2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 新課標(biāo)版 文科 作業(yè) 題組層級(jí)快練 31-40

題組層級(jí)快練（三十一）

1.（2022?河北張家口一模）7T5；=（）

3?B-^

A:

5

JoD.2

答案A

解析-3i=正疝一/+（—3）L5.故選A.

2.(2022?河南聯(lián)考)若(l+i)(l—2i)=a+例(a,8WR),則a+b=()

A.-1B.0

C.2D.3

答案C

解析因?yàn)椋╨+i）（l-2i）=3-i=?T歷，所以a=3,b=~\,所以cH方=2.故選C.

3.（2021?全國(guó)乙卷，文）設(shè)iz=4+3i,則z=（）

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

答案C

4+3i（4+3i）（—i）—4i—3i2

解析因?yàn)閕z=4+3i,所以z=—=—..、-=——=3—4i.故選C.

4.（2020?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）,則i?z=（）

A.l+2iB.-24-i

C.l-2iD.-2-i

答案B

解析由題意知，z=l+2i,所以i?z=i?（l+2i）=-2+i^^B.

2

5.（2022?鄭州市質(zhì)量檢測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z==，則在復(fù)平面內(nèi)z的共軌j

復(fù)數(shù)）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析因?yàn)?=2==l+i，所以z的共姬變數(shù)3=1—i,其在復(fù)平面內(nèi)

1—1（1—1）（1+1）

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),該點(diǎn)在第四象限.故選D.

6.(2020?課標(biāo)全國(guó)I,理)若z=l+i,則必一22尸()

A.0B.I

CSD.2

答案D

解析由題意可得z2=(l+i)2=2i,則/-2z=2i-2(l+i)=-2.

故|z2-2z|=|-2|=2.故選D.

7.(2021?全國(guó)乙卷，理)設(shè)2(2+9)+3a-5)=4+6力則z=()

A.|-2iB.l+2i

C.1+iD.1-i

答案C

解析設(shè)z=a+歷(a,R),則z=a—bi,代入2(z+z)+3(z—z)=4+6i,可得4a+6加

=4+6i,所以a=l,b=\,故z=l+i.故選C.

8.(2022?山東東營(yíng)一模)如圖，若向量32對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,且團(tuán)=小，則L=()

A-5+P

答案D

解析由題意，設(shè)Z=-1+歷砂＞0),則|z|=，F(xiàn)不京=小，解得方=2,即z=T+2i,所以L

1____________~l+2i—l+2i12.j,

-I-2i=(-l-2i)(~l+2i)^^=一§+史故選D.

9.(2022?河北六校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(2,-I),(0,-I),則

尹比|=()

42

A.2+2iB.2-2i

C.-2+iD.-2-i

答案A

解析由題意知zi=2—i,Z2=—i,則?~~=~z~14-2i,0|=1,故F+憶2|=2+

Z2—1—rZ2

2i.故選A.

10.若復(fù)數(shù)z=罟（i是虛數(shù)單位，”￡R）是純虛數(shù)，則z的虛部為（）

A.1B.i

C.2D.2i

答案A

解析設(shè)z=1]=〃iS￡R且“。），

則l+i=〃+”加，.,.1=1.選A.

11.若復(fù)數(shù)Z滿足Z（l-i）=|l-i|+i,則Z的實(shí)部為（）

A平B.A/2-I

H

c.1DW2

答案A

解析由z（-i）=|l—i|+i,得z邛口溶、富？吟邛孰故z的實(shí)

部為夸」■.故選A.

44-21——

12.（2022?湖北十一校聯(lián)考）已知2=后。為虛數(shù)單位）的共朝復(fù)數(shù)為z,則z?z=（）

A.10B.9

c.VIoD.3

答案A

解析方法一：z=-=(1_.)(I4..)=-=1+31.所以Z=l—3i,則Z-Z=(i

+3i)(l—3i)=I+32=10.故選A.

4+2i|2_|4+2iF_4?+2?_20_

方法二：z-z=|z|2=1-i|=|l-i|2=1+(-1)2=T=10-

13.（2022?湖北六校聯(lián)考）復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量正與”=（3,4）共線，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

三象限，且|z|=10,則z=（）

A.64-RiR.6一對(duì)

C.-6-8iD.-6+8i

答案D

解析設(shè)z=a+bi（a,b0R）,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量應(yīng)=3，b）.因?yàn)橄蛄?2與。=（3,4）

fl=-6,(a=6,

共線，所以44=3〃，又團(tuán)=10,所以屏+拄=］外,解得或因?yàn)閺?fù)數(shù)z在

仍=-8b=8,

復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以《一’所以z=-6—8i,)=-6+8i.故選D.

14.復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,8,zi=3+4i,將點(diǎn)八繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到點(diǎn)8,如圖所示，則)2=()

O*

A.3-4iB.-4-3i

C.-4+3iD.-3-4i

答案B

解析由題意知A(3,4),8(—4,3),即Z2=-4+3i,72=-4-3i.

15.(2022?濟(jì)南市質(zhì)量評(píng)估)已知復(fù)數(shù)z滿足z+z-i=2(其中i為虛數(shù)單位)，則3=()

A.1+iR.1—i

C.-1+iD.-1-i

答案A

解析方法一：由z+z?i=2,得Z=T^7=—：j-rr-=|—i,所以z=l+i.

1+i(1十i)(l-i)

a-b=2f

方法二：設(shè)z=a+Z?i(a,力仁R),則。+歷+(a+bi)i=2,即a—b+S+a)i=2,所以，

a+b=0,

a=i,-

解得，，所以z=l—i,所以z=l+i.

16.設(shè)z”Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()

A.若|zi—Z2|=0,則z1=z2

B.若Zl=Z2，則z1=Z2

C.若|zi|=|Z2|，則ZI?zI=Z2?Z2

D.若|Z||=|Z2|，則ZF=Z22

答案D

解析對(duì)于A,若|Z]—Z2|=0,則Zl—Z2=o,Z]=Z2,所以Zi=Z2為真；

對(duì)于B,若Z1=Z2，則Zl和22互為共桅復(fù)數(shù)，所以Z|=Z2為其；

對(duì)于C,設(shè)zi=0+為i(ai，8i￡R),Z2=生+〃2耳”2,岳WR),若|zi|=?I,則,

即。3+8/二為?十岳2,所以zi?Z1=02+8]2=。22+岳2=22?z2,所以Z1?Z1=Z2*Z2為

真；

對(duì)于D,若Zi=l,Z2=i,則匕||=閡,而Z]2=I,Z2?=-1,所以Z]2=Z22為假，故選D.

17.（2022?石家莊一模）設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中不正確的是（）

A.|zF=zz

B.z2=|z|2

C.若|z|=l,則|z+i|的最大值為2

D.若|z-l|=L則0W|z|W2

答案B

解析設(shè)復(fù)數(shù)z=a+加（a￡R,〃￡R）,|zF=〃+82,2.）=g+加＞儂一力口二4十分，故A

正確；/=（。+漸）2=4?—按+2abi,\z\2=a2+lr,故B錯(cuò)誤；|z|=l,表示z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)Z在單位圓上，|z+i|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與（0,一I）間的距離，故|z+i|的最大值為2,故C

正確；|z-l|=l表示z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以（1,0）為圓心，1為半徑的圓上，|z|表示z

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z與原點(diǎn)（0,0）間的羽離，故0W|?|W2,D正確.故選B.

回重點(diǎn)班?選做題

18.(2022?石家莊質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=j7干布，則z的虛部為

答案V

1-；20211_；

解析[2。21=14/505+1='i20』i4X504+2=i』—.,.復(fù)數(shù)2=[-7^='；-—T~=

I—I-U1BI—(—1)

則z的虛部為一宗

1—//i

19.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)?二而5《對(duì)的實(shí)部為一3,則|z|=,復(fù)數(shù)z的共

屈復(fù)數(shù)3=.

答案5-3+4i

1~a\(1—4?i)(1—i)1—a—(a+1)i

解析因?yàn)榈膶?shí)部為一3,

1+i(1+i)(1-i)2

所以、”=-3,解得。=7.所以z=-3—4i,故|z|=\(-3)2+(—4)2=5,且共扼復(fù)數(shù)

z=-3+4i.

(l+2i)2+3(1-i)

20.計(jì)算：⑴

2+i

l-iI1十i

⑵(1+i)2+(1-i)2：

⑶備冬?

答案(2)—1(3)-1—

(l+2i)2+3(l-i)-3+4i+3-3iii(2-i)12

解析(I)rn=rn=不=-5-

l-i1+i_l-il+i_l+i-l+i_

(2)(1+i)2十(i—i)2="^~十二2=-L

1一小_(小+i)(-i)_-i_-i(小一i)_亞.

(3)(V3+i)2=(小+i)2=^+i=4=-4-41

題組層級(jí)快練（三十二）

1.在數(shù)列1,2,巾，也，捫，…中，2，而是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第16項(xiàng)B.第24項(xiàng)

C.第26項(xiàng)D.第28項(xiàng)

答案C

解析設(shè)題中數(shù)列為｛%｝,則。尸1=5,。2=2=巾,s=#,內(nèi)=遮，as=y[\3,…,

所以如=、3〃-2.令、3〃一2=2jI^=^,解得〃=26.故選C.

2.已知數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和S”=2序一〃，則用的值為（）

A.7B.13

C.28D.36

答案B

解析由題可知S“=2/一小則出=54—53=（2乂42—4）一（2乂32—3）=13.故選B.

3.若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”滿足3s〃=2%一1,則的=（）

A.32B.白

C.—T7D.—16

答案D

解析方法一：因?yàn)?￡=2%-1,所以當(dāng)〃22時(shí)，3s廣|=207—1,兩式作差得3a”=2詼

-2%一](〃與2),即恁=一2m7(〃32),又當(dāng)〃=1時(shí)，3$=2aLi，所以=所以數(shù)列

｛%｝是以一1為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列.所以斯=-1義1一2丫「，則4=-lX(—2)5

「=—16.故選D.

方法二：因?yàn)?s〃=2%一1,所以當(dāng)時(shí)，3S”=2(S〃-SLD-1,整理得Sn=-2Sn-i-

即&+<=-2(Si+g(”22),又當(dāng)〃=1時(shí)，351=2^-1,所以Si=-1,所以

所以數(shù)列卜+共是以一目為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.所以S*=-1x(-

JJIJ，J

019

2)…，S”=一弓X(-2)門(mén)一不則G5=S5—S4=-1X[l6-(—8)]=-16.故選D.

JJJ

4.在數(shù)列伍〃｝中，。|=2,a”+i=a〃+ln(l+§,則等于()

A.2+InnB.2+(/?—l)lnn

C.2+/HnnD.l+〃+ln〃

答案A

2a“，()Wa〃<|，?

I若則"202尸

2a—l,gWa“<l,

(n

()

A]B]

JJ

c.jD]

答案B

解析因?yàn)?=U所以02=2〃|=|>；,43=242—I，*,〃4=2。3—?5=2?4=1,

所以數(shù)列｛%｝具有周期性，且周期為4,所以so2i=m=，.故選B.

6.已知數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和S”=〃2—1,則0+03+45+47+49=()

A.40B.44

C.45D.49

答案B

解析方法一：因?yàn)??=/?—所以當(dāng)“22時(shí)，a”=S”-SLI=7—1—(〃-1)2+1=2〃-1,

0,〃=1,

又“i=Si=0,所以a”=，、所以0+。3+。5+〃7+〃9=0+5+9+13+17=44.故

選B.

方法二：因?yàn)镾”=〃2—1,所以當(dāng)八22時(shí)，a”=S”-S"-i=M—1—(〃-1)2+I=2〃-1,又創(chuàng)

[0,71=1,

=Si=0,所以所以｛“〃｝從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列，他=3,公差,/=2,所

[2n—1,B2,

以ai+a3+a5+〃7+a9=0+4/=4X(2X6-1)=44.故選B.

7.已知數(shù)列｛?！埃凉M足“1=0,知+|=?！?2〃，則。2022等于()

A.2022X2023B.2021X2022

C.2020X2021D.2022X2022

答案B

解析由累加法易知選B.

8.觀察下列各圖，并閱讀圖形下面的文字.像這樣，10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（）

2條直線相交3條宜線相交4條宜線相交

最多有I個(gè)交點(diǎn)最多有3個(gè)交點(diǎn)最多有6個(gè)交點(diǎn)

A.40B.45

C.50D.55

答案B

解析方法一：最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律是：1,1+2,1+2+3,…，1+2+3+…

，10條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是：1+2+…+9=45.

&―42=2,

04-。3=3,

方法二：設(shè)〃條相交直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為則J累加得so—s=2+3

1410—49=9.

+…+9,

.?.內(nèi)0=1十2+3+…十9=45.

9.己知數(shù)列｛%｝中0=1,則〃”=（）

A.2-（曠B.（曠—2

C.2-2,,_|D.2"-1

答案A

解析設(shè)a“+c="a,Li+c）,易得c=-2,又內(nèi)一2=-1,所以2=（0—2）（J）=一（3）

，所以。〃=2一（，，所以選A.

10.在數(shù)列｛小｝中，a“=5+l）（Jf,則數(shù)列｛斯｝中的最大項(xiàng)是第項(xiàng).

答案6和7

Qn產(chǎn)?！?19

a^a-\

innt

卜…弗"”裝，

即《[…（2（,『,，

〃+1W（〃+2）,

7

6（〃+1）

｛O

即6W〃W7,所以最大項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng).

11.（2022?深圳模擬）已知數(shù)列｛斯｝滿足4]=-],m+1=.則42022=______

乙，

I（in

答案3

解析依題意，6不工;=3,出=17二￡=-5=0，所以數(shù)列｛a”｝是以3

I2

為周期的數(shù)列，且前3項(xiàng)為一,，彳，3..,?。2022=。39673+3=。3=3.

12.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，0=1,Sn=Z…則數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式為

〃=1,

答案an=\1（3丫一2

[交㈤,心2

解析因?yàn)?=2小"，①

“1=1,當(dāng)〃=1時(shí)，Si=ai=2d2,所以。2=3.

當(dāng)“22時(shí)，Sn-i=2a?,②

①一②得?！?2詼”-2a“，即已」=,（心2）.

③

所?以當(dāng)〃22時(shí)，?

-2

又0=1不滿足③，故an=\\nv

談團(tuán)，”22.

13.設(shè)S”是數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和，口山=一1,即+i=S”S”+i，則S尸

小壬、1

答案F

解析?/a^[=S±\—Snt?*?Sn^\—S,t=Sn^IS>又由=-1,知Sn^Ot??7^—7=1?**?|c"|

nnnOn

是等差數(shù)列，且公差為-1,族■=:=一1,.?.}=-1+("-1)X(—1)=一","尸一」.

D1U\Onfl

14.已知在數(shù)列｛“”｝中，0=1,前〃項(xiàng)和S”=-y%“.

（1）求。2,?3；

（2）求伍”｝的通項(xiàng)公式.

H

答案（l）s=3“3=6（2）如=〃"2，

4

解析（1）由52=§。2,得3（。1+〃2）=4〃2,解得。2=3〃1=3；

由S3=；〃3，得3（4|+生+6）=5的，解得。3=如1+々2尸6.

（2）由題設(shè)知0=1.

,,、入,,?〃+2〃+1

當(dāng)〃22時(shí)，有a“=Sn—Sn-i='3a，L3

上J——〃+l

整理，仔〃“=~a-\.

n-1n

于是。|=1,。2=1。1，。3=542，***?

H

將以上〃個(gè)等式兩端分別相乘，整理得0尸〃（“2）

HI重點(diǎn)班?選做題

15.觀察后面的算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,l?4,2?3,3?2,4?L…,則式子

3?5是第（）

A.22項(xiàng)B.23項(xiàng)

C.24項(xiàng)D.25項(xiàng)

答案C

解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6

的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3?5是和為8的第3項(xiàng)，所以是第24項(xiàng).故

選C.

16.（2022?山東濰坊市模擬）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,

13,21,34,55,89,144,233，…，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表

述為數(shù)列｛“〃｝滿足川=s=l，如+2=a“T+〃”（〃￡N）若此數(shù)歹J各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一

個(gè)新數(shù)列｛8｝，則｛仇｝的前2021項(xiàng)和為（）

A.2014B.2022

C.2265D.2274

答案D

解析數(shù)列｛?。母黜?xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列｛九｝為1,I,2,0,2,2,I,0,1,1,

2,0,2,…,可得數(shù)列｛/%｝是周期為8的數(shù)列，設(shè)｛/%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，W58=9,且S2021

=252S?-t-S5=252X9-t-6=2268+6=2274.故選D.

題組層級(jí)快練(三十三)

1.(2022?邯鄲一中月考)已知等差數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和為S”，且。8=6,Ss=28,則其公差為

()

A,B,

C.*D.—

答案B

〃|+7d=6,

解析設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,由々8=6,Ss=28,得，8X7解得d=,.故選

8a?+~~f/=28,

2.(2022?南昌市一模)已知｛4｝為等差數(shù)列，若6=2。3+1，出=2“3+7,則死=()

A.IB.2

C.3D.6

答案B

解析設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,將題中兩式相減可得2d=6,配以d=3,所以42=2(6+3)

4-1,解得由=-7,所以公=他+(5—2)4=—7+9=2.故選B.

"已知&是等差數(shù)列｛須｝的前〃項(xiàng)和,且〃2K=4.則稱(chēng)=()

A.IB.2

C.6D.18

答案B

解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得s+"8=m+〃9=4,S9=('"+；)X9=]8,則1=2.故

選B.

4.已知等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S”若“2+8=8,Ss=25,則該數(shù)列的公差為()

A.-2B.2

C.-3D.3

答案B

“I十d十+2d=8,[?i=l,

解析方法一：設(shè)等差數(shù)列(“〃｝的公差為4則由題意得上一八，《解得，,故

5m+10d=25,d=2,

選B.

H

方法二：設(shè)等差數(shù)列(如｝的公差為4因?yàn)镾5=5(〃12"5)=5。3=25,所以43=5.將s+“3

=8化為。3—"+。3=8,即5—d+5=8,解得d=2.故選B.

5.(2022?高三沖刺聯(lián)考)己知公差不為零的等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為￡,若0—的+看=0,

哈()

9

A.—3B.行

J、II

C-45D-7

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d(d￥0),因?yàn)槿缫坏?卷=0,所以0-m-4d+

6X(6-1)

J2_______2<n斫閔-1/匹|產(chǎn)04“1+349將二R

6一仇所以⑷七乩所以55一58一5(s+2d)-35?故選民

6.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為&(〃￡N)。+卬-％2=等則S”的值為()

A.11B.12

C.20D.22

答案D

解析方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為d(d>0),則由(0十4(/)+(<7I+6￡/)—31+5"產(chǎn)=0,得(m

+5d)(m+5d-2)=0,所以m+5d=0或n+5d=2,又s>0,所以川+5d>0,貝1cn+5d

=2,則Si=1la+":，=1l(“i+5")=11X2=22.故選D.

方法二：因?yàn)槲椤保秊檎?xiàng)等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合中+幻一"62=0,得2a6

2_八_micII(ai+aH)I1X246.._cc4n

—Hf>2=0,。6=2,則Su=2=2=1146=22.故選D.

7.(2022?安徽合肥模擬)已知｛5｝是等差數(shù)列，且0=1,a?=4.則mo=()

答案A

解析由題意，得!=1,所以等差數(shù)列樹(shù)的公差為公"丁巴=一；，由此可得上

U\(U4\Cln\34a,I

1+(n-1)>(_￡)=，+*因此土=_*所以0o=故選A.

8.設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若S3=9,S6=36,則如+禽+砌等于()

A.63B.45

C.36D.27

答案B

解析VS3,S(>—S3,S9—S6成等差數(shù)列，即9,27,。7+德+。9成等差數(shù)列，，〃7+爆+。9

=27+27—9=45.故選民

9.(2019?課標(biāo)全國(guó)I,理)記S“為等差數(shù)列｛a,,｝的前，"頁(yè)和.已知&=0,由=5,則()

A.a“=2〃-5B.a?=3/i—10

C.S”=2〃2—8〃D.S"=W〃2—2〃

答案A

S」=0,

解析方法一：設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,

as=5,

4X3

44i+^—d=0,—a

2解得.a=ci\^-(n—l)d=-3+2(〃-1)=2〃-5,S—na\H-

d=2,nn

ai+4d=5,

皿產(chǎn)公,於_4〃.故選A.

S4=0,

方法二：設(shè)等差數(shù)列｛知｝的公差為d,???

“5=5,

,4X3

4〃i~d=0,ai=—3,

2解得.,、選項(xiàng)A,ai=2Xl—5=-3,滿足；選項(xiàng)B,oi=3X1

d=2.

0+4d=5,

3

淑

-IO=-7,排除；選項(xiàng)C,$=2—8=—6,排除；選項(xiàng)D,5i=1-2=-1-故選

牙-1

A.

10.《孫子第:經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五等諸侯，共分橘子六

十顆，人別加三顆.問(wèn)：五人各得幾何？”其意思為：有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的

橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問(wèn)5人各得多少個(gè)橘子.這個(gè)問(wèn)題中，得到橘子最多的人所

得橘子的個(gè)數(shù)是()

A.15B.16

C.18D.21

答案C

解析方法一：設(shè)得到橘子最少的人得到橘子的個(gè)數(shù)為0,由題意得53+亍X3=60,

解得0=6,所以得到橘子最多的人所得橘子的個(gè)數(shù)為“+(5-1)X3=18.故選C.

方法二：設(shè)5個(gè)人得到橘子的個(gè)數(shù)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列｛〃“｝,則公差d=3,且前5項(xiàng)和

$5=60=543，所以。3=12,所以45=43+21=12+6=18.故選C.

11.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()

A.13B.12

C.11D.10

答案A

解析因?yàn)?。|+。2+。3=34,許-2+詼-|+。"=146,

所以6/1+?2++Cln-2+1+(In=34+146=180.

又因?yàn)?+?！?。2+?！?1=434?！?2,

所以3(fl|+??)=180,從而4i+%=60.

ciC〃(ai+a〃)n,60__.

所以Sn=2=2=390,a即r/i=13.

12.等差數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，滿足m=3的，前〃項(xiàng)和為S”下列選項(xiàng)不正確的是()

A.J>0B.3<0

C.當(dāng)〃=5時(shí)S”最小D.S>0時(shí)〃的最小值為8

答案C

解析由題意，設(shè)等差數(shù)列｛?｝的公差為4

因?yàn)?7=3的，可得ai+6d=3(m+4d),解得ai=-3d,

又由等差數(shù)列｛知｝是遞增數(shù)列，可知公0,則m<0,故A、B正確；

因?yàn)镾tl=齊+(a?-=翁一等?，

J

d7

由=--

-2當(dāng)〃=3或4時(shí)S“最小，故C錯(cuò)誤;

令S”=]/一■^?”>0,解得〃<0或〃>7,即S”>0時(shí)〃的最小值為8,故D正確.故選C.

13.設(shè)a于b,且數(shù)列a,x\,M"和a,yi，”，加b分別是等差數(shù)列，則；：_?=

3

答案-

5

7(/?—?)

._V4f_53

??及-由飛(…)5,

14.設(shè)S”為等差數(shù)列｛“J的前〃項(xiàng)和，”|#0,久+“6=0,則/

9

答案

解析設(shè)｛?。墓顬?

方法一：由。4+。6=0，不妨令"4=1,。6=—1,則d——1,54—10,56—9,

?'4.一..__、在_..“66m+l5d-9d__9_

萬(wàn)法一：由.+恁=0,可得川=一4，/,故而=4?+6</=GT而

15.設(shè)S”是等差數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和，若/〃為大于1的正整數(shù)，且“一―小+而+尸］,S2m

i=ll,則m

答案6

2

解析由am-i—a^+am+i=\可得2am—an^=1,即am-2am-1-1=0,解得am=\,由S^-i

(ai+sw-i)(2，〃-1)

<7?,XZM1)-11,可得2〃?一1一11,解得/〃一6.

2(2-

16.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為“，4,3a,前〃項(xiàng)和為&,且&=110.

(1)求a及4的值；

(2)設(shè)數(shù)列出“)的通項(xiàng)公式兒=押，證明：數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列，并求其前〃項(xiàng)和7；.

答案(l)a=2,k=10(2)證明略，4=〃”3)

解析(1)設(shè)該等差數(shù)列為{4},則ai=a,s=4,s=3a,

由已知有a+3a=8,得n=a=2,公差d=4—2=2,

k(k—1)k(k—1)

所以Sk=kai+—-----d=2k+—5—X2=k2+k,

由&=110,得爐+2—110=0,

解得％=10或左=一11(舍去)，

故a=2,攵=10.

(2)證明：由⑴得S“="(2”方)'=〃(〃+1),

則""*=〃+1，

故〃“十1一〃”=(〃+2)—(〃+1)=1,

即數(shù)列｛瓦｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

刀（2+〃+l）〃（〃+3）

所以r?=22-

重點(diǎn)班?選做題,

17.已知4={x|2"<E2"+i旦x=7〃i+l,/〃，〃￡N},則4中各元素的和為

答案891

67

解析VA6={.r|2<v<2且x=7〃?+1,wGN},

...A6的元素有9個(gè)：71,78,85,92,99,106,113,120,127,

9個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為71,公差為7的等差數(shù)列.

9X8

二.71+78+…+127=71X9+^—X7=89l.

18.從①前〃項(xiàng)和S”=，/+p(p￡R)：②a“=a”+i—3：③期=11且為”+i=a”+a,r+2這三個(gè)條

件中任選一個(gè)，填至橫線上，并完成解答.

在數(shù)列伍”｝中，0=1，，其中〃6N'.

⑴求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

(2)若a”〃“，而成等比數(shù)列,其中〃J,〃￡N’，J0,ni>n>1?求毛的最小值.

答案⑴選條件①或③，。^2〃I(〃<=N>選條件②，“”=3”2(〃<=N")

(2)選條件①或③，〃?的最小值為5：選條件②，/〃的最小值為6

解析選擇①：

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，由Si=ai=l,得〃=0.

當(dāng)〃22時(shí)，由題意，得S“-i=(〃-1產(chǎn)，

所以%=S”-S,T=2〃一1(〃22).

經(jīng)檢驗(yàn)，“1=1符合上式，

所以知=2〃一l(〃￡N)

⑵由0,成等比數(shù)列，得心”即(2〃-1戶=|X(2m—1).

化簡(jiǎn)，得m=2/-2"+1=2。一+半

因?yàn)椤?，〃是大于1的正整數(shù)，且〃>1〃，所以當(dāng)〃=2時(shí)，”取到最小值5.

選擇②：

(1)因?yàn)闉?d+1—3,所以小”一%=3,所以數(shù)列｛為｝是公差d=3的等差數(shù)列,

所以a,,=a\+(/?—1)d=3n—2(n￡N').

(2)由a］，a“，a,”成等比數(shù)列，得。/二內(nèi)”““即(3〃-2)2=IX(3，〃-2).

622

-1I十-

3

3;

因?yàn)椤?,〃是大于1的正整數(shù)，且/〃>〃,

所以當(dāng)〃=2時(shí)，/〃取到最小值6.

選擇③：

(1)因?yàn)?a"+]=%+%+2,所以數(shù)列伍〃)是等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛“”｝的公差為4

因?yàn)?=1,46=ai+5d=ll,所以d=2.

所以an=a\+(n-\)d=2〃-1(〃￡N").

(2)同選條件①.

題組層級(jí)快練(三十四)

1.(2022?山西大同市聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛恁｝滿足田以=16,皴=2,則公比

9=()

答案C

解析方法一：0。5=16=的2，又。3>0,故03=4,<?=華=2.

?i?aiq“=16,

方法二：由題意，得,

”"/=2,

a\=~\

2.(2022?湖北宜昌一中模擬)已知等比數(shù)列｛?。校?3=4,。2即=8。4,則m=()

C.±1D.±2

答案B

解析等比數(shù)列｛%｝中，。3=4,如7=8內(nèi),

.0爐=4,k2=2,

則；7。3解得c故選B?

1〃「夕7=8”1夕3,10=2,

3.已知等比數(shù)列｛?。?，中=3,o?s=45,則生二絲的值為()

as-a-｝

D.25

答案D

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則由〃7=1?小爐=%=45,所以<7=5,所以的_S=

a^cp—aicr,..

--------L=q2=25.故選D.

?5~?7

4.在等比數(shù)列｛?。?，。2俏=16,〃4+*=8,則意等于()

A.1B.—3

C.1或一3D.-1或3

答案A

解析由Cl2(l(y=16,得”42=16=。4=±4.又(144~6/8=8,可得雜(1+/)=8,6/4>0,C14=

4*a1=1—=^io?

'"io"=

5.已知等比數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和&滿足45'5=3S4+S6，且42=1，則44=()

A.5B.27

C.1D.9

答案D

解析因?yàn)?ss=3Sa+S6,所以3sS-3S4=S6-SS，即3的=恁，故公比g=3.由等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式得a?=<?2<742=1X3?=9.故選D.

6.數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和為S“=4”+伙b是常數(shù)，〃￡N7若這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，則〃等于

()

A.-1B.0

C.1D.4

答案A

解析方法一：當(dāng)"22時(shí)，&=S”一S1T=(4"+3)一(4"-1+。)=3乂4"「，又m=S=4+b,

.?.4+b=3X4"=Z>=-1.

32

方法二：a[=Si=4+b,。2=52—51=(42+。)一(4+。)=12,G3=S3-S2=(4+/))-(4+/>)=

48,由0a3=他2,得48(4+/?)=122=%=—1.

方法三：等比數(shù)列｛%｝中，q￥l時(shí)，S“=0?=當(dāng)?0'一言=A"'_A=4"+瓦

：.b=-1.

7.(2022?湖南衡陽(yáng)八中模擬)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中提及：今有銀?秤?斤十

兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之.其意思是：現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，將銀分給甲、乙、

丙三人，甲、乙、丙三人每一個(gè)人所得是前一個(gè)人所得的一半.若銀的數(shù)量不變，按此法將

銀依次分給5個(gè)人，則得銀最少的3個(gè)人一共得銀(規(guī)定：1秤=10斤，1斤=10兩)()

A得兩B署兩

喀兩