知球心到頂點(diǎn)A的距離為3,所以頂點(diǎn)A到球面卜點(diǎn)的距離最小值為3-1=2.

故選D.

24.已知圓柱的上、下底面的中心分別為Oi，（X過(guò)直線01,的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12烏B.12兀C.8"D.lOn

答案B

解析根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為2迎的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半

徑是出的圓，且高為2出所以其表面積為S=2兀盧）2+2兀戊.2迎=12兀故選B.

25.已知圓錐的表面積為9,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面面積等

于.

答案:3

3匚G1^+2^!^-=3!!^=9二—=：:5鹿=*=3

解析：S?=",

26.八面體的每一個(gè)而都是正三角形，并旦4個(gè)頂點(diǎn)A.BC.D在同一個(gè)平面內(nèi)，如果四邊形

ABCD是邊長(zhǎng)為30cm的正方形，則這個(gè)八面體的表面積為.

^X302=1800v5c!rf

解析：S=8**

27.（2021全國(guó)甲卷）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為3（反則該圓錐的側(cè)面積為

28.球。的球心為點(diǎn)。，球。內(nèi)切于底面半徑為5、高為3的圓錐，三棱錐y-ABC內(nèi)接于球

已知。A_LO8,AC_L8C,則三極錐V一/此的體積的最大值為.

解析圓錐的母線長(zhǎng)為歷3=2代,設(shè)球O的半徑為了，則言=言，解得

r=l,vOil100,04=00=1A4B=V2--ACLBC,式：在以AB為直

徑的圓上，二平面Q4B坪面必T,二O到平面ABC的距離為李

故『到平面4BC的最大距離為乎+1，又C到AB的最大距離為它

二三極錐V-題:的體積的最大值為:x界ax?x4+l）=萼

2+V2

故答案為

12

29.中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為婆篇.若三

棱錐P-AHC為鎏膈，旦B4JL平面ABC,R4=2,AB=3,BC=4,ABLBC則該墨膈

的外接球的體積為-

答案上

6

解析可以把幾何體放在長(zhǎng)方體中研究，如圖所示,

所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，

厲不亨不不=V?=2ffAR=等.所以該幾何體的外接球的體積為

7="第=噌

故答案為也反

6

30.在三極錐A-BCO中，AB=CD=\,AD=BC=2,NABC=90。，則該三棱錐的外接球的

表面積為,該三核錐的體積的最大值為.

答案：5兀，"

15

解析：取4￡的中點(diǎn)E,連接DE,如圖在△ABC中，VAB=\,BC=2ZA?C=90°

-AC=V3-在AilCD中VCD=\,AD=2,AC=書(shū),A4D2+CD2=AC2.\ZADC=

90。都是以好為斜邊的直角三角形.，4￡的中點(diǎn)菅到三極錐A-BC。的四個(gè)

頂點(diǎn)A、B、C、。的距離相等.，紅的中點(diǎn)E是三棱錐的外接球的球心，???7=4E=手=[

???三棱錐的外接球的表面積：$=4一=5父??三棱錐的體積：『

y=^s^Kht由題意得：/J,歹”

=*x1X2=1.，J=■而J表示點(diǎn)。到平面A，b

48。的最大距離.當(dāng)平面AC/)JL平面ABC時(shí)，而取得最大值，此時(shí)J為中點(diǎn)。到邊

AC的距離，*~=^^=等=萼,?,吠―=孑=誓X1=1

31.在梯形ABC。中，NA8C=NB4O=90，AB=BC=-AD=\,M為AC的中點(diǎn),

2

將△ABC沿直線AC翻折成VAgC,當(dāng)三棱錐崗-AC。的任枳最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M的平面

截三棱錐B.-ACD的外接球所得截面面積的最小值為.

【答案】-

2

【解析】如下圖所示，連接用“，則片MJ.AC,

則―故利二管嗡瀉，設(shè)

二面角四—AC—Q的平面角為。，設(shè)三棱錐勺-4CO

的高為力,則/?=gMsina=4^ina，

V^j-ACD=§S^ACD.'=§S"B?—sincr<—S

AAC/)

26

當(dāng)且僅當(dāng)a=90時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)平面與AC_L平面AC。時(shí)，三棱錐用-ACO的體積

最大，v/4C=x/2.AB-BC-X./人3C=90，故△ABC為等腰直角三角形，且

NACA=45。，

在梯形ABC。中，NA8c=NBA。=90',則8C//A。，所以，ZC4D=ZACB=45\

在△AC。中，AC=0，AO=2，NC4O=45：由余弦定理可得

CD=VAC2+AD2-2AC-ADcos45o=72*故4。2+。。2=4。2,.?.8_14(7，

因?yàn)槠矫?AC_L平面AC。，平面44。口平面4。。二人(；，CD±AC,CDu平面

ACD,\8八平面AAC.?.?4瓦u平面&AC,則A旦，CO,因?yàn)锳用_L&C,

qCcCO=C,..A%_L平面片C。，???qOu平面片C。，所以，A￡J.q。，記AO

中點(diǎn)為。，由。4=04=0C=。。得。為三棱錐與―AC。的外接球的球心，旦球的半

徑為OC=，A￡）=I,

2

設(shè)0M與過(guò)點(diǎn)M的平面所成的角為6,設(shè)點(diǎn)。到截面的距離為“，則

d=OMsinO=

2Nt,當(dāng)且僅當(dāng)，=go”時(shí)，過(guò)點(diǎn)M的

2

平面截三棱錐外接球0所得截面面積最小，所以截面圓面積的最小值為4x

32.（2021?嘉峪關(guān)模擬）已知球。是正四面體S43C的外接球，E為線段8C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

E"的平面。與球。形成的截面面枳的最小值為6萬(wàn)，則正四面體SA8C的體積為

【答案】