等比數(shù)列的前n項(xiàng)和+高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列第二課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式在幾何中的應(yīng)用.(重點(diǎn))2、能夠運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問題.(難點(diǎn))3、能夠利用遞推公式解決一些實(shí)際問題.(難點(diǎn))故溫故知新1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：2、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法步驟:乘公比，錯(cuò)位寫，對(duì)位減例1：如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；（2）如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？ABCDEFGHIJKLOMNP例例題講解（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；ABCDEFGHIJKLOMNP

例例題講解（2）如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？ABCDEFGHIJKLOMNP

所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.例例題講解結(jié)方法總結(jié)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有何函數(shù)特征？變變式訓(xùn)練變式1：如果例1中所有正方形的面積之和趨近于64cm2，則最初的正方形

ABCD的面積和邊長分別為多少？

ABCDEFGHIJKLOMNP

例2：去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)寫出從今年起

n

年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計(jì)算公式，并計(jì)算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).分析：由題可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.例例題講解已知：去年生活垃圾總量20萬噸：填埋處理14萬噸，環(huán)保處理6萬噸；

總量每年遞增5%，環(huán)保處理每年增加1.5萬噸；寫出從今年起

n

年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計(jì)算公式，并計(jì)算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).解：設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位：萬噸)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位：萬噸)構(gòu)成數(shù)列{bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn

(單位：萬噸)，則：an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，Sn=(a1–b1)+(a2–b2)+···+(an–bn)=(a1+a2+···+an)–(b1+b2+···+bn)分組求和例例題講解

an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，當(dāng)

n

=5時(shí)，S5

≈63.5；所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.例例題講解結(jié)方法總結(jié)數(shù)列求和方法：分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項(xiàng)和公式，其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開：Tn＝c1+c2+…+cn＝(a1+a2+…+an)±(b1+b2+…+bn)(3)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式來計(jì)算Tn.變變式訓(xùn)練變式2：求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和公式追問：這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？你能寫出通項(xiàng)公式嗎？追問：這個(gè)數(shù)列如何求前n項(xiàng)的和公式？例3：某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，···（1）寫出一個(gè)遞推公式，表示

cn+1與

cn

之間的關(guān)系；解：（1）“每年存欄數(shù)的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭?！笨山?/p>

cn+1與

cn

之間的關(guān)系；由題意

q=1+8%=1.08，所以

cn+1=1.08cn–100.例例題講解例例題講解（2）將（1）中的遞推公式表示成

cn+1–k=r(cn–k)的形式，其中

k，r為常數(shù)；（2）展開

cn+1–k=r(cn–k)

得：cn+1=rcn–rk+k，又（1）中cn+1與

cn

之間的關(guān)系為：cn+1=1.08cn–100，比較兩式系數(shù)得：r=1.08，k–rk=–100，解得

k=1250.所以，（1）中的遞推公式可化為：cn+1–1250

=1.08

(cn–1250)；注意：（2）中設(shè)

k、r的方法為待定系數(shù)法.今年初牛存欄數(shù)為1200，每年存欄數(shù)增長率為8%，每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，···（3）求

S10=c1+c2+c3+···+c10的值(精確到1)

例例題講解結(jié)方法總結(jié)變變式訓(xùn)練2.已知數(shù)列{an}的前

n

項(xiàng)和為

Sn，若

Sn=2an+1，求

Sn.解：由

Sn=2an+1得

Sn+1=2(Sn+1–

Sn)+1，即

Sn+1–1=2(Sn–1)，

又

S1=2a1

+1，即

a1=2a1

+1，解得

a1=–1=S1，則

S1–1=–2，

所以數(shù)列{Sn–1}是以–2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

即

Sn–1=–2×2n–1=–2n，所以

Sn=–2n+1.拓拓展延伸

拓拓展延伸

若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)

項(xiàng)和，則S偶,S奇之間有什么關(guān)系？(1)若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則(2)若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n＋1項(xiàng)，則S奇＝a1＋a3＋…

＋

a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n?S偶＝qS奇?拓拓展延伸

D

又S奇

+60=S偶，則S奇

+60=3S偶,

∴S奇=30，S偶=90

結(jié)歸納總結(jié)業(yè)課堂作業(yè)（教科書第40頁練習(xí)第1題）1.一個(gè)乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍．(1)當(dāng)它第6次著地時(shí),經(jīng)過的總路程是多少（精確到1cm)?(2)至少在第幾次著地后,它經(jīng)過的總路程能達(dá)到400cm?（參考數(shù)據(jù)）1.一個(gè)乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍．(1)當(dāng)它第6次著地時(shí),經(jīng)過的總路程是多少（精確到1cm)?(2)至少在第幾次著地后,它經(jīng)過的總路程能達(dá)到400cm?（參考數(shù)據(jù)）業(yè)課堂作業(yè)（教科書第40頁練習(xí)第1題）業(yè)課堂作業(yè)（教科書第40頁練習(xí)第2題）2.某牛奶廠2015年初有資金1000萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達(dá)到50%．每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金后，剩余資金投入再生產(chǎn)．這家牛奶廠每年應(yīng)扣除多少消費(fèi)基金，才能實(shí)現(xiàn)經(jīng)過5年資金達(dá)到2000萬元的目標(biāo)（精確到1萬元)?業(yè)課堂作業(yè)（教科書第40頁練習(xí)第2題）2.某牛奶廠2015年初有資金1000萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達(dá)到50%．每年年