專題跟蹤檢測(十三)-直線與圓

專題跟蹤檢測（十三）直線與圓1．已知直線l1：x－2y－2＝0，l2：x－2y－1＝0，則直線l1，l2之間的距離為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)解析：選A由兩平行直線間的距離公式可得其距離為：d＝eq\f(|－2－－1|,\r(12＋－22))＝eq\f(\r(5),5).2．已知圓(x－1)2＋y2＝4內(nèi)一點P(2,1)，則過P點的直徑所在的直線方程是()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x＝2解析：選A由題意，圓心C(1,0)，過P(2,1)點的直徑所在的直線方程是eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－2,1－2)，即x－y－1＝0.3．(2021·北京豐臺區(qū)高三二模)“a＝1”是“直線x＋ay－1＝0與直線ax－y＋1＝0相互垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因為直線x＋ay－1＝0與直線ax－y＋1＝0相互垂直，所以1×a＋a×(－1)＝0，所以a∈R.而當a＝1時，直線x＋ay－1＝0與直線ax－y＋1＝0相互垂直，所以“a＝1”是“直線x＋ay－1＝0與直線ax－y＋1＝0相互垂直”的充分不必要條件．4．(2021·大連期末)已知圓x2＋y2＝25，則過圓上一點A(3,4)的切線方程為()A．3x＋4y－25＝0 B．4x＋3y－24＝0C．3x－4y＋7＝0 D．4x－3y＝0解析：選A圓x2＋y2＝25的圓心為O(0,0)，則直線AO的斜率kOA＝eq\f(4,3)，故切線的斜率k＝－eq\f(1,kOA)＝－eq\f(3,4)，所以切線方程為y－4＝－eq\f(3,4)(x－3)，化簡得：3x＋4y－25＝0.5．(多選)已知直線l：kx＋y＝0與圓M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，則下列說法中正確的是()A．直線l與圓M一定相交B．若k＝0，則直線l與圓M相切C．當k＝－1時，直線l與圓M的相交弦最長D．圓心M到直線l的距離的最大值為eq\r(2)解析：選BCDM：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)為圓心，以1為半徑的圓，因為直線l：kx＋y＝0，所以直線l過原點，又02＋02－2×0－2×0＋1>0，原點在圓外，所以直線l與圓M不一定相交，故A錯誤；若k＝0，則直線l：y＝0，直線l與圓M相切，故B正確；當k＝－1時，直線l的方程為y＝x，過圓M的圓心，故C正確；由點到直線距離公式，知d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋1＋2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))≤eq\r(2)(當k＝1時，等號成立)，故D正確．故選B、C、D.6．在平面直角坐標系中，直線l為雙曲線x2－y2＝1的一條漸近線，則()A．直線l與圓(x－2)2＋y2＝1相交B．直線l與圓(x－2)2＋y2＝1相切C．直線l與圓(x－2)2＋y2＝2相離D．直線l與圓(x－2)2＋y2＝2相切解析：選D雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為x±y＝0，圓(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2,0)，半徑r＝1，圓心到直線l：x±y＝0的距離d1＝eq\f(|2±0|,\r(12＋±12))＝eq\r(2)＞1，∴直線l與圓(x－2)2＋y2＝1相離，故選項A、B不正確；圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為(2,0)，半徑R＝eq\r(2)，圓心到直線l：x±y＝0的距離d2＝eq\f(|2±0|,\r(12＋±12))＝eq\r(2)，∴直線l與圓(x－2)2＋y2＝2的位置關(guān)系為相切．故選D.7．已知圓C的圓心是直線x＋y＋1＝0和直線x－y－1＝0的交點，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交的弦長為6，則圓C的方程為()A．x2＋(y＋1)2＝18 B．x2＋(y－1)2＝3eq\r(2)C．(x－1)2＋y2＝18 D．(x－1)2＋y2＝3eq\r(2)解析：選A由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,x－y－1＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以直線x＋y＋1＝0與直線x－y－1＝0的交點為(0，－1)，所以圓C的圓心為C(0，－1)，設(shè)半徑為r，由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0－4－11|,\r(32＋42))))2＋32＝r2，解得r2＝18，故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.8．已知圓C與直線x＋y＝0及x＋y－4＝0都相切，圓心在直線x－y＝0上，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：選C由題意可知直線x＋y＝0與直線x＋y－4＝0平行，且兩直線都與直線x－y＝0垂直，由此可得圓C的直徑為兩直線x＋y＝0與x＋y－4＝0間的距離，題設(shè)三條直線的交點組成的線段的中點為圓心，d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(0－－4,\r(2))))＝2eq\r(2)，r＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))即圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋2,2)，\f(0＋2,2)))＝(1,1)，即圓C的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.9．(多選)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋m))x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)．則下列四個命題正確的是()A．直線l恒過定點(－3,3)B．當m＝0時，圓C上有且僅有三個點到直線l的距離都等于1C．若圓C與曲線M：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三條公切線，則m＝16D．當m＝13時，直線l上一個動點P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則直線AB經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,9)，－\f(4,9)))解析：選ACD直線l：(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0可化為3x＋4y－3＋m(x＋3)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－3＝0，,x＋3＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3，))故直線l恒過定點(－3,3)，故A正確．當m＝0時，直線l：3x＋4y－3＝0，圓心到該直線的距離為d＝eq\f(|0＋0－3|,5)＝eq\f(3,5)，因為R－d＝eq\f(7,5)>1，故圓C上有且僅有四個點到直線l的距離都等于1，故B錯誤．因為圓C與曲線M：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三條公切線，所以兩圓外切，故|CM|＝eq\r(0－32＋0－42)＝5＝2＋eq\r(25－m)，故m＝16，故C正確．當m＝13時，直線l：4x＋y＋9＝0，設(shè)P(a，－4a－9)，則以O(shè)P為直徑的圓的方程為x(x－a)＋y(y＋4a＋9)＝0，而圓C：x2＋y2＝4，故AB的直線方程為－ax＋(4a＋9)y＋4＝0，整理得到a(－x＋4y)＋9y＋4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋4y＝0，,9y＋4＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(16,9)，,y＝－\f(4,9)，))故直線AB經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,9)，－\f(4,9)))，故D正確．10．已知圓O：x2＋y2＝8，點P為直線x＋2y－9＝0上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB過定點()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(8,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(16,9)))C．(2,0) D．(9,0)解析：選B由題意，設(shè)P(9－2m，m)，則以O(shè)P為直徑的圓方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9－2m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(m,2)))2＝eq\f(1,4)[m2＋(9－2m)2]，即x2＋y2＋(2m－9)x－my＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2m－9x－my＝0，,x2＋y2＝8，))得(2m－9)x－my＋8＝0，這就是直線AB的方程，直線方程整理為(2x－y)m－9x＋8＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,－9x＋8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,9)，,y＝\f(16,9)，))所以直線AB過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(16,9))).11．(2021·邯鄲三模)已知點P在直線x＋y＝4上，過點P作圓O：x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則點M(3,2)到直線AB距離的最大值為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選D設(shè)P(a，b)，則a＋b＝4，以O(shè)P為直徑的圓的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b,2)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋b2))，與圓O的方程x2＋y2＝4相減，得直線AB的方程為ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因為a＋b＝4，所以b＝4－a，代入直線AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，當x＝y(tǒng)且4y－4＝0，即x＝1，y＝1時該方程恒成立，所以直線AB過定點N(1,1)，點M到直線AB距離的最大值即為點M，N之間的距離，|MN|＝eq\r(5)，所以點M(3,2)到直線AB距離的最大值為eq\r(5).12．已知圓M：(x－a)2＋(y－b)2＝3(a，b∈R)與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且|AB|＝eq\r(3)，給出以下結(jié)論：①eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))是定值；②四邊形OAMB的面積是定值；③a＋b的最小值為－eq\r(2)；④ab的最大值為2，則其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)直線AB與OM交于點C，則點C為AB中點且AB⊥OM，因為|AB|＝|AM|＝|BM|＝eq\r(3)，所以△ABC為等邊三角形，故∠AMB＝eq\f(π,3)，所以eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝|eq\o(MA,\s\up7(→))||eq\o(MB,\s\up7(→))|cos∠AMB＝eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故①正確；|MC|＝|AM|sineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)，而|OC|＝eq\r(OA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，所以|OM|＝|OC|＋|MC|＝2，SOAMB＝eq\f(1,2)|AB|×|OM|＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)為定值，故②正確；因為O(0,0)，M(a，b)，所以|OM|＝eq\r(a2＋b2)＝2，所以a2＋b2＝4，利用基本不等式得：(a＋b)2≤2(a2＋b2)＝8，所以－2eq\r(2)≤a＋b≤2eq\r(2)，a＋b最小值為－2eq\r(2)，故③不正確；又a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，故④正確．綜上，正確的有：①②④.13．(2021·天津和平區(qū)高三二模)設(shè)m∈R且m≠0，若直線l：2x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，則m＝________.解析：由C：x2＋y2－4x＋2y＝0可得：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，則圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|2×2＋1＋m|,\r(22＋－12))＝eq\f(|5＋m|,\r(5))＝eq\r(5)，解得m＝－10或m＝0(舍去)．答案：－1014．(2021·南開中學高三模擬)已知兩圓的方程分別為x2＋y2－4x＝0和x2＋y2－4y＝0，則這兩圓公共弦的長等于________．解析：這兩個圓的圓心分別為(2,0)，(0,2)，半徑都是2，兩圓方程相減可得x－y＝0，這是公共弦所在直線方程，又圓心到公共弦的距離d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，所以公共弦長為l＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)15．(2021·上海金山區(qū)高三一模)已知實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則點P(－1,0)到直線ax＋by＋c＝0的最大距離是________．解析：根據(jù)題意，過點P作直線ax＋by＋c＝0的垂線，Q為垂足，若a，b，c成等差數(shù)列，即2b＝a＋c，則直線ax＋by＋c＝0為2ax＋(a＋c)y＋2c＝0，即a(2x＋y)＋c(y＋2)＝0，恒過定點M(1，－2)，又由PQ垂直于直線ax＋by＋c＝0，故△PQM為直角三角形，則Q的軌跡是以PM為直徑的圓，即x2＋(y＋1)2＝2，則點P(－1,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離即|PQ|的長，其最大值為|PM|＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2