陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?為生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線l經(jīng)過，兩點，則l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由斜率公式得，l的斜率為．故選：B2.已知數(shù)列的前4項分別為，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分數(shù)部分正負相間，首項的分數(shù)部分為負，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個通項公式可以為，故選：D3.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得雙曲線離心率，解得，（負值舍），則，故雙曲線的漸近線方程為.故選：D4.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，當時，，可得，當時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.5.拋物線的焦點為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將拋物線的方程整理為標準形式得，可知該拋物線的焦點在軸負半軸上，且，即，所以拋物線的焦點坐標為.故選：B.6.若數(shù)列滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因為，令，可得，則；令，可得，則.故選：D.7.已知橢圓的左焦點為，且橢圓上的點與長軸兩端點構成的三角形的面積的最大值為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為橢圓的左焦點為，所以.又因為橢圓上的點與長軸兩端點構成的三角形的面積的最大值為，所以，結合，可得，故橢圓的方程為.故選：A.8.在三棱錐中，平面分別是棱的中點，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為平面，都在面內(nèi)，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．設平面的法向量為，則所以取，得．設直線與平面所成的角為，所以．故選：B二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設斜率分別為，結合題意易得：，因為，所以因為且，所以.故選：BD.10.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】設的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯誤；，，C，D正確.故選：ACD11.已知，在同一個坐標系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因為，所以曲線為，直線為，當時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負，則D正確．故選：BD．12.已知拋物線，點在上，過點的直線與相交于兩點，直線的斜率分別為，則（）A.B.C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】BC【解析】將代入，得．設，直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得．由，得或，所以，則．因為，所以．又因為，且或，所以．故選：BC.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.直線被圓截得的弦長為__________.【答案】6【解析】由圓，可得圓心，半徑.所以圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為.故答案為：6.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為__________.【答案】【解析】由題可知，解得，所以，故的焦距為.故答案為：15.在長方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_________．【答案】【解析】在長方體中，，，，以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】因為，則，即.且，可知是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，即，所以.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，當時，.符合，所以的通項公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項和.18.一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為，求l的方程．解：（1）依題意，該動圓的圓心到點與到直線的距離相等．又點不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知，該動圓圓心的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設，由題意知直線l斜率存在，則，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即．19.已知圓過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點，且．（1）求的長;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因為平面，，故以B為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系．設，由，得，，，．因為F是中點，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角正弦值為．21.已知正項數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，且．（1）求的通項公式；（2）證明：．解：（1）因為，且，所以，所以，即，所以．當時，所以，所以．因為，所以，所以．也符合上式，所以．當時，．因為，所以當時，，所以當時，，即，所以當時，數(shù)列是以為首項的常數(shù)列，即（），所以（），所以通項公式為（2）因為，所以，兩式相減得，所以．22.已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．（1）求橢圓和雙曲線的離心率；（2）設雙曲線的右焦點為F