第一章　§1.3　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第一章§1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.掌握等式性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型課時(shí)精練第一部分落實(shí)主干知識(shí)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法基本事實(shí)a

b?a－b>0，a

b?a－b＝0，a

b?a－b<0.>＝<性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆2可加性a>b?a＋c

b＋c可逆3可乘性a>b，c>0?ac

bcc的符號(hào)a>b，c<0?ac

bc4同向可加性a>b，c>d?a＋c

b＋d不可逆2.不等式的性質(zhì)>><>特殊地，當(dāng)a>b>0時(shí)，an>bn，其中n∈N＋，n≥2.5同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac

bd；a>b>0，c<d<0?ac

bd不可逆6可開方性

n∈N＋，n≥2><不等式的兩類常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種.(

)(2)若

>1，則b>a.(

)(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(

)(4)若

，則b<a.(

)×√××2.已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a<b，則下列不等式中一定成立的是√對(duì)于A，當(dāng)a<b<0時(shí)，不等式無意義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a<0<b時(shí)，

，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)a<b<0時(shí)，a2>b2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)a<b時(shí)，a3<b3成立，故D正確.3.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示成一個(gè)不等式為_________.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，4.已知2<a<3，－2<b<－1，則a＋2b的取值范圍為________.(－2,1)因?yàn)椋?<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1.返回第二部分探究核心題型題型一數(shù)(式)的大小比較例1

(1)(多選)下列不等式中正確的是A.x2－2x>－3(x∈R)B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C.a2＋b2>2(a－b－1)√√∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正確；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∵(a－b)2≥0，a＋b的符號(hào)不確定，∴a3＋b3與a2b＋ab2的大小不確定，故B錯(cuò)誤；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯(cuò)誤；(2)若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足c<cb<ca<1，則A.aa<ab<ba

B.aa<ba<abC.ab<aa<ba

D.ab<ba<aa√∵c是正實(shí)數(shù)，且c<1，∴0<c<1，由c<cb<ca<1，得0<a<b<1，∴ab<aa，比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.跟蹤訓(xùn)練1

(1)若lna>lnb，則√因?yàn)閘na>lnb，所以a>b>0，因?yàn)閍－b>0，函數(shù)y＝xa－b在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以πa－b>3a－b，故C錯(cuò)誤；其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，M>N∴M>N.顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2023)>f(2024)，即M>N.例2

(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足a<b<0，則題型二不等式的基本性質(zhì)√由a<b<0，可得a＋b<0，故A錯(cuò)誤；由a<b<0，可得a－b<0，故B正確；由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C錯(cuò)誤；由a<b<0，可得|a|>|b|>0，(2)(多選)已知a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是A.若a>b，則ac2>bc2B.若a>b，則a＋c>b＋c√√√當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故A錯(cuò)誤；由不等式的可加性可知，B正確；若a>b>c>0，則a－b>0，b＋c>0，若a>b>c>0，則a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，又b>c>0，判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c<d，則“a<b”是“a－c<b－d”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，滿足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立；當(dāng)a－c<b－d時(shí)，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立，所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分條件.(2)(多選)若a>b>0，則下列不等式中正確的是A.B.－a2<－abC.ln|a－1|>ln|b－1|D.2a－b>1√√√因?yàn)閍>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正確；因?yàn)閍－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正確.例3

(1)已知0<x<5，－1<y<1，則x－2y的取值范圍是A.2<x－2y<3 B.－2<x－2y<3C.2<x－2y<7 D.－2<x－2y<7√題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用因?yàn)椋?<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7.若將條件改為“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范圍.設(shè)x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，即－4≤x－2y≤2.(2)為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，王老師組建了一個(gè)由學(xué)生、家長(zhǎng)和教師組成的微信群.已知該群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該微信群人數(shù)的最小值為A.20 B.22 C.26 D.28√設(shè)教師人數(shù)為x，家長(zhǎng)人數(shù)為y，女學(xué)生人數(shù)為z，男學(xué)生人數(shù)為t，x，y，z，t∈N＋，則y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，則x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)，∴2x>x＋3，解得x>3，當(dāng)x＝4時(shí)，x＋y＋z＋t≥22，此時(shí)微信群人數(shù)的最小值為22.利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點(diǎn)(1)必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì).(2)在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(多選)已知1≤a≤2,3≤b≤5，則A.a＋b的取值范圍為[4,7]B.b－a的取值范圍為[2,3]C.ab的取值范圍為[3,10]√√因?yàn)?≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范圍為[4,7]，b－a的取值范圍為[1,4]，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?≤a≤2,3≤b≤5，√原式分子和分母同時(shí)除以x，返回課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知a，b∈R，則“

”是“l(fā)na>lnb”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516√若“l(fā)na>lnb”，則a>b>0，12345678910111213141516A.m≥n

B.m>nC.m≤n

D.m<n12345678910111213141516√當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立，即m≥n.3.已知a>b，則下列不等式一定成立的是12345678910111213141516√取a＝1，b＝－2，滿足a>b，顯然有

，a2<b2，|a|<|b|成立，即選項(xiàng)A，C，D都不正確；指數(shù)函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，若a>b，則必有2a>2b，B正確.4.已知a<b<c，a＋b＋c＝0，則12345678910111213141516√因?yàn)閍<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符號(hào)不能確定，當(dāng)b＝0時(shí)，ab＝b2，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閍<b，c>0，所以ac<bc，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；123456789101112131415165.若c>b>a>0，則12345678910111213141516√2lnb＝lnb2，lna＋lnc＝lnac，b2與ac大小不能確定，故B錯(cuò)誤；12345678910111213141516令c＝1，則logac＝logbc＝0，故D錯(cuò)誤.6.已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，則正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為A.p>m>n

B.m>n>pC.m>p>n

D.p>n>m√12345678910111213141516由m5＝4，得m＝12345678910111213141516由n8＝9，得n＝

，由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是得p>m>n，所以正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為p>m>n.12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題7.下列結(jié)論中不正確的是A.若ac2>bc2，則a>bB.若

，則a>bC.若a>b，c>d，則ac>bdD.若2a－b>1，則a<b12345678910111213141516√√√ac2>bc2，不等式兩邊除以c2(c≠0)，則a>b，故A正確；12345678910111213141516取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，滿足a>b，c>d，又ac＝bd，故C錯(cuò)誤；取a＝2，b＝1，滿足2a－b>1，又a>b，故D錯(cuò)誤.8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，則A.－1<x<2 B.－2<y<1C.－3<x＋y<3 D.－1<x－y<3√12345678910111213141516√√因?yàn)椋?<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，則－5<5x<10，即－1<x<2，故A正確；又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正確；12345678910111213141516三、填空題9.已知a>0，－1<b<0，則a，ab，ab2由小到大依次排列是___________.12345678910111213141516ab<ab2<a因?yàn)閍>0，－1<b<0，所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a，故ab<ab2<a.10.若a，b同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①a＋b>ab；② .請(qǐng)寫出一組a，b的值__________________________.12345678910111213141516a＝－1，b＝2(答案不唯一)容易發(fā)現(xiàn)，若將①式轉(zhuǎn)化為②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b與ab異號(hào)，顯然應(yīng)使a＋b>0，ab<0，當(dāng)a<0，b>0時(shí)，要使a＋b>0，則|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，要使a＋b>0，則|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.綜上，取任意兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值皆為合理答案.1234567891011121314151611.若－1<a＋b<3,2<a－b<4，t＝2a＋b，則a的取值范圍為________；t的取值范圍為__________.12345678910111213141516∵－1<a＋b<3,2<a－b<4，1234567891011121314151612.已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，則

的取值范圍是____________.(－3，－1)因?yàn)閍>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，12345678910111213141516四、解答題1234567891011121314151612345678910111213141516∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，14.已知實(shí)數(shù)a，b滿足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；1234567