熱點(diǎn)專題 1-1 基本不等式及其應(yīng)用【21類題型全歸納】（原卷版）

熱點(diǎn)題型追蹤：1-1基本不等式及其應(yīng)用近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2020年天津卷：第14題，5分基本不等式及其應(yīng)用是是高考的熱點(diǎn)，主要考查利用基本不等式求最值、求參數(shù)的取值范圍等，常與函數(shù)結(jié)合命題，題型以選擇題、填空題為主，也可作為工具出現(xiàn)在解答題中，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時(shí)要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運(yùn)用.(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會(huì)用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用2021年乙卷：第8題，5分2022年I卷：第12題，5分2023年I卷：第22題，12分題型總覽題型總覽總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）模塊一模塊一 ：核心題型·舉一反三【題型1】基本不等式的直接使用 2【題型2】常規(guī)湊配法求最值 3【題型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 5【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換 7【題型5】二次比一次型 9【題型6】分離常數(shù)型 10【題型7】與指數(shù)對(duì)數(shù)結(jié)合的基本不等式問題 12【題型8】利用對(duì)勾函數(shù) 14【題型9】判斷不等式是否能成立 16【題型10】換元法（整體思想） 19【題型11】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題 22【題型12】與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化） 26【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題 29模塊二模塊二 ：學(xué)有余力·拓展提升【題型14】消元法 31【題型15】因式分解型 33【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式） 35【題型17】萬能“k”法 37【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)） 38【題型19】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題 40【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型） 43【題型21】多次運(yùn)用基本不等式 43模塊一模塊一核心題型·舉一反三【題型1】基本不等式的直接使用如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．常用不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；基本不等式：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．若，，且，則的最小值是________若，，則的最小值為______．【鞏固練習(xí)1】若，，則的最小值為______．【鞏固練習(xí)2】已知，，且，則的最小值是________【題型2】常規(guī)湊配法求最值配湊法：加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解．1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．常見的配湊法求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(2)模型二：若，則的最小值為.已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【鞏固練習(xí)1】函數(shù)（）的最小值為．【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【鞏固練習(xí)3】已知，則的最小值為.【題型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法方法總結(jié)：乘“1”法就是指湊出1，利用乘“1”后值不變這個(gè)性質(zhì)，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值．主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值注意：驗(yàn)證取得條件．（2023·廣東廣雅中學(xué)?？迹┤粽龑?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【鞏固練習(xí)1】已知且，則的最小值是．【鞏固練習(xí)2】若，且，則的最小值為．【鞏固練習(xí)3】已知，，且，則的最小值為．【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換方法總結(jié)：通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標(biāo)化為可以使用基本不等式求最值的式子，達(dá)到解題目的．已知，，，則的最小值為．已知實(shí)數(shù)x，滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．8【鞏固練習(xí)1】若，，且，則有最小是________【鞏固練習(xí)2】正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【題型5】二次比一次型基本模型：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3函數(shù)的最小值為．【鞏固練習(xí)1】已知，則函數(shù)的最小值是．【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．【鞏固練習(xí)3】已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（

A．24 B．25 C．6+42 D．【題型6】分離常數(shù)型方法總結(jié)：對(duì)于分子分母中含有相同單一字母時(shí)，可以考慮分離常數(shù)例1：（x>0）例2：若，則函數(shù)的最小值為（）A．4B．5C．7D．9【鞏固練習(xí)1】已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在上的值域是．【題型7】與指數(shù)對(duì)數(shù)結(jié)合的基本不等式問題方法總結(jié)：結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的計(jì)算公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基本不等式求解（多選）已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】（2023廣東廣雅中學(xué)?？迹┤粽龑?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是________．【鞏固練習(xí)3】（多選）已知，則實(shí)數(shù)，滿足（

）A． B．C． D．【題型8】利用對(duì)勾函數(shù)當(dāng)無法取等時(shí)需要結(jié)合對(duì)勾函數(shù)圖像，利用單調(diào)性來得出最值當(dāng)時(shí)，的最小值為.已知函數(shù)．若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍是_______．【鞏固練習(xí)3】若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【題型9】判斷不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．（多選）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【鞏固練習(xí)2】（多選）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實(shí)數(shù)，都有D．若，則的最小值為4【鞏固練習(xí)3】（多選）下面結(jié)論正確的是（

）A．若，則的最大值是B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)（）的值域是D．，且，則的最小值是3【題型10】換元法（整體思想）對(duì)于兩個(gè)分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊整體配湊法原理是把目標(biāo)當(dāng)作一個(gè)整體，然后利用基本不等式求最值.單分母換元：當(dāng)2個(gè)分母的和為定值，可以把其中一個(gè)分母進(jìn)行換元雙分母換元：當(dāng)2個(gè)分母均為字母加減常數(shù)時(shí)，可以把2個(gè)分母都換元（單分母換元）已知，則的最小值是________A．6B．8C．4D．9（雙分母換元）已知正數(shù)滿足，則的最大值是（）A．B．C．D．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【鞏固練習(xí)1】已知，其中，，，則的最小值為．【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．【鞏固練習(xí)3】若，，，，則的最小值為．【鞏固練習(xí)4】若正實(shí)數(shù)滿足，則最小值為________【鞏固練習(xí)5】已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是．【題型11】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì)．小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（

）A．第一種方案更劃算B．第二種方案更劃算C．兩種方案一樣D．無法確定【鞏固練習(xí)2】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)(不同于A，B，O)，點(diǎn)D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于點(diǎn)E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為()A．a(chǎn)b≤a＋b2(a＞0，bB．a(chǎn)＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，bD．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞【鞏固練習(xí)3】（多選）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中不正確的是（）A．兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定．則若n次(n≥2)購買同一物品，用第一種策略比較經(jīng)濟(jì)B．若二次函數(shù)f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是C．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則3b＋2a的取值范圍是D．設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長(zhǎng)為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)P，設(shè)AB＝x，則△ADP的面積是關(guān)于x的函數(shù)且最大值為【題型12】與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化）利用基本不等式變形求解常用不等式鏈：（主要用于和積轉(zhuǎn)換）（2024·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為________【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（

）A． B．或C． D．或【鞏固練習(xí)3】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A．B． C． D．【鞏固練習(xí)3】若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)4】若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為.模塊二模塊二學(xué)有余力·拓展提升【題型14】消元法消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為．【鞏固練習(xí)1】若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1【鞏固練習(xí)2】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是 E．【題型15】因式分解型含有這類結(jié)構(gòu)的式子，可以考慮因式分解配湊成的結(jié)構(gòu)，再結(jié)合整體思想來求最值（重慶巴蜀中學(xué)校考）已知，，且，則的最小值是________【鞏固練習(xí)1】設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【鞏固練習(xí)2】若，且，則的最小值為________【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南京·三模）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為________A．B．C．D．【鞏固練習(xí)1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，12x2＋8xy－y2的最小值為________．【鞏固練習(xí)2】已知，，，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【題型17】萬能“k”法求啥設(shè)啥，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí).（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】若正數(shù)，，滿足，則的最大值是.【鞏固練習(xí)2】（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________【鞏固練習(xí)3】已知正實(shí)數(shù)x、y滿足則xy的取值范圍是________【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)）出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（）形式，引入三角函數(shù)表示和若x，y滿足，則的最大值為________（多選題）若x，y滿足，則（

）.A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】若x，y滿足，則的最大值為