2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）14空間向量的應(yīng)用（七大題型）

1.4空間向量的應(yīng)用目錄【題型歸納】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【重難點集訓(xùn)】【高考真題】【題型歸納】題型一：求平面的法向量1．（2024·高二·全國·課堂例題）在正方體中，，分別為棱，的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：

(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量．【解析】（1）設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，（1）設(shè)平面的一個法向量為，，，則即令，則，，平面的一個法向量為．（答案不唯一）（2），，設(shè)平面的一個法向量為．即令，則，，平面的一個法向量為．（答案不唯一）2．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，是邊長為1的正三角形，是菱形，，E是的中點，F(xiàn)是的中點，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面的一個法向量.

【解析】連接，因為是邊長為1的正三角形，，F(xiàn)為的中點，所以，又因為平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.連接AC，因為，，所以是等邊三角形，又F為的中點，所以.綜上可知，直線兩兩垂直，所以建立以為原點，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由題意，在正和正中，，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，化簡得，令，則，即所以平面的一個法向量為（答案不唯一）.3．（2024·高二·廣東江門·期末）如圖，在棱長為3的正方體中，點在棱上，且．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面的一個法向量；(2)求平面的一個法向量．【解析】（1）因為x軸垂直于平面，所以是平面的一個法向量．（2）因為正方體的棱長為3，，所以M，B，的坐標(biāo)分別為，，，因此，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，．于是是平面的一個法向量．4．（2024·高二·全國·課堂例題）如圖所示，已知空間直角坐標(biāo)系中的三棱錐中，，其中，求平面的一個法向量．【解析】依題意，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因此所以平面的一個法向量為．題型二：利用向量研究平行問題5．（2024·高二·全國·課堂例題）如圖，在平行六面體中，，，分別是，，的中點，請選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄孔C明：(1)；(2)平面平面．【解析】（1）取基，因為，，所以，又，無公共點，所以．（2）因為，，所以，又，無公共點，所以．又平面，平面，所以平面．又由（1）知，同理可得平面，又，平面，所以平面平面．6．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點.求證：平面；【解析】底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，故，，兩兩垂直.以為原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，在四棱臺中，，，P為AB的中點，故,則,所以，即，且平面，平面，故平面.7．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面滿足，底面，且，E為中點．求證：面【解析】由題可知底面，，故兩兩垂直．則以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建系，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，而，所以，又面，∴面；8．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，且點分別為和的中點，求證：平面.【解析】以為原點，分別以所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，又因為分別為和的中點，可得，又由向量為平面的一個法向量，且,由此可得，又因為直線平面，所以平面.題型三：利用向量研究垂直問題9．（2024·高二·全國·課堂例題）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，為的中點，于點．求證：平面．

【解析】因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，．所以，，．法一：因為，所以，所以，又因為，，平面，所以平面．法二：設(shè)，則，．因為，所以，即．①又因為，可設(shè)，所以，，．②由①②可知，，，，所以．設(shè)為平面的法向量，則有，即，所以，取，則．所以，所以平面．10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，為線段的中點.證明：.

【解析】取中點，作，如圖，以中點為原點，以方向為軸，過O垂直平面的方向為z軸，建立如下空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，，又是等邊三角形，設(shè)，因為為線段的中點，所以，，故，所以，，得到，因為，所以，而，，所以，解得，所以，，所以，設(shè)，因為是等邊三角形，所以，故，而，，所以，解得，所以，因為，所以，又，，故，由兩點間距離公式得，解得，所以，故，而，可得，故得證.11．（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.

(1)若點是棱上的動點，且滿足，證明：平面；(2)若點為棱上的一點（不含端點），試探究上是否存在一點N，使得平面ADN平面BDN？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,因為點是棱上靠近的三等分點，即，則，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，滿足令，則，則．，∴，又平面，所以平面．（2）存在．設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，滿足令，則，故?。O(shè)平面的法向量為，滿足令，則，故取，若平面平面，則，即解得，此時為的中點，則．12．（2024·高二·山西大同·期中）如圖，在直三棱柱中，，垂足為，為線段上的一點.(1)若為線段的中點，證明：平面；(2)若平面平面，求的值.【解析】（1）連接，在直三棱柱中，有，.為中點，又為中點，，，，又平面平面，平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面平面，，解得，當(dāng)平面平面時，.題型四：異面直線所成的角13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中，，，求向量與的夾角.【解析】直三棱柱中，平面，平面，平面，則有，故，，由，，有，得，故，又，E為的中點，有.，有.得有＝，又，所以.即向量與的夾角為.14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在棱長為a的正方體中，求異面直線和所成角的大?。?/p>

【解析】方法一：以D為原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．所以，所以．又因為異面直線所成角滿足，所以異面直線和所成角的大小為．方法二：因為，所以．因為，所以，而，所以．所以，所以．又因為異面直線所成角滿足，所以異面直線和所成角的大小為．題型五：線面角15．（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）已知四棱錐中，平面底面為的中點，為棱上異于的點．(1)證明：；(2)試確定點的位置，使與平面所成角的余弦值為．【解析】（1）如圖，連接交于點．因為為的中點，，所以．因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以．因為，所以，所以，所以，因為平面，所以平面．因為平面，所以．（2）如圖，取的中點，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)，所以，所以，即．則，設(shè)平面的法向量為，則即取，設(shè)與平面所成的角為，由，得．所以，整理得，因為，所以，即，故當(dāng)位于棱靠近的三等分點時，與平面所成角的余弦值為．16．（2024·高二·廣東廣州·期中）如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）以為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，因為，所以平面；（2），，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：．17．（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，，分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，在中，因為分別為，的中點，所以又平面，平面，所以平面．（2）因為直三棱柱中，為側(cè)棱，所以平面，因為平面，所以，又為直角，所以又，平面，所以平面，因為平面，所以，由（1），所以.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，因此，．設(shè)平面的法向量為，，即令，則，于是，設(shè)直線與平面所成角為．所以．18．（2024·廣東深圳·一模）如圖，平面ABCD，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點．(1)求證：平面CPM；(2)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為，求的值．【解析】（1）連接EM，由，得，又，則四邊形為平行四邊形，由點E和M分別為AP和BQ的中點，得且，而，F(xiàn)為CD的中點，則且，四邊形為平行四邊形，則，又平面MPC，平面MPC，所以平面MPC．（2）由平面，，得直線兩兩垂直，以D為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面PQM的法向量，則，取，得，設(shè)，即，則，，由直線DN與平面PMQ所成的角為，得，即，整理得，而，解得，所以.題型六：二面角19．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在長方體中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，．(1)求證：平面平面AEF；(2)當(dāng)，，求平面與平面的夾角的余弦值．【解析】（1）為長方體

平面平面∴

又，且，平面，平面平面AEF

平面平面（2）依題意，建立以D為原點，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為．則，即令，則．．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為20．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是梯形，，E，F(xiàn)，G分別為，CD的中點．(1)證明：平面．(2)若，求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，連接.因為是的中位線，所以，且.同理可得，且.又，且，所以，且.則四邊形是平行四邊形，從而.因為平面，平面，所以平面.（2）在直四棱柱中，因為，所以兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因為，所以，則設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以易知二面角為銳角，所以其余弦值為.21．（2024·高三·四川達州·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)求證：平面；(2)設(shè)點滿足，若平面與平面的夾角為，求實數(shù)．【解析】（1）證明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）由（1）知四邊形為正方形，即，且有，以點為原點，以所在直線分別為軸，以過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．，．設(shè)平面的一個法向量為，由得：，?。桑?）知平面平面的一個法向量為，，解得.所以.22．（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面∥為的中點.(1)若，證明：平面；(2)已知，平面和平面的夾角的余弦值為，求.【解析】（1）因為平面平面，可知，且為的中點，則，若，即，則，且，平面平面，所以平面.（2）由題意可知：平面，，以A為坐標(biāo)原點，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；由題意可得：，解得（舍負），所以.23．（2024·高二·河南焦作·開學(xué)考試）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，.(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）由題可知，得，設(shè)平面的一個法向量為，所以有，令解得，故平面的一個法向量，所以點到平面的距離為.（2）由題可知，得，設(shè)平面的一個法向量為，所以有，令解得，故平面的一個法向量，同理平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，顯然為銳角，則.題型七：距離問題24．（2024·高二·江蘇淮安·階段練習(xí)）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折疊使得△ACD垂直于底面ABC，則異面直線AD與BC的距離為．【答案】/【解析】取的中點，連結(jié)，，由條件可知，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，如圖，以點為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，,設(shè)與垂直的向量為，則，令，則，所以，則異面直線AD與BC的距離為.故答案為：25．（2024·高二·浙江金華·期中）已知在棱長為4的正方體中，.

(1)求點到直線的距離；(2)求點到平面的距離；(3)在此正方體中，，則稱線段的長為異面直線與的公垂線段長，也稱為異面直線與的距離.試求異面直線與的距離.【解析】（1）如圖根據(jù)正方體性質(zhì)，可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，可以得到各點坐標(biāo)．，，，，．，，，則點到直線的距離.（2），，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，則.則到平面的距離.（3），，，設(shè)與的公垂線方向向量為.則，解得，則.則異面直線與的距離.26．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知正方體的棱長為1，為中點，求下列問題：(1)求異面直線與的距離；(2)求到平面的距離；(3)求到平面的距離；(4)求平面與平面的距離.【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，、、、、，所以，，設(shè)是與，都垂直的向量，則，即，即，令得，選與的兩點向量為，得與的距離.（2），設(shè)為平面的法向量，則，即，即，令得，選點到平面兩點向量為，由公式得：點到平面的距離.（3）由（2）可知：平面的法向量可設(shè)，設(shè)與平面的兩點向量為，故直線到平面的距離.（4），，設(shè)分別為平面、平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得點到平面的距離即為所求，，所以點到平面的距離為，故平面與平面的距離為.【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）如圖，在正方體中，分別為的中點，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】化為空間向量問題，以作為基底，則，設(shè)向量和的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于.進行向量運算因為四面體為正四面體，所以且夾角均為，所以.故選：C.【法二】分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2，得得.設(shè)向量和的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于.進行向量運算得..故選：C【法三】連接，易得，則直線和夾角即為直線和所成角或其補角，設(shè)正方體的棱長為2，則中，，由余弦定理得，.故選：C2．（2024·高二·河南焦作·開學(xué)考試）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由空間直角坐標(biāo)系中有棱長為2的正方體，點分別是和的中點，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.3．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．4．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）正方體中，點M是上靠近點的三等分點，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是正方體，所以平面平面,平面平面,平面平面,所以,是靠近的三等分點，所以,平面平面即是,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為3，則設(shè)直線l與所成角為.故選：D.5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知平行六面體中，棱兩兩的夾角均為，，E為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意以為基底表示出可得：，，又棱兩兩的夾角均為，不妨取，則；所以；；又；所以，因此異面直線與所成角的余弦值為.故選：D6．（2024·高二·陜西西安·期末）在正方體中，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.7．（2024·高二·湖南株洲·開學(xué)考試）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．直線與所成的角不可能是B．若，則二面角的平面角的正弦值為C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，點到平面的距離為【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，設(shè)，故，故，而，設(shè)直線與所成的角為，則，若直線與所成的角是，則，整理得到：，此方程在上無實數(shù)解，故直線與所成的角不可能是，故A正確.對于B，當(dāng)時，結(jié)合A分析得，此時，故，而，設(shè)此時平面的法向量為，則即，取，則，，故，又，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，故，故二面角的平面角的正弦值為，故B錯誤.對于C，當(dāng)時，又B的分析可得，故，故，故C正確.對于D，當(dāng)時，結(jié)合A中分析可得，故，故，而，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，又，故到平面的距離為，故D正確.故選：B.8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）正方體的棱長為2，，，，分別是棱，，，的中點，則平面和平面之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向，并均以1為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，所以，因為四點不共線，所以∥，由面，面，則面，因為，，分別是棱，的中點，所以∥，同理，∥平面，而，面，所以平面∥平面面，故平面，所以平面和平面之間的距離，就是到平面的距離，也就是點到平面的距離．設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，所以點到平面的距離，即平面和平面之間的距離是．故選：B9．（多選題）（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點為線段（除端點外）上的動點，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（

）A．存在點，使平面.B．當(dāng)點固定在線段的某位置時，點的運動軌跡為圓C．點到平面的距離為D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是【答案】BCD【解析】對A，無論在（端點除外）的哪個位置，均不與垂直，故不與平面垂直，故A錯；對B，當(dāng)點固定在線段的某位置時，線段的長度為定值，，過作于點，為定點，的長度為定值，且在過點與垂直的平面內(nèi)，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故B對；對C，以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，設(shè)平面的法向量為，，取，則點A到平面的距離為，故C對；選項D：設(shè)，，，，設(shè)與所成的角為，則，故D正確.故選：BCD．10．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，是正三角形的一條中位線，將沿折起，構(gòu)成四棱錐，為的中點，則（

）A．平面B．平面C．若平面平面，則的一個方向向量為D．若，則平面的一個法向量為【答案】BCD【解析】對于A，若平面，因為，平面，平面，所以平面，又因為，所以平面平面，但平面與平面相交，所以假設(shè)不成立，所以不平行平面，不正確；對于B，因為，，所以，，又因為，所以平面，正確；對于C，將沿折起，使到，且平面平面，以的中點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三角形的邊長為2，則，，，，，，正確；對于D，設(shè)，因為，，所以，所以，，，因為，所以，所以，，設(shè)平面，所以，故，正確．故選：BCD．11．（多選題）（2024·高三·河北·階段練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，，，點在長方體的表面上運動.則下列說法正確的是（

）A．B．直線與所成角的余弦值為C．若，則四面體的體積的最小值為4D．若，則點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】對于A，由，知為靠近點的三等分點，所以延長后會相交與一點，又因為,所以直線與平面會相交，所以，故錯誤；對于B，因為,為長方體，所以由勾股定理可得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以,則直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，,（定值），因為，點在以為球心，半徑為3的球面上運動，所以當(dāng)運動到上時，四面體的體積最小，四面體的體積最小,此時,所以，故C正確；對于D，當(dāng)，如圖所示，在后側(cè)面的軌跡為，在右側(cè)面的軌跡為，在左側(cè)面的軌跡為弧，在前側(cè)面內(nèi)的軌跡為弧.，，，則，則的軌跡長度為.故D正確.故選：BCD12．（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）二面角中，，且，若，，則此二面角的大小為．【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)題意知：，，，，易知二面角的平面角即，所以，即，由空間向量夾角的范圍知，所以，即此二面角的大小為.故答案為：13．（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記，當(dāng)MN的長最小時，平面MNA與平面MNB夾角的正弦值為.【答案】【解析】以原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因為，所以，所以，當(dāng)時，最小，此時，為中點，則，取的中點，連接，則，因為，，所以，，所以是平面與平面的夾角或其補角，因為，，所以，所以平面與平面夾角的余弦值是，所以平面與平面夾角的正弦值是．14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，正方體的棱長為2，E、F分別是棱BC、的中點，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，若平面AEF，則線段長度的最小值是．【答案】/【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，設(shè)點，其中、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，因為平面，則，所以，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，的長度取最小值.故答案為：.15．（2024·高三·山東煙臺·開學(xué)考試）如圖，矩形中，為的中點，將沿折起，使平面平面，且點滿足，且.(1)求直線與平面所成角的正切值；(2)求幾何體的體積.【解析】（1）取中點中點，連接，由題易得，，面面，面面面，∴平面，又為中點，則在矩形中，四邊形為正方形，，兩兩垂直，且.以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.，平面的一個法向量為..，則，，則直線與平面所成角的正切值為.（2）..，.所求幾何體的體積為2.16．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面.(1)若，證明：平面；(2)若，且，線段上是否存在一點，使得二面角的正弦值為？若存在，求出點在線段上的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，又平面，則平面，而平面，于是，由，得，則，又平面平面，所以平面.（2）由（1）知，過點作平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，假設(shè)存在點滿足條件，令，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由平面，得為平面的法向量，由二面角的正弦值為，得，即，而，解得，所以點是線段上靠近點的三等分點，使得二面角的正弦值為.17．（天舟高考?衡中同卷2024屆高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E是線段PC的中點．(1)證明：；(2)設(shè)，．記直線BE與平面PBD所成的角為，求的最大值．【解析】（1）取的中點為，連接，又因為E是線段PC的中點，所以，且；又，，可得，，所以四邊形為平行四邊形，即；由平面ABCD,平面ABCD，所以，又，平面，，所以平面，也即平面，又平面，可得，又，因此.（2）由（1）可知三條直線兩兩垂直，因此以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，可得，所以設(shè)平面PBD的一個法向量為，所以，令，可得，即由直線BE與平面PBD所成的角為，可得；由可得令，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，可得所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.18．（2024·高三·江蘇常州·開學(xué)考試）如圖，平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且，，，，AC與BD交于O．(1)證明：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∴．∵，，∴，∴．∵點O為線段BD中點，∴．在中，，，，∴，∴．則，∴．又，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．（2）由（1）知，平面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，取，則．，即，取，則．設(shè)二面角大小為，則．∴，∴二面角的正弦值為．19．（2024·高三·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，分別為棱的中點，為棱上的動點．

(1)求正四棱柱過點的截面的面積；(2)是否存在點，使得二面角的大小為?若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．【解析】（1）連接，，取的中點為，連接，，因為為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，即四點共面又，分別為棱的中點，則,因此，過點的截面即為菱形又，，所以菱形的面積為：，即正四棱柱過點的截面的面積為.（2）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，因為為棱上的動點，可設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量，，，則，即，取，則，即；設(shè)平面的法向量，，，則，即，取，則，即，若存在點，使得二面角的大小為．則，解得，(舍)當(dāng)與重合時，即，此時二面角為銳角，又當(dāng)二面角的大小為時，則，因此要使二面角為銳角，而，即時，二面角的大小為，所以棱上不存在點，使得二面角的大小為.【高考真題】1．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.2．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)II卷））在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.3．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國大綱卷））已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，面積為考點：線面角4．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國Ⅱ卷））直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，，A（1，0，0），，故，，所以，故選C.考點：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運算，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問題與解決問題的能力.5．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷））如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝＝.6．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）取的中點為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因為，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為7．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.8．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．【解析】（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點到平面的距離為.9．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【解析】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中