導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)問題必刷100題(解析版)-2022年新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+題型專項(xiàng)千題百練(新高考適用)

專題38導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)問題必刷100題

1.已知函數(shù)/(x)=axe，-(x+l)2(其中。eR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>\nx-x2-x-3,求。的取值范圍.

【答案】

(1)答案見解析；

⑵(K)

【分析】

(1)計(jì)算/'(x)=(x+l)(ae'-2),分別討論a4O、0<a<2e、"=2e、a>2e時(shí)，解不等式/'(x)>0和

/'(x)<0可得單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間即可求解；

(2)已知不等式可轉(zhuǎn)化為axe*-lnx-x+2>0對(duì)x>0恒成立，分離?？傻们炎?，令

.re

8)=\nx+x-2(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求且卜)的最大值即可求解.

XQ

(1)

由/⑴=axe：(x+1)?可得

//(x)=a(x+l)er-2(x+l)=(x+l)(aer-2),

當(dāng)a?0時(shí)，ae，-2<0，當(dāng)時(shí)，/'(x)>0;當(dāng)x>—1時(shí)，/'(x)<0,

此時(shí)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一%-1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+8)

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)=O得，x=-1,x=In—,

}2a

2

①若=即a=2e時(shí)，/'(力之。恒成立，故/(冷在R上單調(diào)遞增；

a

2

②若In—<-1,即a>2e時(shí),

a

22

由r(x)>0可得：x<ln±或X>-1；令/'(x)<0可得：ln-<^<-l

aa

此時(shí)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(-1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為

2

③若In—>—1,即0<a<2e時(shí)，

22

由/'(x)>0可得：x<-lhEx>ln-；由，(力<0可得：

aa

此時(shí)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)和?+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為1-1,In：

綜上所述:

當(dāng)心0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為%-1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+8);

當(dāng)《=2e時(shí)，/(力在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>2e時(shí)，/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,ln目和(-1,+8),

單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)。<a<2e時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-co,-1)和卜彳,+oo

單調(diào)遞減區(qū)間為卜

(2)

由/(工)>lnx-x2_x_3可得axeX-lnx-x+2>0對(duì)x>0恒成立,

lnx+x-2

即對(duì)任意的x>0恒成立,

xe'

\nx+x-2八\

令g(x)=—73—i(#>°)

則式/河…；)"+'a,

令A(yù)(x)=37nx-x,則力'(工)=一：一1<0,則。(力在(0,+。)上單調(diào)遞減,

又〃(1)=2>0,A(e)=2-e<0,故刈力=0在(0,+功上有唯一的實(shí)根,

不妨設(shè)該實(shí)根為為,

故當(dāng)xw(O,Xo)時(shí)，〃(x)>0,gf(x)>o,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)X€(Xo，+oo)時(shí),A(x)<0,g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

故8(1)皿=g(%)J/[:「2

x3

又因?yàn)?0,所以111.%+工0=3,=^,xoe°=e,

所以g(x。)二絲產(chǎn)

故a的取值范圍為+oo

2.已知函數(shù)〃》)=；加一］nx,(awZ).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(X)的極值；

(2)若不等式/(X)之(1-。)'+1恒成立，求整數(shù)。的最小值.

【答案】(1)/。)極小值=p無極大值；［2)2.

【分析】

(1)將。=1代入，求出導(dǎo)函數(shù)/'(X),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值.

(2)不等式等價(jià)于。220n：=：十0在(0,y)上恒成立,設(shè)或制=2(〃：+：+1)/€(0,+00),利用導(dǎo)數(shù)求出

x+2xx2+2x

g(x)的最大值即可求解.

【詳解】

解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/”)=(-I)&〉。),

X

令ra)=o得％=1(或1=一1舍去)，

??,當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/V)>0,/(x)單調(diào)遞增，

，/(外極小值二/⑴二：，無極大值?

(2)f(x)>{\-a)x+\,即:or?-lnxN(l-a)x+l,

即+2x)221nx+2x+2,

x>0?BPx2+2x>0?

???原問題等價(jià)于a>2(叱丁)在(0,+網(wǎng)上恒成立，

x~+2x

設(shè)g(x)=2叫+：+1)/￡(0產(chǎn))，則只需〃之g(x)mBX.

x+2x

“、2(x+l)(x+2Inx)

由g(%)=一一(>+2x)2，令4(x)=x+21nx,

2

V〃'(K)=1+￡>0,???h(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增,

x

?：A(l)=1>0,A1+21ni-=^-21n2=InJn4<0,

J存在唯一的％使得力(％)=%+2111%=0,

,當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，〃(x)<0,則g'a)〉O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x?Xo，+oo)時(shí)，則g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

??g()a-gl。廣需+2仆-x*2x。一一￡+2/三’

—即可.

X。

???x°€(g[}???2w(L2),故整數(shù)〃的最小值為2

3.已知函數(shù)/(x)=lnx-ajg(x)=〃卜+：-1)+1.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求過點(diǎn)(0,0)且與曲線y=/(x)相切的直線方程；

(2)當(dāng)acN時(shí)，不等式/(x)+g(、)>0在(L田)上恒成立，求〃的最大值.

【答案】⑴y=g-l卜；(2)3

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(叫l(wèi)n〃L〃z),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)

(0,0),求出參數(shù)機(jī)，再代入計(jì)算可得；

(2)依題意參變分離可得〃〈業(yè)巴在(1,+8)恒成立，令〃(x)/0nx+l),則。XW(LE)，

x-\x-i

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求出參數(shù)。的取值范圍，從而求出。的最大值.

【詳解】

解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=lnx-x,定義域?yàn)?0,+8),=設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(見lnm-機(jī))，則切線

的斜率2=,—1,故切線方程為y-(ln〃L〃?)=j'-l](x-m),因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0),所以

0-(In〃L/n)=('-，即加一一1,所以m=e,故切線方程為歹

(2)當(dāng)x>l時(shí)f(x)+g(x)>0恒成立，即lnx+a(g-l)+l>0在時(shí)恒成立，因?yàn)閤>l,所以：一1<0,

所以”現(xiàn)史W在(],”)恒成立，令〃3=曲巴1,xe(l,+8),即a<A(x)x?l,+8),

x-1x-\

(x-l)(lnx+2)-x(lnx+l)_-lnx+x-2

所以

W(x)=g)2n(if,令g(x)=-lnx+x-2,xe(l,+oo),則g[x)=l-->0,

所以g(x)在(L+00)上單調(diào)遞增，由g⑶=l-ln3<0,g(4)=2-ln4>0,所以存在與e(3,4),使得g(/)=0,

所以當(dāng)時(shí)〃(x)<0,當(dāng)X>Xo時(shí)〃'(x)>0,所以函數(shù)力(力在(l,x0)上單調(diào)遞減，在(/,+<?)上單調(diào)遞

增，所以力(x)min=〃(小)，又g(%)=0,即-lnXo+/-2=0,即所以

"(x)min=〃(％)=x°0n"*+D=：+)=%,所以。</，因?yàn)閍wN*,/w(3,4),所以°?3,所以。的

%-1x0-l

最大值為3；

4.已知函數(shù)/(力=/—-?

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若存在實(shí)數(shù)X,使得/(力4/+2》-3+2〃，成立，求整數(shù))的最小值.

【答案】⑴/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)％=0時(shí)，/(X)有極小值/(0)=1,無

極大值.(2)1

【分析】

⑴求出/'(x)=e、+4x-l,得到/〃(切=產(chǎn)+4>0,從而可得/'(同在我上單調(diào)遞增,且/'(0)=0,得出函

數(shù)的單的區(qū)間和極值.

(2)由題意即存在實(shí)數(shù)X,使得，+工2一3%+3?2"成立，i^g(x)=ex+x2-3x-3,即白⑺疝小川，求出函

數(shù)g(i)的導(dǎo)數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，結(jié)合隱零點(diǎn)的代換，可得答案.

【詳解】

(1)由/(x)=e*r+2x2,可得/'(x)=F+4x-l

又/"(》)=，+4>0恒成立，則廣⑺在R上單調(diào)遞增，且/'(0)=0

所以當(dāng)x<0時(shí)，Z(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>Q

所以/(》)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0，+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=0時(shí)，/(x)有極小值/(。)=1-0+0=1,無極大值.

⑵存在實(shí)數(shù)X,使得/(力4/+2>3+2小成立

即存在實(shí)數(shù)X,使得產(chǎn)一工+2/?/+2%一3+2加，即e'+x2—3x+3?2/n成立

設(shè)g。)=，+/-3x+3,即gg(x)mjn<w

g[x)=e，+2x-3,g〃(x)=，+2>0

所以g'(x)=e、2x-3在R上單調(diào)遞增.g[l)=e-l>0,g'[￡]=G2<0

所以存在x°H，使得g'(M)=O,即泊+2%-3=0,也即e"=3-2x。

所以當(dāng)X￡(-oo,Xo)時(shí)，g'(Xo)<0,g(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)方?%+8)時(shí),g’(xo)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以g(x)Ng(Xo)=c"+Xo2-3xo+3=3—2xo+x；—3xo+3

=XQ-5x0+6

當(dāng)“。*時(shí)，2<x°2一5x0+6<?

所以;g(xo)e°,￡),由題意

所以整數(shù)機(jī)的最小值為1.

5.已知函數(shù)/(x)=lnx+xsinx

(1)證明：/(X)在區(qū)間(、，上存在唯一的零點(diǎn)

(2)證明：對(duì)任意K€(0,+oo),都有/(x)<2xlnx+x(l+sinx)

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(X),令g(x)=/'(x),再求g'(x),確定g(“)的單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證；

(2)題設(shè)不等式化為(2x—l)lnx+x>0,令〃(x)=(2x—l)lnx+x,求導(dǎo)函數(shù)A'(x),令m(x)=/(x),再求導(dǎo)

得M'(X),利用加(%)確定加(x)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定制x)在唯一零點(diǎn)與，也是人勸的最小值值點(diǎn),

說明這個(gè)最小值大于0,即證結(jié)論成立.

【詳解】

證明：設(shè)g(x)=/'(x)/i」/'(x)=g(x)=，+sinx+xcosx,g'(x)=--y+2cosx-xsinx

XX

,/xeI—,冗),一一y<0,2cosx<0,xsinx>0,即g'(x)=--y+2cosx-xsinx<0

2xx~

故g(x)在區(qū)間(三,外上單調(diào)遞減

又「g(￡)=2+i>0,g(萬)=，一笈<°

2n冗

所以g(x)在區(qū)間住,乃)上存在唯一零點(diǎn)X三(0,+8)f(x)<2xlnx+x(l+sinx)

(2)要證/(x)<2xlnx+x(l+sinx),

即證(2x_l)lnx+x>0,令人(x)=(2x-l)lnA+X,貝=21nx_，+3

x

令風(fēng)力=/(X),所以Mx)在(。,+00)單調(diào)遞增

vw(l)=2>0,w(—)=1-2In2<0,所以存在唯一的所€(；,1),使得/〃(-％)=2111工0--+3=0

22%

當(dāng)0<x</時(shí)〃'(x)<0,〃(%)在(0,%)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>/時(shí)力'(X)>0,〃(x)在(與,+00)上單調(diào)遞增

故〃(x)麗=以毛)=(2/-1)1。%+%=:一(2%。-；

22x0

因?yàn)椋ァ?：」)，所以2/+￡(2,1)所以/(xj>既眩23-1)山工+》>罐成立，綜上所述對(duì)任意xe(0,+<?),

都有都x)<2xInx+x(l+sinx).

6.已知函數(shù)/(x)=/,g(x)=；/一—“e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)iSF(x)=lnx+g(x),求函數(shù)尸⑺在區(qū)間［1,3］上的最大值與最小值;

(2)若keZ,且/(x)+g(x)-%NO對(duì)任意xwR恒成立，求人的最大值.

【答案】(l)Q(xL=T+ln2,F(x)_=-4+ln3；(2)-1.

【分析】

(1)對(duì)函數(shù)&x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究其在［1,3］上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出最值；

(2)先將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為AKe'+IW-2x-l對(duì)任意xeR恒成立，令人(力=/+:/一三》一］,根據(jù)導(dǎo)

22722

數(shù)的方法求出最值，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)VF(x)=lnx+g(x)=la￥4-^x2-1^x-l,???尸?('2),

令廣(x)=0,則凡=；,馬=2,

當(dāng)xe(l,2)時(shí)，/")=色二蛇二&<0,則函數(shù)尸(力在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x?2,3)時(shí)，尸(x)=(2xT)("-2)>o則函數(shù)尸(4)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增；

?"(4n=F(2)=T+ln2,

又尸⑴=一3</(3)=-4+卜3,所以尸(x)2=—4+ln3；

(2)???/(x)+g(x)-〃>0對(duì)任意xwR恒成立，

*.ex-x1――x—\—kN0對(duì)任意xeR恒成立.，

22

:.k<ex4—x2—x—1對(duì)任意xGR恒成立.

22

令〃(x)=e、+；/一|,工一1,則/(x)=e、+x-

由于〃(x)=e，+l>0,所以力'(X)在R上單調(diào)遞增.

又“(0)=_T〈0，//(I)=e-1>0,/(g)=/-2<0,/(1)=>_:=(),

所以存在唯一的使得“伍)=0,

且當(dāng)xe(-8,Xo)時(shí)，*(力<0,xw(xo，+oo)時(shí)，//'(x)>0.

即在(F/o)單調(diào)遞減，在(x0,+oo)上單調(diào)遞增.

工M")min=hM=*+%；一在一1.

又〃'("o)=O，即=0,?\e"=Q—X。.

:、hM=2~xo+^xo_/一］=5(/2_7*o+3).

x2

又,：k￡e+—x-gx-1對(duì)任意xwR十亙成立，.,?左<A(x0),

又ksZ,：?kz=T.

7.已知函數(shù)/(x)=2F-(x-a)2+3,oeR.

(I)若函數(shù)P=/(x)的圖象在x=0處的切線與x軸平行，求。的值；

(II)若.CO時(shí)，/W>0,求〃的取值范圍.

【答案】(I)a=-1;(II)\n3-3<a<\/5-

【分析】

(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線y=/(二)在X=O處的切線方程的斜率就是/''(0)=0,寫出方程即可求得

(II)/*(x)=2(ex-x+<7),令g(x)=2(e*-x+a)因?yàn)間<x)=2(e*-1)之0,所以g(x)=2(e*-x+4)在［0,內(nèi))

內(nèi)單調(diào)遞增，g(0)=2(l+?),根據(jù)2伍+1)20與25+1)<0分類討論，當(dāng)2(a+l)20時(shí)，只需/(0)=5-g匕0

即可，解得-iKaK百；當(dāng)2(。+1)<0時(shí)，存在唯一所使得g(Xo)=2(e"-/一。)=0,有e"=x0-。，分析函

數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性知/(x)mm=/(/)=-(。"+1)(1-3),要/5端20,只需e"W3,解得0<%Kln3,

x

Xa=x0-e°,Wln3-3<a<-l.

【詳解】

(I)f,(x)=2(ex-x+a)

?:，=f(x)的圖象在x=0處的切線與X軸平行，

.J")=2(a+l尸0,解得白=_1.

(II)fr(x)=2(ex-x+a),令g(x)=2(--x+a),

則g<x)=2(e*-l)N0,

所以g(x)=2(e，-x+a)在［0,+<?)內(nèi)單調(diào)遞增，g(0)=2(l+a)，

(i)當(dāng)2(a+l)N0時(shí)，即廣(x)=2(e、—x+a)N/(0)N0,

/(x)在［0,+oo)內(nèi)單調(diào)的增，要使〃x)N0,

只需要/(0)=5-a~N0,解得—K4K,

從而石

(ii)當(dāng)2伍+1)<0時(shí)，即"T時(shí)，

由g(x)=2(/-x+a)仕［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增知，

r

存在唯一為使得g(x0)=2(e"-xo+a)=Of

有*=/一。，.“?［。，/'/0"。，/(幻單調(diào)遞減，

Axe［x0,+oo)，r?>0,/(x)單調(diào)遞增，

/(X)mn=/(X。)=2d-(/一4+3=2優(yōu)。-(蠟)2+3=-仁+1)(^-3)

只需/(x)Ein20，即eJ3,解得0<"ln3

又a=Xo-淖，得ln3-3<av-l,

綜上，ln3-3^a^V5.

8.已知函數(shù)/(x)=x-lnx+亍

(I)求函數(shù)/(x)的極值；

(II)若/(小?>"+云+1恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

【答案】(I)/(4)取得極小值1+L無極大值；(II)b^2.

e

【分析】

(1)求得/'(力，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)極值；

(II)根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(力=x7nx+"7,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性，以

X

及最值，即可求得參數(shù)范圍.

【詳解】

(I)因?yàn)?(x)=x-lnx+卞，

所以函數(shù)〃力的定義域?yàn)?0,+8),/,(4=1」+工￡=(1*’7)

xexxex

令。(x)=e*—x,故可得力'(x)=e*-l>0在(0,+<?)恒成立，

故。卜)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故力(工)>力(0)=1,故e、T>0.

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，r(x)<0,當(dāng)xe。,”)時(shí),廣(力>0,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=l時(shí)，“X)取得極小值/(l)=l+L無極大值.

C

(II)/(x)Nx(5-e')+bx+l恒成立等價(jià)于x-lnx+xe*—加一1NO恒成立.

因?yàn)閤>0,所以人工匚色土土芷二1.

x

人/、x-lnx+x^，/、x2ex+Inx

令gQ)=--------------則migl(x)=-/—.

令人(人)=*2,+Mx,則+2x)+，>0,

所以A(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又A(l)=e>0,}=

所以工wg，l)使得A(Xo)=O,即片e琳+lnx0=0.

所以當(dāng)xw(O,x())時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x?Xc，*°)時(shí)，g'(x)>0.

所以g(x)在(0，%)上單調(diào)遞減，在(小,用)上單調(diào)遞增，

所以g(￡L=江嶼產(chǎn)二?

xo

由-Inx。=0可得/e"=_yN=ln」-ex°,

X。%

而丁=、/在(0,+a)上單調(diào)遞增，所以兀=1n-!-,即

X。X。

所以g(x『"n%+W…。+1=2,

X。工0

所以b?2.

x

9.函數(shù)p(x)=lnx+x-4,q(x)=axe(awR).

(I)若"=e,設(shè)/(X)=P(X)-9(K),試證明/(x)存在唯一零點(diǎn)/e(0」)，并求八幻的最大值；

e

(II)若關(guān)于X的不等式|p(x)|>4(x)的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)苧?"。〈與￡

3/2e~

【分析】

(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，得函數(shù)單調(diào)遞減，則零點(diǎn)至多一個(gè)：再根據(jù)零點(diǎn)存在定理說明至少一個(gè)零點(diǎn)，兩者結(jié)

合得結(jié)論，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值；

(2)先變量分離得「<孫:一支再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)萬(力=則詈1單詞性，結(jié)合圖像可得有且只有

兩個(gè)整數(shù)的條件，即為實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】

(I)證明：由題知/(x)=lnr+x-4—oxe",

于是+l—e(x+l)e'=(x+)(二)

令〃(x)=l-exe",則〃'(x)=-e(x+l)e*<0(x>0),

，〃(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減.

又〃(0)=1>0,心)=1一/<0,

所以存在與€(0+｝使得〃(%)=0,

綜上/'(%)存在唯一零點(diǎn)X。efo/1

當(dāng)xw(O,x0),w(x)>0,于是/'(x)>0,/(力在(O.o)單調(diào)遞增;

當(dāng)X￡(Xo，+00),M(X)<0,于是/'(X)<O,/(%)在(%,”)單調(diào)遞減.

故/(工)a=/(%)=雙+%-4—用洲,

又〃(%)=1一%0%=0,ex=,x()=ln—=-l-lnx,

0e"氣0

故/Oax=叫+(T-岫)-4-3-=-6.

"o

nx

(II)|p(x)|>^(x),|lnx+x-4|>axex=a<1十:——

令人3=向］：一4,則“(%)=(x+l)(lnx+x-5)

令pG)=lnx+x-5,則p(x)在(0,+??)上單調(diào)遞增.

又/⑶=ln3-2<0,^?(4)=ln4-l>0,

工存在“(3,4),使得/)=0.

???當(dāng)xe(O/),研x)<0,即l(x)<0,*(x)在(0」)單調(diào)遞減；

當(dāng)#?￡,+<?),e(x)>0,即〃(x)>0,〃(%)在(f,+oo)單調(diào)遞增.

VA(l)=-1<0,A(2)=-!^<0,〃(3)=用>0,

且當(dāng)。>3時(shí),A(x)>0,

又叫邛⑵號(hào)叫3)=券，網(wǎng)4)卜普

故要使不等式式|p(x)|>q(x)解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，

。的取值范圍應(yīng)為：4

10.已知函數(shù)/(%)=2加工+(上+3卜(左€尺)，g(x)=x2e3v-l.

(1)若函數(shù)/(力在x=2處取得極值，求實(shí)數(shù)才的值;

(2)若/(x)-g(x)<0對(duì)任意的xw(0,?o)成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【答案】(1)k=-4；(2)(-￥,0).

【分析】

(1)由/'(2)=1+〃+3=0即得上=-4,驗(yàn)證知，攵=-4符合題設(shè)，即得解：

/一、f由用,x2e3x-3x-2Inx-1八,人,/、Ye”_3x-21nx-l_卜山

(2)由題得-----------------(zx>0),令人(幻=-----------------，求出

XX

力(X)mn=Mx0)=至上四二型&二1，再分析得到〃(可)=0,即得實(shí)數(shù)”的取值范圍.

X。

【詳解】

解：⑴因?yàn)?(x)=2/〃x+(4+3)x,

2

所以/(x)=—+%+3

x

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在X=2處取得極值，

所以八2)=1+%+3=0,

解得％=-4.

驗(yàn)證知，％=-4符合題設(shè)，

故無=-4.

(2)據(jù)題意得2/內(nèi)+(左+3)x</e3x_](x>0),

匚匚I、1，x~c^x—3x—2Inx—1.c、

所以丘<-----------------(x>0)

X

人,，、x2e3x-3x-2\nx-\制〃、?(l+3x)e3v+21nx-l

令〃。)=-----------------，則〃a)=q-----J---------.

XX1

令m(x)=x2(i+3x)e"+20x-l,則m(x)在區(qū)間(0,+co)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x->0時(shí),m(x)->-oo,/w(l)=4e3-l(4e3-l>0),

所以存在/w(O,l),使得用(%)=0,

所以當(dāng)xw(O,%o)時(shí)，A'(x)<0,當(dāng)xw(Xc，+<?)時(shí)，/i,(x)>0,

即函數(shù)"(x)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞減，在區(qū)間伍,+oo)上單調(diào)遞增,

3

所以當(dāng)xe(O,他0時(shí)，h(x)min=A(x0)=^-^o-2bixo-l

因?yàn)閙(與)=XQ(1+3/)e*+2lnxQ-1=0,

1-2Inx

所以￥/與(i

1+3%

令4=1,得2/nx0+3x0=0.

又當(dāng)2及為+3%=0時(shí)，1言

1I

所以=1=],2lnx0=-3x0,

1+JX0

所以力(x0)=片點(diǎn)"-3%-21nx0T=l-3xc+3x0-l=。

%x0

所以A<0,即所求實(shí)數(shù)左的取值范圍是（-8,0）.

11.已知函數(shù)/（外=小叱，meRfx>\.

X

（1）討論/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃I,丘”，且唳<?。┖愠闪?求k的最大值.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）6

【分析】

（1）求導(dǎo)，通過討論用的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）利用參數(shù)分離法，將問題轉(zhuǎn)化為A<a["4+lnx）,x>[,令秋x）=a+l）（4+m-）,利用導(dǎo)數(shù)求可力

XX

的最小值，從而確定k的最大值即可.

【詳解】

m+\nx1-zn-Inx

>1)，得/(x)

（1）由/（x）=-P-x>1,

當(dāng)1-加工0時(shí)，即mN/時(shí)，l-〃LlnxW0在[1,+8）上恒成立,

所以/（力的單調(diào)遞減區(qū)間是（I,+8）,無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)1一用>0時(shí)，即m<1時(shí)，由;（外>0,得X￡（l,ei）,

由尸(x)<0,得x?e5,y),

所以/(')的單調(diào)遞減區(qū)間是卜,m，+8),單調(diào)遞增區(qū)間是

綜上，當(dāng)7MN/時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,?0),無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)機(jī)<1時(shí)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(C—+8),單調(diào)遞增區(qū)間是

(2)f(x)=4+m+,,x>l,

X

,kr,、出，(x+1)(4+Inx)

rh--</?,得上——-------

x+\X

人M\(x+l)(4+lnx)

令h(x)=-------------------,x>\,

x

、x-3-Inx,

則/?(其)=----；----,x>\,

X

令*(x)=x-3-Inx,x>l,WO(p(x)=\-->O(x>1),

x

所以，風(fēng)x)在(1,400)遞增,^(4)=l-ln4<0,^(5)=2-ln5>0,

「?存在為￡(4,5),使*(/)=0,

且“€(1,%)，(p{x)<0,h\x)<0,/?(4)單調(diào)遞減，

xe(x?+8),(p(x)>0,h\x)>0,A(x)單調(diào)遞增,

…〃(%)=魚辿2，

X。

^(x0)=x0-3-lnx0=0,所以Xo+l=4+lnxo,

2

口-2〃\(x0+l)1r，2536)

%與k45；

,_.s+VzTz、V2T-1.5+711、八

令x+-+29—7,..=x=----------,)=------------In---------->0?

xx02v722

(,5+歷］u、J-(25"

???/￡4---,A(x0)=x0+—+2e—,7,

I2Jx0\4)

又keZ,k<6,

綜上，女的最大值為6.

12.設(shè)函數(shù)/(*)="一2-Inx(OGR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)口=1時(shí)，若對(duì)Dxw(l,+oo),都有(軟—l—lnx)x+/(x)—l<0(CwZ)成立,求2的最大值.

【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)0

【分析】

（I）/V）=（x>0）.對(duì)。分類討論，可得其單調(diào)區(qū)間.

X

（2）當(dāng)。=1時(shí)，對(duì)V-）,都有（4"1-同）x+/（x）-l<0（比wZ）恒成立,

<=>（4/:-l-lav）x+x-2-lnx-l<0<=>k<31nx+入—J,令廠（x）=lnx+3+?。?/p>

>1)?只需

左<；F（x）min/eZ）,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

【詳解】

解：⑴??,/（x）=t7x-2-lnx（x>0）,.?.尸（x）=a一!=竺匚.

當(dāng)心。時(shí)，尸（x）<0在（0,+e）恒成立，，/0）在（0,+e）是單減函數(shù).

當(dāng)心0時(shí)，令尸（力=0,解之得x=L

從而，當(dāng)》變化時(shí)，/'（X）,/（》）隨x的變化情況如下表:

1

X

-0+

/3單調(diào)遞減單調(diào)遞增

由上表中可知，/（X）在是單減函數(shù)，在+:|是單增函數(shù).

綜上,當(dāng)a?o時(shí)，/（X）的單減區(qū)間為（0,物）;

當(dāng)〃>0時(shí)?，/（X）的單減區(qū)間為（0,￡），單增區(qū)間為（5,+8）

（2）當(dāng)”1,七為整數(shù)，且當(dāng)x>l時(shí)，（4女一1-位”+/（力-1<0恒成立

o（4A-l-lar）x+x-2-lnx-l<0<=>k<4nx+也）.

令戶3=欣+：+?只需4〈（尸（x）min（*€Z）;

又尸(力4_三+/=口!E=

XXXXX

由(1)得/(X)在(1,內(nèi))單調(diào)遞增，且/(3)=1—ln3<0,/(4)=2—ln4=2(l—ln2)>0,

所以存在唯一一的x°w(3,4),使得〃/)=0,

當(dāng)xW(l,Xo)J(x)<0,即k(x)<0,F(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)X€(X°,+8)J(x)>0,即尸(X)<0,尸(X)單調(diào)遞增,

所以*=所時(shí)，產(chǎn)(x)取得極小值，也是最小值，當(dāng)Xo-2-lnXo=O時(shí)，F(xiàn)(x)mjr=F(x0)=lnr0+—+

XQ

=x0-2+—+xQ+—l,x0e0,4)

%X。%

而7=%+:-1在(3,4)為增函數(shù)，7B

即刎必w■而修制31)，

???^F(x)m.n(0,1卜.?％eZ,?.左40,即所求々的最大值為0.

13.己知函數(shù)/(工)=依2，-5-1.

(1)若/(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(x"lnx恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)^<-4：(2)(-oo,2]

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出。的范圍即可;

(2)令Mx)=/(x)-lnx(x>0),問題等價(jià)于〃(丫%/。.求導(dǎo)數(shù)，判斷力(工)的單調(diào)性，求最值即可.

【詳解】

2x

(1)定義域xeR,f(x)=(2x+\)Q-af

因?yàn)?(》)是單調(diào)遞增函數(shù)，故/'(x)20對(duì)xeR恒成立,

即aK(2x+l)e2*對(duì)xwR恒成立.

iSg(j)=(2x+l)e2\則。"⑺…

由g'(x)=4(x+l)e2x,令g'(x)=O得x=-l,

當(dāng)xc(-o),—1)時(shí)，gr(x)<0,當(dāng)xw(T,+?)時(shí)，gr(x)>0,

故g(l)在(-8，-1)單調(diào)遞減，在(T+8)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(T)=—*，

從而a<--v.

e-

(2)令〃(x)=/(x)-lnx=xe2'-lnx-ax-l(x>0),問題等價(jià)于力(“心之

由〃'(x)=(2x+l)e2x-，-a,//*(x)=(4x+4)e2x4--^->0,

:.函數(shù)〃(力在(0,+8)上是增函數(shù)，

容易證明x>0時(shí)，2x+l>1,e2*>l,

則/(x)=(2x+l)e2x_‘_Q>(2x+l)_」_Q,

由(2彳+1)-工-〃=0得，,L"]+J(”1)一+8(舍負(fù))

x4

從而取b＞竺!拉亙El，〃3）＞0：

4

1c

—+a>2

另外，容易證明（2x+l）e2x〈e2'.e2',取正數(shù)工滿足，x

(2x+l)e2x<e2x-e2x<2

1.

->2-a

C-I-+J<2-2=0.

從而取c滿足，m2'有力'(c)=(2c+l)e2,

0<c<——

4

(注：這里也可以這樣處理：當(dāng)xfO時(shí)，(2%+1卜2，-1,-^+00,

X

故/(力=(2]+*」_“->-00；

當(dāng)XT+OO時(shí)，(2x+l)e2xt+8,-0,//*(x)=(2x+l)e2x---?^+oo)

.IX

所以存在唯一的%>o,使得l(%)=0,當(dāng)xe(o,/)時(shí)，//(x)<o；

當(dāng)x?X0,+oo)時(shí)，h,(x)>0；

從而a(x)在區(qū)間(0,%)上遞減，在(x0,+oo)上遞增，

2

MJn=M%)=xoex0-\nx0-axQ-\t

2

由力'(拓)=0,得：(2x0+l)ex0--■-。=0,

*0

A2

：.ax0=(2^+x0)ex0-l,

XQ2XXQ2X

:./?(A0)=-lnx0-2C0>0,即Inx0+2C0<0.

2

設(shè)8(％)=In/+2xJex0,則夕(.％)為增函數(shù),

伊⑴=2e*>0,“(；)=1^■―In4<0,貝!j。(工0)有唯一"零點(diǎn)，設(shè)為

則e(E)=lnf+2/e”=0,M-ln/=2r2e2,?即:1日=2得'，

令〃(x)=xe，，則〃(x)單調(diào)遞增，且〃(Z)=〃(ln：),

貝iJ2/=ln1,BPe2/=i,

tt

Vfl=(2x0+l)e\--在(0月為增函數(shù)，

X。

則當(dāng)a=f時(shí),a有最大值,叫=(2+1)/—=(大+1)；_；=2,

Aa<2,即a的取值范圍是(f,2].

14.已知函數(shù)/(x)=41nx+g,其中。工0,g(x)=(x-2)ex-x--.

xx

(1)求/a)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)當(dāng)。=1時(shí)，若對(duì)任意工e(OJ,不等式/(x)+g(x)<機(jī)恒成立，求整數(shù)用的最小值.

【答案】(1)答案見解析；(2)-3.

【分析】

(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分。>0和。<0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)不等式轉(zhuǎn)化為機(jī)>lnx-x+(x-2)e，,

設(shè)函數(shù)人(x)=(x-2)e'+lnx-x,xe(0.1],利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)”x)的最大值，即可求得機(jī)的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意，可得/'。)=巴一二=坐3(%>0).

xx~X

因?yàn)?。?,所以當(dāng)。>0時(shí)，

當(dāng)46(1,+8)時(shí)，f\x)>0,函數(shù)/(X)在(1,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)xw(0,1)時(shí)，f\x)<0.函數(shù)/(X)在(0,1)上為單調(diào)遞減函數(shù).

當(dāng)”0時(shí)，

當(dāng)XW(l,+8)時(shí)，r(X)<0,函數(shù)“X)在(1,+8)上為單調(diào)遞喊函數(shù)；

當(dāng)X€(O,1)時(shí)，/'(x)>0.函數(shù)/(力在(0/)上為單調(diào)遞增函數(shù).

(2)由題意可得m>lnx-x+(x-2)eX,

設(shè)h(x)=(x-2)e*+Inx-x,xw(0.1].則〃(x)=(x-l)(e*-g),

當(dāng)0<xMl時(shí)，x-1^0.

設(shè)〃(x)=e，-L,則〃'3=/+4>0,所以?r)在(0,1)上單調(diào)遞增.

xx2

XMQ1=VC-2<0,zz(l)=e-l>0

所以&使得〃(馬)=0.即e*=J,In/=f.

當(dāng)工<0,無)時(shí)，u(x)<0,h'(x)>0；

當(dāng)xw(xo，l)時(shí)〃(x)>0,h^x)<0.

所以函數(shù)力(x)在(0,/)上單調(diào)遞增，住(和1)上單調(diào)遞減,

1(22|

所以的)max=〃(%)=(/-2)儼+111%-仆=(/-2)----2/=1----+2x0,

X。\-y0)

因?yàn)楹瘮?shù)y=i-1￡+2xoj在

上單調(diào)遞增，所以〃(%)e(-4,-3).

因?yàn)橛谩盗諼)對(duì)任意的X€(OJ垣成立，且機(jī)eZ.

所以用的最小值是-3.

15.已知函數(shù)/(x)=(x-2)2+〃lnx,其中。為常數(shù).

(1)若曲線y=/(x)在工=1處的切線在)’軸上的截距為2,求〃值;

(2)若J")存在極大值點(diǎn)小，求。的取值范圍，并比較/(.%)與天的大小.

【答案】(1)。=1；(2)。的取值范圍是(0,2),f(x.)>xQ.

【分析】

(1)求導(dǎo)得/(x),求解出/'⑴和/⑴，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再利用切線在V軸上的截距

為2,得a=1；

(2)求導(dǎo)，設(shè)g(x)=2/-4x+a=2(x-l>+a-2(x>0),由題意可判斷得/是函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一

個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，列不等式組求解。的取值范圍，表示出以刈，設(shè)函數(shù)田x)=21nx+2_i(o<x<i),求導(dǎo)判斷

x°x

單調(diào)性，從而得"上>1,即可判斷得了(x°)>/.

X。

【詳解】

解：(1)/Xx)=2x-4+-(x>0),所以/。)=。一2.

x

又/(1)=1，所以切線方程為y_l=(〃_2)(x_l),^y=(a-2)x+3-a.

由已知，3-4=2,解得a=l.

(2)f(x)=2x~~4x+a(x>0)，設(shè)函數(shù)g(x)=2x2-4x+a=2(x-l)2+a-2(x>0),

x

所以函數(shù)g(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(L”)，

因?yàn)轳R是極大值點(diǎn)，所以在與的左右兩側(cè)，/(X)的值先正后負(fù)，

即g(x)的值也是先正后負(fù)，故x°e(0,l),所以％是函數(shù)g(x)在區(qū)間(0』)內(nèi)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

卜(0)="0

^[gm=a-2<0-

解得0<a<2,故所求。的取值范圍是(0,2).

因?yàn)閄)是/(x)的極大值點(diǎn)，所以g(x0)=o,于是。=2%(270),其中0〈Xo<l.

所以空1二①二)+0=(。'-+2(2-x0)lnx0=(2-x0)(21nx0+—1V

X

X。Xox0x0V0J

設(shè)函數(shù)Mx)=21nx+2_1(O<%<1),則俏x)=2_/=2(x1)<0

XXXX

所以A(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，故h(x)>A(l)=l(0<x<l).

又所以力(當(dāng))>1,且于是2^=(270)力(與)>1,

xo

故/(%)>與.

16.已知函數(shù)/*)=/,g(x)=x，直線”。(。>。)分別與函數(shù)y=/(x),y=g(x)的圖象交于A,B兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求|力切長度的最小值；

(2)求最大整數(shù)左，使得AYa?麗對(duì)。6(0，內(nèi))恒成立.

【答案】(1)1;(2)-1.

【分析】

(1)利用函數(shù)把48的長度表示出來，借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得最小值.

(2)把向量點(diǎn)積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)解決隱零點(diǎn)問題，求得最小值的函數(shù)表達(dá)式，再求得最小值函

數(shù)的最小值即可.

【詳解】

直線>=。(。>0)分別與函數(shù)y=/(x),y=g(x)交于A,B兩點(diǎn),

則力(lnq,a),B(a,