本構(gòu)關(guān)系課件

例2-1對(duì)Mises屈服條件，證明證：Mises屈服條件為

=

mk

nl

mk

nlsmn=skl

例2-2對(duì)于強(qiáng)化材料，其初始拉伸屈服極限為

s，若材料處于平面應(yīng)力狀態(tài)，即

3=0，當(dāng)加上

1=2=s時(shí)，材料屈服，然后再施加應(yīng)力增量d

1與d

2，且d

1=d

2，試按Mises屈服條件與Tresca條件判斷材料所處的狀態(tài)。解（1）應(yīng)力狀態(tài)是否在屈服面上當(dāng)材料處于

3=0，

1=2=s的平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，s3=

s

，s1=s2=s，s12=s23=s13=0該應(yīng)力狀態(tài)的J2和

max分別為

J2=[(s1)2+(s3)2+(s3)2]=(s)2

max=(1

2)=s（2）加、卸載或中性變載取決(

f/ij)d

ij的符號(hào)。

對(duì)于Mises屈服條件：

d

ij=sijd

ij=s1d

1+s2d

2=0

材料處于中性變載。按Tresca屈服條件：

d

ij=d

1+

0d

2=d

1

顯然，當(dāng)d

1>0材料處于加載，反之材料處于卸載。例2-3已知處于平面應(yīng)變狀態(tài)（

z=0）中的一個(gè)材料單元，它的應(yīng)力量是

x=，

y=0，且x，y，z均為應(yīng)力的主方向。若材料為理想塑性，Poisson比

<1/2，單軸拉伸屈服極限為

s，試?yán)肕ises屈服條件求出該材料單元達(dá)到屈服時(shí)的

值。記屈服時(shí)的值為

0，屈服后加載使得

x=0+d，求z方向的應(yīng)力增量dz。解：屈服處于彈性階段，對(duì)于平面應(yīng)變狀態(tài)，因此根據(jù)虎克定律，有

z=(

x+y)=

偏應(yīng)力分量為sx=(2)，sy=(1+)，sz=(12)，sxy=syz=szx=0Mises屈服

0=在施加d

x=d時(shí)材料處于加載狀態(tài)，對(duì)于理想彈塑性則要求

d

ij=0sxdx+sydy+szdz=0由于d

y=0，最后得（1）穩(wěn)定材料：應(yīng)力增加，應(yīng)變隨之增加，即

>0，三種應(yīng)力應(yīng)變曲線（2）不穩(wěn)定材料：應(yīng)變?cè)黾?，?yīng)力減少，稱之為應(yīng)變軟化，

<0，（3）隨應(yīng)力增加，應(yīng)變減少，這種情況和能量守恒原理矛盾從1點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（是靜力可能的應(yīng)力）開始，施加某種外力使其達(dá)到2點(diǎn)（其應(yīng)力為

ij）并進(jìn)入屈服，再施加應(yīng)力增量d

ij使其加載到達(dá)3點(diǎn)（其應(yīng)力為

ij+d

ij)，然后移去所施加的外力，使微單元體卸載回到原來的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力循環(huán)

在如此的應(yīng)力循環(huán)1-2-3-4內(nèi)，附加應(yīng)力

ij

所做的功應(yīng)不小于零：

Drucker公設(shè)在應(yīng)力循環(huán)中，附加應(yīng)力在彈性應(yīng)變上所做功為零Drucker公設(shè)的兩個(gè)推論（1）當(dāng)1點(diǎn)處在屈服面內(nèi)，即

ij

又稱為最大塑性功原理，即實(shí)際應(yīng)力所做的塑性功總是大于或者等于靜力可能應(yīng)力所做的塑性功（2）當(dāng)1點(diǎn)處在屈服面上，即

ij=

（1）對(duì)于不穩(wěn)定材料（即有應(yīng)變軟化存在）的情況，應(yīng)力循環(huán)不可能構(gòu)成，因此，Drucker公設(shè)不適用于軟化材料。（2）以上關(guān)于材料性質(zhì)的Drucker公設(shè)并不是從熱力學(xué)定律導(dǎo)出的，而是在大量宏觀實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上總結(jié)出來的，它們對(duì)許多材料都適用。Drucker公設(shè)的兩點(diǎn)說明加載面外凸性定義：過加載面上的任意一點(diǎn)作一超平面與加載面相切，該超平面若不再與加載面相交，即加載面位于超平面的一側(cè)，則加載面外凸正交流動(dòng)法則塑性應(yīng)變?cè)隽勘仨氀刂夥ㄏ蚍较騨

假定屈服函數(shù)f與靜水壓力無關(guān)，必然是一個(gè)偏張量，因此，也是偏張量，即塑性體積是不可壓縮的。

d

p與n兩者方向一致，則Drucker公設(shè)變?yōu)閐

n

0只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面外時(shí)才產(chǎn)生塑性變形，即加載準(zhǔn)則。塑性勢(shì)理論類比了彈性應(yīng)變可用彈性勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)力微分的表達(dá)式，g是塑性勢(shì)函數(shù)。

g=f，相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服面正交。在Drucker公設(shè)成立的條件下，顯然有g(shù)=f

若g

f，為非關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服面不正交。Mises屈服條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則塑性應(yīng)變?cè)隽渴且粋€(gè)偏量Prandtl-Reuss本構(gòu)關(guān)系理想塑性材料

相對(duì)彈性力學(xué)問題，增加了d

未知數(shù)，也增加了一個(gè)方程（屈服條件）理想彈塑性問題，應(yīng)在平衡方程＋幾何方程＋物理方程＋屈服條件

如塑性應(yīng)變?cè)隽勘葟椥詰?yīng)變?cè)隽看蟮枚鄷r(shí)，可將彈性應(yīng)變?cè)隽亢雎?，?yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系變?yōu)?/p>

=d

sij

這是一種理想剛塑性模型。Levy-Mises本構(gòu)關(guān)系討論：當(dāng)給定應(yīng)力sij，由本構(gòu)方程可確定應(yīng)變?cè)隽縟

ij各分量的比例關(guān)系，由于d

未知，不能確定應(yīng)變?cè)隽縟

ij的大小。其物理含義是：由本構(gòu)方程，大小可以任意。但變形必須始終保持協(xié)調(diào)而受到相互限制。應(yīng)變大小的確定需結(jié)合變形協(xié)調(diào)條件。反過來若給定d

ij，則可以確定sij。Tresca屈服條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則

不規(guī)定主應(yīng)力大小順序，Tresca屈服條件可寫成f1=

2

3

s=0f2=3+1

s=0f3=1

2

s=0f4=2+3

s=0f5=3

1

s=0f6=1+2

s=0當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于f1=0上=(0

d

1

d

1)當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于f2=0上=(d

2

0

d

2)當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)在f1=0和f2=0的交點(diǎn)上

可在f1=0的法線n1與f2=0的法線n2之間變化，這個(gè)變化區(qū)域稱之為尖點(diǎn)應(yīng)變錐例2-4：有一受內(nèi)水壓p和軸向力共同作用的薄壁圓筒，內(nèi)半徑為r，壁厚為t，若圓筒保持直徑不變，只產(chǎn)生軸向伸長(zhǎng)，假設(shè)材料是不可壓縮的，在忽略彈性變形的情況下，試求圓筒達(dá)到塑性狀態(tài)時(shí)需要多大的內(nèi)水壓力。解∶環(huán)向應(yīng)變

=0，軸向伸長(zhǎng)靠筒壁變薄實(shí)現(xiàn)，各應(yīng)變分量為

=0

z=r

或e

=0

ez=erLevy-Mises流動(dòng)理論 s

=0sz=sr可得偏應(yīng)力為：