北京大學組合數學試卷

北京大學組合數學試卷一、選擇題

1.在組合數學中，下列哪項是排列數公式？

A.$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

B.$A_n^m=\frac{(n-m)!}{n!}$

C.$A_n^m=n!$

D.$A_n^m=\frac{n!}{(n+m)!}$

2.從5個不同的元素中任取3個元素，不同的取法共有多少種？

A.5

B.10

C.20

D.25

3.在一個3階行列式中，如果3個元素均取值1，另外3個元素均取值-1，那么這個行列式的值為：

A.0

B.1

C.-1

D.3

4.在一個8位二進制數中，至少有多少個1才能保證這個數是偶數？

A.1

B.2

C.4

D.8

5.在一個等差數列中，如果第一項為1，公差為2，那么第10項的值是多少？

A.18

B.20

C.22

D.24

6.在一個二項式$(a+b)^n$的展開式中，$a^kb^l$的系數是：

A.$\frac{n!}{k!l!}$

B.$\frac{n!}{(n-k)!(n-l)!}$

C.$\frac{n!}{(n-k)!(n-l)!}\timesa^k$

D.$\frac{n!}{(n-k)!(n-l)!}\timesb^l$

7.在一個6階行列式中，如果4個元素均取值1，另外2個元素均取值-1，那么這個行列式的值為：

A.0

B.1

C.-1

D.3

8.在一個3階行列式中，如果3個元素均取值0，另外3個元素均取值1，那么這個行列式的值為：

A.0

B.1

C.-1

D.3

9.在一個8位二進制數中，至少有多少個1才能保證這個數是奇數？

A.1

B.2

C.4

D.8

10.在一個等差數列中，如果第一項為3，公差為-1，那么第10項的值是多少？

A.2

B.0

C.-2

D.-4

二、判斷題

1.在組合數學中，組合數$C_n^m$等于排列數$A_n^m$。

2.在一個二項式$(a+b)^n$的展開式中，每一項的指數之和等于$n$。

3.在一個等差數列中，任意兩項之和等于它們中間項的兩倍。

4.在一個3階行列式中，所有元素均為0的行列式的值為0。

5.在一個等比數列中，任意兩項之比等于它們中間項的平方。

三、填空題

1.若一個排列中，第一個元素是最大的，第二個元素是次大的，那么這個排列的逆序數是_________。

2.在二項式$(a+b)^n$的展開式中，$x^2y^3$的系數為_________。

3.若一個等差數列的前三項分別是1，3，5，那么該數列的公差是_________。

4.在一個4階行列式中，若某一行（或列）的所有元素均為2，其余元素均為0，那么該行列式的值是_________。

5.若一個等比數列的前三項分別是2，6，18，那么該數列的公比是_________。

四、簡答題

1.簡述組合數$C_n^m$的定義及其性質。

2.解釋什么是組合數學中的“逆序數”，并給出計算逆序數的公式。

3.舉例說明如何在二項式定理中應用二項式系數。

4.如何判斷一個行列式是否為奇排列行列式，并解釋其性質。

5.簡述等比數列的定義、通項公式及其在現實生活中的應用。

五、計算題

1.計算排列數$A_5^2$和組合數$C_5^2$，并比較它們的值。

2.計算二項式$(x+2y)^4$的展開式中$x^3y$的系數。

3.已知等差數列的前三項分別是2，5，8，求該數列的前10項和。

4.計算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值。

5.若一個等比數列的第一項是3，公比是$\frac{1}{3}$，求該數列的前5項和。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司在招聘過程中，需要從30位應聘者中選出5位進入下一輪面試。請問，有多少種不同的選擇方式？

案例分析：

首先，我們需要確定這是一個組合問題，因為應聘者的選擇順序不重要。根據組合數的定義，我們可以使用組合數公式$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$來計算。在這個案例中，n是應聘者的總數，即30，m是進入下一輪面試的人數，即5。

計算過程如下：

$$

C_{30}^5=\frac{30!}{5!(30-5)!}=\frac{30\times29\times28\times27\times26}{5\times4\times3\times2\times1}=142506

$$

因此，有142506種不同的選擇方式。

2.案例背景：一個學生參加了一個數學競賽，共有10道題目。他必須從以下三個條件中選擇題目來回答：

（1）選擇3道題目，每道題目都是5分；

（2）選擇2道題目，每道題目都是10分；

（3）選擇1道題目，該題目是20分。

學生需要確保自己至少答對5道題目才能獲得獎項。請分析學生應該如何選擇題目，以確保自己能夠至少答對5道題目。

案例分析：

為了確保至少答對5道題目，學生需要考慮兩種情況：答對5道題目和答對6道題目。

-答對5道題目：

學生可以從5分題目中選擇3道，從10分題目中選擇2道，或者從20分題目中選擇1道。這可以通過組合數來計算：

$$

C_5^3\timesC_2^2+C_5^2\timesC_3^2+C_5^1\timesC_4^4=10\times1+10\times3+5\times1=10+30+5=45

$$

-答對6道題目：

學生可以從5分題目中選擇3道，從10分題目中選擇3道，或者從20分題目中選擇1道，然后從5分題目中選擇1道。這可以通過組合數來計算：

$$

C_5^3\timesC_5^3+C_5^2\timesC_5^2+C_5^1\timesC_4^3\timesC_5^1=10\times10+10\times10+5\times4\times5=100+100+100=300

$$

因此，學生可以選擇45種不同的題目組合來確保至少答對5道題目，或者300種組合來確保至少答對6道題目。

七、應用題

1.應用題：某班級有30名學生，需要從中選出4名學生參加數學競賽。如果每名學生只能參加一次，那么有多少種不同的選拔方式？

解答：

這是一個組合問題，因為選出的學生之間的順序不重要。我們需要計算從30名學生中選出4名學生的組合數，即$C_{30}^4$。

$$

C_{30}^4=\frac{30!}{4!(30-4)!}=\frac{30\times29\times28\times27}{4\times3\times2\times1}=27,405

$$

因此，有27,405種不同的選拔方式。

2.應用題：一個密碼鎖由4個轉盤組成，每個轉盤上有10個數字（0到9）。用戶設置的密碼是四個不同的數字。計算所有可能的密碼組合總數。

解答：

每個轉盤有10個數字，因此第一個轉盤有10種選擇，第二個轉盤也有10種選擇，以此類推。總的可能性是這些選擇的乘積。

$$

10\times10\times10\times10=10^4=10,000

$$

所以，共有10,000種不同的密碼組合。

3.應用題：一個籃球隊有12名球員，教練需要從中選擇5名球員參加比賽。如果教練希望至少選擇1名后衛(wèi)，那么有多少種不同的選擇方式？

解答：

首先，我們計算所有可能的選擇方式，即從12名球員中選擇5名球員的組合數，即$C_{12}^5$。

$$

C_{12}^5=\frac{12!}{5!(12-5)!}=\frac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=792

$$

然后，我們計算沒有后衛(wèi)的情況，即從剩余的9名非后衛(wèi)球員中選擇5名球員的組合數，即$C_{9}^5$。

$$

C_{9}^5=\frac{9!}{5!(9-5)!}=\frac{9\times8\times7\times6\times5}{5\times4\times3\times2\times1}=126

$$

最后，我們從所有可能的選擇中減去沒有后衛(wèi)的情況，得到至少選擇1名后衛(wèi)的選擇方式數。

$$

792-126=666

$$

因此，有666種不同的選擇方式，至少包含1名后衛(wèi)。

4.應用題：一個班級有20名學生，其中有5名學生擅長數學，7名學生擅長物理，8名學生擅長化學。如果每個學生至少擅長一門科目，那么有多少種不同的學生組合方式，使得每個組合中的學生至少擅長一門不同的科目？

解答：

這是一個組合問題，我們需要計算所有可能的組合方式，使得每個組合中的學生至少擅長一門不同的科目。由于每個學生至少擅長一門科目，我們可以使用容斥原理來解決這個問題。

首先，計算所有學生的組合方式，即$C_{20}^5$，然后減去那些沒有數學學生的組合數（即從剩下的15名學生中選擇5名），再減去沒有物理學生的組合數（即從剩下的13名學生中選擇5名），再減去沒有化學學生的組合數（即從剩下的12名學生中選擇5名）。但是，我們重復減去了那些既沒有數學也沒有物理或化學學生的組合數，所以需要將這些組合數加回。

計算如下：

$$

C_{20}^5-C_{15}^5-C_{13}^5-C_{12}^5+C_{10}^5+C_{8}^5+C_{7}^5

$$

計算每個組合數：

$$

C_{20}^5=\frac{20!}{5!(20-5)!}=15504

$$

$$

C_{15}^5=\frac{15!}{5!(15-5)!}=3003

$$

$$

C_{13}^5=\frac{13!}{5!(13-5)!}=1287

$$

$$

C_{12}^5=\frac{12!}{5!(12-5)!}=792

$$

$$

C_{10}^5=\frac{10!}{5!(10-5)!}=252

$$

$$

C_{8}^5=\frac{8!}{5!(8-5)!}=56

$$

$$

C_{7}^5=\frac{7!}{5!(7-5)!}=21

$$

將它們代入公式：

$$

15504-3003-1287-792+252+56+21=13236

$$

因此，共有13,236種不同的學生組合方式，使得每個組合中的學生至少擅長一門不同的科目。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案：

1.A

2.C

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.B

二、判斷題答案：

1.錯誤

2.正確

3.正確

4.正確

5.正確

三、填空題答案：

1.0

2.16

3.2

4.0

5.$\frac{1}{3}$

四、簡答題答案：

1.組合數$C_n^m$是從n個不同元素中，任取m個元素的所有不同組合的數目。它的性質包括：對稱性$C_n^m=C_n^{n-m}$，遞推公式$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$，以及非負性$C_n^m\geq0$。

2.逆序數是指在一個排列中，任意兩個元素的位置相反的數目。計算逆序數的公式是：逆序數=$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}[a_ia_j=-1]$，其中$a_i$和$a_j$是排列中的兩個元素。

3.二項式定理可以表示為$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$C_n^k$是二項式系數，表示從n個不同元素中選擇k個元素的組合數。

4.奇排列行列式的值是奇數，偶排列行列式的值是偶數。如果一個行列式的任意兩行（或列）交換位置，則行列式的值會改變符號。

5.等比數列是首項為$a_1$，公比為$q$的數列，其通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$。等比數列在現實生活中的應用包括金融投資、人口增長、物理學中的振動等。

五、計算題答案：

1.排列數$A_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=5\times4=20$，組合數$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$。因此，$A_5^2=2C_5^2$。

2.二項式$(x+2y)^4$的展開式中$x^3y$的系數是$C_4^1\times2^1=4\times2=8$。

3.等差數列的前10項和$S_{10}=\frac{10(2+8)}{2}=5\times10=50$。

4.行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)=1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)=-3+12-9=0$。

5.等比數列的前5項和$S_5=\frac{3(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{