2024年全國高考甲卷文科數(shù)學(xué)試題含答案解析

高考PAGE1試題絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷文科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1設(shè)，則（）A. B. C. D.22.若集合，，則（）A. B. C. D.3.若滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C.1 D.6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.7.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.8.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.9已知，則（）A. B. C. D.10.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則最小值為（）A2 B.3 C.4 D.611.設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④12.在中,內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)在上最大值是______．14.已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為______．15.已知且，則______．16.曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題-第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.如圖，，，，,為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到的距離.20.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．21.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點(diǎn)，若，求.23.已知實(shí)數(shù)滿足．（1）證明：；（2）證明：．絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷文科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.【詳解】依題意得，，故.故選：D2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳解】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C3.若滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出可行域后，利用的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】實(shí)數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時(shí)，有最小值，此時(shí)直線過點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率.解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.7.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積.故選：A.8.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域?yàn)椋试摵瘮?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D故選：B.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選：B.10.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時(shí)，的最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，即，令，則，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，的最小，此時(shí).故選：C11.設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)?，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)?，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確，故選：A.12.在中,內(nèi)角所對邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)在上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故答案為：214.已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺的高分別為，，所以.故答案為：.15.已知且，則______．【答案】64【解析】【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.16.曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，因?yàn)榍€與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【小問1詳解】因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.【小問2詳解】由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列前n項(xiàng)和.18.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計(jì)概率可得，根據(jù)題意計(jì)算，結(jié)合題意分析判斷.【小問1詳解】根據(jù)題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.【小問2詳解】由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計(jì)概率可得，又因?yàn)樯壐脑烨霸摴S產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.19.如圖，，，，,為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到的距離.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.【小問1詳解】由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.20.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，即可.【小問1詳解】定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證21.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡前者可得，故可證軸.【小問1詳解】設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.【小問2詳解】直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，