2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步44.1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)4.2空間圖形的公理第1課時(shí)空間圖形的公理公理123學(xué)案北師大版必修2

PAGE1-4．1空間圖形基本關(guān)系的相識(shí)4．2空間圖形的公理第1課時(shí)空間圖形的公理(公理1、2、3)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過長方體這一常見的空間圖形，了解空間圖形的基本構(gòu)成——點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系．2．理解異面直線的概念，以及空間圖形的基本關(guān)系．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3．駕馭空間圖形的公理1、2、3.(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過了解空間圖形的基本構(gòu)成，培育直觀想象素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)空間圖形的公理1、2、3提升邏輯推理素養(yǎng).空間圖形的基本關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)與線的位置關(guān)系點(diǎn)A不在直線a上A?a點(diǎn)B在直線a上B∈a點(diǎn)與面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)B在平面α外B?α直線與直線的位置關(guān)系平行a∥b相交a∩b＝O平行a與b異面直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)aα線面相交a∩α＝A線面平行a∥α平面與平面的位置關(guān)系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a對于長方體有12條棱和6個(gè)面．思索1：12條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思索2：棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？提示：棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交．思索3：六個(gè)面之間有哪幾種位置關(guān)系．提示：平行和相交．2．空間圖形的公理(1)三個(gè)公理：名稱內(nèi)容圖形表示符號(hào)表示公理1過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)若A，B，C三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則lα公理3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線若A∈α，A∈β，且α與β不重合，則α∩β＝l，且A∈l(2)公理1的三個(gè)推論：推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面．推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面．公理1及其推論給出了確定平面的依據(jù)．思索4：兩個(gè)平面的交線可能是一條線段嗎？提示：不行能．由公理3知兩平面的交線是一條直線．思索5：經(jīng)過空間隨意三點(diǎn)能確定一個(gè)平面嗎？提示：不肯定．只有經(jīng)過空間不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面．1．“直線a經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為()A．P∈a，a∥α B．a(chǎn)∩α＝PC．P∈a，P?α D．P∈a，aα[答案]C2．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對C[若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則兩平面可能相交；若這三個(gè)點(diǎn)不在同始終線上，則這兩個(gè)平面重合．]3．如下所示是表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是()D[畫空間圖形時(shí)，被遮擋部分應(yīng)畫成虛線，故選D.]4．據(jù)圖填入相應(yīng)的符號(hào)：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.[答案]∈?∩三種語言的相互轉(zhuǎn)換【例1】用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．[解](1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法1用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先細(xì)致視察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.2依據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要留意實(shí)線和虛線的區(qū)分.1．(1)假如aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l與α的位置關(guān)系是________．(2)如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，哪幾條棱所在的直線與直線BC′是異面直線？(1)直線l在平面α內(nèi)[如圖，l上有兩點(diǎn)A，B在α內(nèi)，依據(jù)公理2，lα.](2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直線與直線BC′是異面直線．點(diǎn)線共面問題【例2】證明：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．[思路探究]先說明兩條相交直線確定一個(gè)平面，然后證明另外一條直線也在該平面內(nèi)．或利用公理1的推論，說明三條相交直線分別確定兩個(gè)平面α，β，然后證明α，β重合．[解]已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法一：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可證C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可證，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和平面β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有：1先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；2先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；3假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出沖突，即用“反證法”.2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)，求證：直線AD，BD，CD共面．[證明]因?yàn)镈?l，所以D和l可確定一平面，設(shè)為α.因?yàn)锳∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α內(nèi)，即它們共面．點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題[探究問題]1．如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，假如EF，GH交于一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P，B，D共線嗎？請說明理由．提示：連接BD(圖略)．∵EF，HG相交于一點(diǎn)P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴點(diǎn)P，B，D共線．2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，能否推斷B，Q，D1提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在兩平面的交線BD1上，∴B，Q，D1三點(diǎn)共線．【例3】已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R(如圖)．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．[思路探究]解答本題可以先選兩點(diǎn)確定一條直線，再證明第三點(diǎn)也在這條直線上．[證明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直線BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．1．證明多點(diǎn)共線主要采納如下兩種方法：一是首先確定兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)公理3，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；二是選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后再證明其他的點(diǎn)都在這條直線上．2．證明三線共點(diǎn)問題的方法主要是：先確定兩條直線交于一點(diǎn)，再證明該點(diǎn)是這兩條直線所在平面的公共點(diǎn)，第三條直線是這兩個(gè)平面的交線．3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA[解]如圖，連接EF，D1C，A1B∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，且EF＝eq\f(1,2)D1C，∴D1F與CE相交于點(diǎn)P又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，依據(jù)公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA1．解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言．文字語言和符號(hào)語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要留意符號(hào)語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要留意線的實(shí)虛．2．在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用，突出先部分再整體的思想．1．思索辨析(1)不平行的兩條直線的位置關(guān)系為相交． ()(2)兩個(gè)平面的交線可以是一條線段． ()(3)直線l在平面α內(nèi)，可以表示為“l(fā)α”． ()(4)平面內(nèi)的直線與不在該平面內(nèi)的直線互為異面直線． ()[解析](1)×，不平行的兩條直線的位置關(guān)系為相交或異面，故(1)錯(cuò)．(2)×，兩個(gè)平面的交線是直線，故(2)錯(cuò)．(3)√，正確．(4)×，可能相交或平行，故(4)錯(cuò)．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]3．若a，b是異面