2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）13空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（七大題型）

1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：空間向量的坐標(biāo)表示 2題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算 3題型三：空間向量的共線與共面 3題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示 4題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示 7題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示 8題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示 11【重難點集訓(xùn)】 14【高考真題】 26【題型歸納】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示1．（2024·高二·北京房山·期中）已知，則向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B2．（2024·高二·河北滄州·階段練習(xí)）向量，，，中，共面的三個向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A：若共面，則，即，即，顯然不存在滿足題意，故不共面；同理，B，C中的三個向量也不共面；D：若共面，則，即，即，故存在滿足題意，則共面.故選：D.3．（2024·高二·北京·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以故選：A4．（2024·高二·天津西青·階段練習(xí)）設(shè)點，，，若，則點的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點B的坐標(biāo)為，則，∵，∴，解得，故選：C．題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運算5．（2024·高二·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】因為，所以.故答案為：.6．（2024·高二·遼寧沈陽·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若四邊形為平行四邊形，則的值分別為．【答案】【解析】，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以．故答案為:.題型三：空間向量的共線與共面7．（2024·高二·浙江麗水·期末）向量，，若與共線，則,．【答案】.3.【解析】分析：利用向量共線定理即可得出．與共線，∴存在實數(shù)使得：，，故答案為，.8．（2024·高二·山東濟寧·期末）若空間三點共線,則=;=【答案】32【解析】由題意得;,依題意可得，則，解得,故答案為：3；29．（2024·高二·北京豐臺·期末）已知向量，，若與共線，則.【答案】【解析】向量，，若與共線，則有，解得.故答案為：10．（2024·高二·廣東·期末）已知向量與共線，則.【答案】15【解析】由，得，解得.故答案為：1511．（2024·高二·河北石家莊·階段練習(xí)）已知點A?B?C?D的坐標(biāo)分別為，且A，B，C，D四點共面，則.【答案】3【解析】由題意，A，B，C，D四點共面故，使得又故解得故答案為：3題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示12．（2024·高二·廣東佛山·期末）在棱長為的正方體中，點是的中點．設(shè)在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、，，，由題意可知，，所以，.故選：C.13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知的頂點分別為，，，則AC邊上的高BD等于（

）．A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【解析】設(shè)，則，，因為，所以，即，解得，所以，所以，故選：C14．（2024·高二·福建泉州·期末）若，，，，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【解析】根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)表示，由題中條件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.因為，，，，，所以，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，則的最小值為.故選：C.15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若，且與的夾角的余弦值為，則()A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，因為與的夾角的余弦值為，所以==，解得，∴=，故選：C．題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知兩平行直線的方向向量分別為，，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3C．1或3 D．以上答案都不正確【答案】C【解析】由題意知.因為，，所以的充要條件是，所以，顯然符合題意，當(dāng)時，由，得，代入，得.綜上，的值為1或3.故選：C17．（2024·高二·甘肅慶陽·期中）已知向量分別是直線的一個方向向量，若，則（

）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，所以.故選：C.18．（2024·高二·河南平頂山·階段練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，因為，所以A不正確；對于B，因為，所以B正確；對于C，因為，所以C不正確；對于D，因為，所以D不正確．故選：B．19．（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）已知，若，則實數(shù)等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由，得，又，且，則，所以.故選：B題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示20．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）向量，，且，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由向量，，可得，結(jié)合，，即，得，結(jié)合，解得，則.故選：A21．（2024·高二·廣東茂名·期末）如圖，正三棱柱的棱長都是1，M是的中點，（），且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，，設(shè)，由，得，所以，，，所有，，因為，，所以，得.故選：C.22．（2024·高二·陜西銅川·階段練習(xí)）已知，，空間向量與垂直，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，而，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最大值.故選：D.23．（2024·高二·江蘇淮安·階段練習(xí)）向量，若，且，則的值為（）A．或1 B．1 C．3或 D．3或1【答案】A【解析】由，則，可得，又，則，可得，當(dāng)，則；當(dāng)，則；所以的值為或1.故選：A24．（2024·高二·陜西渭南·期末）若點，，，，且，則（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】，因為，所以，解得，所以，所以，故選：C題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示25．（2024·高二·遼寧大連·階段練習(xí)）已知，，則最大值為.【答案】【解析】由題意可得：，當(dāng)時，則，因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以；當(dāng)時，；綜上所述：的最大值為，故答案為：.26．（2024·高二·江蘇鹽城·期末）已知，，點在直線上運動，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，既然求最大值，必有，令，則，當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為.故答案為：.27．（2024·高二·吉林·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，向量滿足，且與向量的夾角的余弦值為，請寫出一個向量的坐標(biāo)：.【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)，由，得則向量的一個坐標(biāo)為：.（答案不唯一，坐標(biāo)滿足即可）故答案為：.（答案不唯一）28．（2024·高二·安徽宿州·期中）空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且法向量為的平面點法式方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的空間直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：若空間直線的方程是，直線是兩個平面與的交線，則直線夾角為．【答案】/【解析】由題意空間直線：的方向向量為，直線是兩個平面與的交線，所以直線上的點滿足，不妨設(shè)，則，所以，所以直線的方程為，從而直線：的方向向量為，設(shè)直線夾角為，所以，所以.故答案為：.29．（2024·高二·北京通州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為；在的投影向量.【答案】/0.5【解析】因為，，，所以，，所以，在的投影向量為.故答案為：12；.30．（2024·高二·上海奉賢·期中）如圖，為正方體，動點在對角線上，記．當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為．

【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則；，，因為，所以，，設(shè)，則，即，解得，所以，則，，，與是異面直線，顯然不是平角，則為鈍角，有，解得．所以的取值范圍為．故答案為：.【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高二·山東煙臺·期末）已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，因為與垂直，所以，解得，所以，所以，故選：B.2．（2024·高二·湖南常德·階段練習(xí)）已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，解得當(dāng)共線時，由，即解得，所以當(dāng)夾角為鈍角時，故選：B3．（2024·高二·福建三明·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，點P是的中點，則點P的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，長方體中，，，，可得，因為點為的中點，由中點公式可得，點的坐標(biāo)為.故選：A.4．（2024·高二·河北張家口·開學(xué)考試）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，則故向量在向量上的投影向量是故選：C.5．（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）已知分別是空間直角坐標(biāo)系中軸、軸、軸的正方向上的單位向量，且，則點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【解析】因為且是坐標(biāo)原點，所以由空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的定義可知點的坐標(biāo)是.故選：A.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將正方體置于空間直角坐標(biāo)系中，且A在平面中，點和點的連線是一條體對角線．設(shè)，，，和分別是點，在平面上的投影．可得，，，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)點C為的中點時，等號成立，可得，所以，當(dāng)，，且時等號成立．故選：B7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知正方體不在同一表面上的兩個頂點，，則正方體的體積為（

）A．32 B．64 C．48 D．【答案】B【解析】，又因為，兩點不在同一表面上，所以A，B兩點間的距離即為正方體的體對角線長.設(shè)正方體的邊長為a，則，即，所以正方體的體積為64.故選：B8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）點P在平面內(nèi)的直線上，點P到點的距離最小，則點P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可設(shè)點，當(dāng)與平面內(nèi)的直線垂直時，最小，，因為點在平面內(nèi)的直線上，所以位該直線的一個方向向量，當(dāng)最小時，，即，此時所以當(dāng)時，取最小值，此時點.故選：C．9．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知向量，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，，故，故A錯誤；對于B，，，故B正確；對于C，，故，故C錯誤；對于D，，故，故D正確.故選：BD10．（多選題）（2024·高一·吉林通化·期末）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為 D．的最大值為4【答案】AC【解析】對于A，若，且，則存在唯一實數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，化簡得，因為，所以無實數(shù)解，故B錯誤；對于CD，，故當(dāng)時，取得最小值為，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：AC.11．（多選題）（2024·高二·福建龍巖·期中）如圖，正方體的棱長等于2，K為正方形的中心，M，N分別為棱，的中點.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．的面積為【答案】ACD【解析】以點E為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，.A：，，，，A正確.B：，B錯誤.C：，C正確.D：因為，則，所以，，，所以的面積，D正確.故選：ACD.12．（2024·高一·陜西寶雞·期末）已知，，點在軸上，且，則點的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，依題意得，解得，所以點P的坐標(biāo)為.故答案為：13．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，，原點是的中點，點，點在平面內(nèi)，且，，則的長為.

【答案】【解析】過點作,垂足于點，如圖所示：因為，，所以.又，.因為，，所以，則的長為.故答案為：.14．（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點.點為正方體表面上的動點，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點，使得；③存在點，使得；④是等腰三角形.

其中，所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對①，由正方體性質(zhì)知當(dāng)P在時，線段長度的最大值為，此時，，所以，即滿足，故①正確；對②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運動到處時，，此時，，，即不滿足，綜上不存在點，使得，故②錯誤；對③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡可得，解得，顯然當(dāng)時滿足題意，即存在點，使得，故③正確；對④，設(shè)，若，則，化簡可得，由③知時可得，所以不妨取，此時在正方體表面上，滿足題意，故④正確.故答案為：①③④15．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，底面是邊長為的正方形，與的交于點，，是邊上靠近的三等分點．

(1)設(shè)，，，用，，表示向量；(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量的坐標(biāo)．【解析】（1）依題意，，，，，，．（2）依題意，點，，，，．16．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知空間三點，，．(1)求的面積；(2)若向量，且，求向量的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)向量的夾角為，由空間三點，，，可得，，，，可得，因為，所以，所以三角形的面積為．（2）因為，所以，其中，因為，可得，即，所以，即或．17．（2024·高二·全國·課堂例題）已知點，，如圖，以的方向為正向，在直線上建立一條數(shù)軸，，為軸上的兩點，且分別滿足條件：（1）；（2）．求點和點的坐標(biāo)．

【解析】（1）由已知，得，即，．設(shè)點坐標(biāo)為，則上式用坐標(biāo)表示，得，即，，．因此，點的坐標(biāo)是．（2）因為，所以，即，．設(shè)點的坐標(biāo)為，則上式用坐標(biāo)表示，得，即，，．因此，點的坐標(biāo)是．18．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，，是的中點，，點在上，且．是否存在實數(shù)，使四點共面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；【解析】假設(shè)存在實數(shù)，使四點共面．由正三棱柱的性質(zhì)可知為正三角形，取的中點，連接，則．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．故以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，在平面內(nèi)，以過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，．因為，所以．若四點共面，則存在滿足，又，所以，解得，故存在實數(shù)，使四點共面．19．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在棱長為1的正方體中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)若點P在線段上，且滿足，試寫出點P的坐標(biāo)，并寫出點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)；(2)在線段上找一點M，使得點M到點P的距離最小，求出點M的坐標(biāo).【解析】（1）因為，所以，又，設(shè)，則，解得，所以點P的坐標(biāo)為，故點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為.（2）由得，故設(shè)線段上一點M的坐標(biāo)為，，則有，當(dāng)時，最小，所以點M的坐標(biāo)為.【高考真題】1．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，對A，