2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.7相關(guān)性學(xué)案北師大版必修3

PAGE1-1.7相關(guān)性[航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀地相識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系．2．依據(jù)散點(diǎn)圖對(duì)線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行直線擬合，從而對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)．3．體會(huì)變量間的相關(guān)關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的探究欲望與學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性．[讀教材·自主學(xué)習(xí)]1．函數(shù)關(guān)系：變量之間的函數(shù)關(guān)系是一種eq\o(□,\s\up3(01))確定的關(guān)系，當(dāng)自變量x的值確定之后，都有eq\o(□,\s\up3(02))唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系是一種志向的關(guān)系模型．2．相關(guān)關(guān)系：變量間的確存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的eq\o(□,\s\up3(03))確定性，它們的關(guān)系是帶有eq\o(□,\s\up3(04))隨機(jī)性的．3．散點(diǎn)圖：在考慮兩個(gè)量的關(guān)系時(shí)，為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解，人們通常將變量所對(duì)應(yīng)的eq\o(□,\s\up3(05))點(diǎn)描出來(lái)，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖．通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖．4．曲線擬合：從散點(diǎn)圖上可以看出，假如變量之間存在著eq\o(□,\s\up3(06))某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的eq\o(□,\s\up3(07))曲線來(lái)近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合．5．線性相關(guān)：若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，全部點(diǎn)看上去都在一條eq\o(□,\s\up3(08))直線旁邊波動(dòng)，稱變量間是線性相關(guān)的．6．非線性相關(guān)：若全部點(diǎn)看上去都在某條eq\o(□,\s\up3(09))曲線(不是一條直線)旁邊波動(dòng)，則稱變量間是非線性相關(guān)的．7．不相關(guān)：假如全部的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示eq\o(□,\s\up3(10))任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的．[看名師·疑難剖析]1．相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)(1)相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．(2)不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系．如勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間t與路程s的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．例如，有人發(fā)覺，對(duì)于在校兒童，鞋的大小與閱讀實(shí)力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，然而學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個(gè)因素——年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他的閱讀實(shí)力會(huì)提高，而且由于長(zhǎng)大，腳也變大．2．兩個(gè)隨機(jī)變量x和y之間相關(guān)關(guān)系的確定方法(1)散點(diǎn)圖法：通過散點(diǎn)圖，視察它們的分布是否存在肯定規(guī)律，直觀地推斷；(2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行推斷；(3)閱歷法：借助積累的閱歷進(jìn)行分析推斷．3．相關(guān)關(guān)系的分析方向由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在找尋變量間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著特別重要的作用，我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)覺其中的規(guī)律，對(duì)它們的關(guān)系作出推斷．考點(diǎn)一相關(guān)性的推斷例1下列關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的有________．①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系③人的身高與年齡之間的關(guān)系④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系[分析]依據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義推斷．[解析]①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系，因此填②③④.[答案]②③④類題通法相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)分在于是否具有確定性.在區(qū)分二者時(shí)，假如一個(gè)變量每取一個(gè)值，另一個(gè)變量總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么這兩個(gè)變量就是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；假如一個(gè)變量每取一個(gè)值，另一個(gè)變量的取值帶有肯定的隨機(jī)性，可能有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，并且從總體上來(lái)看有關(guān)系，但是不是確定性關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間就是相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系.確定相關(guān)關(guān)系時(shí)有時(shí)要依靠生活閱歷來(lái)推斷.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])下列兩個(gè)變量中具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與邊長(zhǎng)B．勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間C．人的身高與體重D．人的身高與視力答案C解析函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系則是一種不確定的關(guān)系．選項(xiàng)A、B為函數(shù)關(guān)系，C是相關(guān)關(guān)系，D則無(wú)任何關(guān)系.考點(diǎn)二利用散點(diǎn)圖進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的推斷例2下列圖形中具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是()[解析]A和B符合函數(shù)關(guān)系，即對(duì)x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)；從C、D散點(diǎn)圖來(lái)看，D的散點(diǎn)都在某一條直線旁邊波動(dòng)，因此兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系，且為負(fù)相關(guān)關(guān)系．[答案]D類題通法此題是一數(shù)形結(jié)合題，應(yīng)首先通過圖形區(qū)分是否具有相關(guān)關(guān)系，然后再確定是否屬于線性相關(guān)關(guān)系.假如概念不清，簡(jiǎn)單錯(cuò)選A.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖甲；對(duì)變量u、v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖乙．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以推斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)答案C解析由甲可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)，由圖乙可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)．[例](12分)在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y(μm)與腐蝕時(shí)間x(s)之間具有線性關(guān)系，可用擬合直線方程y＝0.3x＋5.6來(lái)近似表示，試預(yù)料腐蝕時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度是多少？(一)精妙思路點(diǎn)撥(二)分層規(guī)范細(xì)解因?yàn)楦g深度與腐蝕時(shí)間線性相關(guān)，腐蝕時(shí)間為eq\a\vs4\al(100s時(shí)也符合方程y＝0.3x＋5.6)①，6分所以腐蝕深度y＝0.3×100＋5.6＝35.6(μm)，10分即eq\a\vs4\al(腐蝕深度大約是35.6μm)②.12分(三)來(lái)自一線的報(bào)告通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②見分層規(guī)范細(xì)解過程)(四)類題練筆駕馭某品牌服裝的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)支出x246810銷售額y64138205285360(1)試畫出散點(diǎn)圖，并推斷廣告費(fèi)x與銷售額y是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)若取過點(diǎn)(2,64)和點(diǎn)(8,285)的直線作為擬合直線方程，試預(yù)料當(dāng)x＝10和15時(shí)銷售額y的值是多少？解(1)依據(jù)題中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下：視察散點(diǎn)圖，可以發(fā)覺5個(gè)樣本點(diǎn)從整體上看大致在一條直線旁邊，所以變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)過點(diǎn)(2,64)和(8,285)的直線方程是221x－6y－58＝0.令x＝10，則221×10－6y－58＝0，∴y≈358.7；令x＝15，則221×15－6y－58＝0，∴y≈542.8，即當(dāng)x＝10時(shí)，銷售額y的值大約是358.7萬(wàn)元，當(dāng)x＝15時(shí)，銷售額y的值大約是542.8萬(wàn)元．(五)解題設(shè)問(1)如何畫散點(diǎn)圖？類似于函數(shù)圖象的畫法——________.(2)如何推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)？視察散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)是否分布在________的旁邊．(3)求預(yù)料值y的方法是什么？把________代入擬合直線方程計(jì)算可得．答案(1)描點(diǎn)法(2)某條直線(3)x的值1．下列兩個(gè)變量間的關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系的是()A．隨意實(shí)數(shù)和它的平方B．圓半徑和圓的面積C．正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D．天空中的云量和下雨答案D解析很明顯A、B、C都是函數(shù)關(guān)系；依據(jù)生活閱歷，天空中的云量和下雨之間不是確定性關(guān)系，雖然有云彩不肯定下雨，但是假如沒有云彩肯定不下雨，這說明它們之間是相關(guān)關(guān)系．2．兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種()A．確定性關(guān)系 B．線性關(guān)系C．非確定性關(guān)系 D．非線性關(guān)系答案C3．下列選項(xiàng)中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是()答案B4．與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種________關(guān)系，從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為________，反之兩個(gè)相關(guān)關(guān)系稱為________．答案不確定