高考物理二輪復(fù)習(xí)3小題專題練（三）

小題專題練(三)數(shù)列1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝a3·a5，則a7＝()A．4 B.eq\f(1,4)C．8 D.eq\f(1,8)解析：選D.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得aeq\o\al(2,4)＝a3·a5，又a4＝a3·a5，所以aeq\o\al(2,4)＝a4，解得a4＝1(a4＝0舍去)，又a1＝8，所以8q3＝1，得到q＝eq\f(1,2)，所以a7＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,8)，選D.2．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若S10＝50，則數(shù)列{an＋an＋1}的前10項(xiàng)和為()A．100 B．110C．120 D．130解析：選C.{an＋an＋1}的前10項(xiàng)和為a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故選C.3．設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.若a3＝1，a9＝12，則S12＝()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,3)C．11 D．12解析：選C.由題意，d＝eq\f(\f(a9,9)－\f(a3,3),9－3)＝eq\f(1,6)，eq\f(a3,3)＝eq\f(1,3)＝eq\f(a1,1)＋2×eq\f(1,6)，∴a1＝0，∴S12＝0＋eq\f(12×11,2)×eq\f(1,6)＝11.故選C.4．Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2＝S6，a4＝1，正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，b2＝a4－a5，b5b1＝4beq\o\al(2,2)，則log2b10＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：選B.∵S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝2(a4＋a5)＝0，a4＝1，∴a5＝－1，∴b2＝2.又∵b5b1＝4beq\o\al(2,2)，即beq\o\al(2,3)＝4beq\o\al(2,2)，∴q2＝eq\f(beq\o\al(2,3),beq\o\al(2,2))＝4，q＝2.∴b10＝b2q8＝2×28＝29，∴l(xiāng)og2b10＝log229＝9.5．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋10,2n＋1)，Tn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積，即Tn＝a1a2…an，當(dāng)Tn取到最大值時(shí)，正整數(shù)n的值為()A．9 B．8C．8或9 D．7或8解析：選C.Tn＝eq\f(11,3)×eq\f(12,5)×eq\f(13,7)×…×eq\f(10＋n,2n＋1)，當(dāng)10＋n≥2n＋1，即n≤9時(shí)，Tn取最大值，由于T8＝T9，故選C.6．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋3,3x)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3) B．a(chǎn)n＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)C．a(chǎn)n＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3) D．a(chǎn)n＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,4)解析：選A.法一：依題意可得an＋1＝eq\f(2＋3an,3)，則有an＋1＝an＋eq\f(2,3)，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，eq\f(2,3)為公差的等差數(shù)列，則an＝1＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3)，故選A.法二：依題意可得當(dāng)n＝1時(shí)，排除B，D，a2＝eq\f(2＋3a1,3)＝eq\f(5,3)，當(dāng)n＝2時(shí)，只有A選項(xiàng)滿足題意，選A.7．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足aeq\o\al(2,n＋1)＝2Sn＋n＋4，且a2－1，a3，a7恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則a1＝()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：選C.因?yàn)閍eq\o\al(2,n＋1)＝2Sn＋n＋4，所以aeq\o\al(2,n)＝2Sn－1＋n－1＋4(n≥2)，兩式相減得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝2an＋1，所以aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋2an＋1＝(an＋1)2，故an＋1－an＝1，又aeq\o\al(2,3)＝(a2－1)a7，所以(a2＋1)2＝(a2－1)(a2＋5)，解得a2＝3，又aeq\o\al(2,2)＝2a1＋1＋4，得到a1＝2，選C.8．已知等比數(shù)列{an}，且a4＋a8＝eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為()A．π2 B．4C．π D．－9π解析：選A.由于eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx表示圓x2＋y2＝4在第一象限內(nèi)部的面積，故eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx＝eq\f(1,4)×π×22＝π，即a4＋a8＝π，又由等比數(shù)列的性質(zhì)得a6(a2＋2a6＋a10)＝a2a6＋2aeq\o\al(2,6)＋a6a10＝aeq\o\al(2,4)＋2a4a8＋aeq\o\al(2,8)＝(a4＋a8)2＝π2，故選A.9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若－am<a1<－am＋1(m∈N*，且m≥2)，則必定有()A．Sm>0，且Sm＋1<0B．Sm<0，且Sm＋1>0C．Sm>0，且Sm＋1>0D．Sm<0，且Sm＋1<0解析：選A.等差數(shù)列{an}中，－am<a1<－am＋1，則a1＋am>0，a1＋am＋1<0，所以Sm＝eq\f(m（a1＋am）,2)>0，Sm＋1＝eq\f(（m＋1）（a1＋am＋1）,2)<0.10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－1)·coseq\f(nπ,2)＋1(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S60＝()A．－30 B．－60C．90 D．120解析：選D.令k∈N*，由題意可得，當(dāng)n＝4k－3時(shí)，an＝a4k－3＝1；當(dāng)n＝4k－2時(shí)，an＝a4k－2＝6－8k；當(dāng)n＝4k－1時(shí)，an＝a4k－1＝1；當(dāng)n＝4k時(shí)，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.11．設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，?x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)．若數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,3)，an＝f(n)，n∈N*，且其前n項(xiàng)和Sn對(duì)任意的正整數(shù)n都有Sn<M成立，則M的最小值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：選C.由題意得f(1)f(n)＝f(n＋1)，即a1an＝an＋1，所以eq\f(an＋1,an)＝a1＝eq\f(1,3)，所以{an}是以eq\f(1,3)為首項(xiàng)，eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列，所以an＝eq\f(1,3n).所以Sn＝eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))<eq\f(1,2)，所以M的最小值是eq\f(1,2).故選C.12．今年“五一”以后，某市圖書館將免費(fèi)開(kāi)放，免費(fèi)開(kāi)放第一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)館，第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去并出來(lái)1人，第二個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)去8人并出來(lái)2人，第三個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)去16人并出來(lái)3人，第四個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)去32人并出來(lái)4人，……按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分圖書館內(nèi)的人數(shù)是()A．211－47 B．212－57C．213－68 D．214－80解析：選B.設(shè)從早晨6時(shí)30分開(kāi)始進(jìn)館的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則滿足a1＝2＝21－0，a2＝22－1，a3＝23－2，a4＝24－3，…，a11＝211－10，所以該數(shù)列的前11項(xiàng)和為S11＝(21－0)＋(22－1)＋(23－2)＋…＋(211－10)＝212－57.故選B.13．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則a4＝________．解析：因?yàn)镾n＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，所以a1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，a1＝1，當(dāng)n>1時(shí)，Sn－1＝eq\f(2,3)an－1＋eq\f(1,3)，此時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1，故an＝(－2)n－1，故a4＝－8.答案：－814．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S8＝S12，且a1>0，則Sn中最大的是________．解析：法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)S8＝S12可得8a1＋eq\f(8×7,2)d＝12a1＋eq\f(12×11,2)d，即2a1＋19d＝0，得到d＝－eq\f(2,19)a1，從而Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,19)a1))＝－eq\f(a1,19)(n－10)2＋eq\f(100,19)a1，由a1>0可知－eq\f(a1,19)<0.故當(dāng)n＝10時(shí)，Sn最大．法二：根據(jù)S8＝S12可得a9＋a10＋a11＋a12＝0，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a10＋a11＝0，由a1>0可知a10>0，a11<0.從而可知所有正數(shù)相加時(shí)，Sn可取得最大值，即前10項(xiàng)和最大．答案：S1015．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前10項(xiàng)和為_(kāi)_______．解析：由題意得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝eq\f(n（n＋1）,2)，所以eq\f(1,an)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1)，S10＝eq\f(20,11).答案：eq\f(20,11)16．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝3n，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的n∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Tn＋\f(3,2)))k≥3n－6恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：Tn＝eq\f(3（1－3n）,1－3)＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3n＋1,2)，所以Tn＋eq\f(3,2)＝eq\f(3n＋1,2