四川省2025屆高三上學(xué)期（新高考二卷地區(qū)）第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省2025屆高三上學(xué)期（新高考二卷地區(qū)）第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一．單選題1.已知集合，集合，則A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，其中的奇數(shù)為，故選.2.已知等差數(shù)列的公差為，若，，成等比數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，等差數(shù)列的公差，由于，，成等比數(shù)列，所以，，解得，所以.故選：D3.方程的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】原方程可化為,即,.故選：C.4.已知平面上四個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)不共線．若，則直線一定經(jīng)過(guò)三角形的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，即直線一定經(jīng)過(guò)三角形的邊上的高，即直線一定經(jīng)過(guò)三角形的垂心.故選：D.5.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)．那么以下說(shuō)法正確的是（）A.設(shè)是半焦距到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有B.到直線的距離不是定值C.和沒(méi)有交點(diǎn)D.三角形面積的取值范圍是【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，不妨設(shè)，，那么，，A，注意到當(dāng)?shù)臅r(shí)候，但是，從而A錯(cuò)誤B，直線是，計(jì)算，B錯(cuò)誤．C，，從而有，同理．顯然曲線在直線所圍成的矩形內(nèi)，橢圓在直線所圍成的矩形內(nèi)，由，顯然橢圓和沒(méi)有交點(diǎn)．C正確·D，因?yàn)?，所以，從而，D錯(cuò)誤故選：C6.設(shè)復(fù)數(shù)，．那么如下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A. B.在第二象限C.若，那么 D.【答案】A【解析】A，注意到令且，則，所以在上遞增，故，則，故得證，從而A錯(cuò)誤B，注意到，，設(shè)，則，從而在第二象限．B正確．C，代入就發(fā)現(xiàn)，從而C正確D，化簡(jiǎn)就是，而后者是，從而兩個(gè)都是有理數(shù)，差也是有理數(shù)．從而D正確.故選：A7.設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)（）是上一點(diǎn)．已知以為圓心的圓與軸相切，與線段相交于點(diǎn)，，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，點(diǎn)在拋物線上，則，即①，其中,如圖所示，過(guò)作直線的垂線，為垂足，且與軸交于，易知，，故，得，拋物線的準(zhǔn)線方程為：．故選：B．8.數(shù)列是密碼設(shè)置的常用手段，幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，第5至10項(xiàng)構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，第10至15項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)，且該數(shù)列的第項(xiàng)為2的整數(shù)冪減1，那么該款軟件的激活碼是（）A.87 B.94 C.101 D.108【答案】B【解析】由題意可知：，，所以所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)后5項(xiàng)和848構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)后5項(xiàng)和943構(gòu)成公差為20的等差數(shù)列，所以，符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)后5項(xiàng)和1148構(gòu)成公差為22的等差數(shù)列，所以，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)此時(shí)后5項(xiàng)和1258構(gòu)成公差為23的等差數(shù)列，所以，不符合題意，故選：B二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.，，不能構(gòu)成三角形C.若，則為銳角三角形D.若，，均為有理數(shù)，則為有理數(shù)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由于，平方可得，相加化簡(jiǎn)可得，故A正確，對(duì)于B，取，則，，能構(gòu)成三角形，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由可知，故為最大的內(nèi)角，則，故為銳角，進(jìn)而可得為銳角三角形，C正確，對(duì)于D，若，，均為有理數(shù)，則均為有理數(shù)，則為有理數(shù)，不妨設(shè)，延長(zhǎng)到，使得，過(guò)作，故，由于，故為有理數(shù)，所以均為有理數(shù)，因此為有理數(shù)，故選：ACD10.已知曲線上的點(diǎn)滿足方程，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線的長(zhǎng)度為B.當(dāng)時(shí)，的最大值為1，最小值為C.曲線與軸、軸所圍成的封閉圖形的面積和為D.若平行于軸的直線與曲線交于，，三個(gè)不同的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】對(duì)于方程，①當(dāng)，時(shí)，方程變?yōu)椋?，表示半圓弧；②當(dāng)，時(shí)，方程變?yōu)?，即，表示射線；③當(dāng)，時(shí)，方程變?yōu)?，該圓不在，范圍內(nèi)，故舍去；④當(dāng)，時(shí)，方程變?yōu)?，即，表示射線.綜上可知，曲線由三段構(gòu)成：射線，半圓弧和射線.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線由三段構(gòu)成：線段，半圓弧和線段.其長(zhǎng)度為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令，其表示曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，，但是其最小值是過(guò)點(diǎn)且與半圓弧相切的切線斜率，顯然，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由圖可知，曲線與軸、軸圍成的封閉圖形為兩個(gè)相同的弓形，其面積和為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)平行于軸的直線為，要使與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則，不妨設(shè)與半圓弧的交點(diǎn)為，，顯然，，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，與射線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，故D正確.故選：ACD.11.在三棱錐中，，，且，則（）A.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，B.當(dāng)，時(shí)，平面平面C.的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)D.三棱錐體積最大為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：分別取的中點(diǎn)，連接，可知：，且，因，可知為矩形，可得，若為等邊三角形，則，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)闉閷?duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則，可得，即，所以，同理可證：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，可得，同理可得，且，則，可知與不相互垂直，反證：假設(shè)平面平面，則存在直線平面，使得平面，由平面，可得，因?yàn)槠矫?，且，可知，所以，這與與不相互垂直相矛盾，所以假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；如圖，以的中點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，若，設(shè)，則，整理得，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)均在以點(diǎn)為球心，半徑為的球面上（不與共線），對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則在與直徑垂直的圓面上，因?yàn)?，且，可知，且，則，即，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：取的中點(diǎn)，連接，則，可得，所以三棱錐體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以三棱錐體積最大為，故D正確；故選：ACD三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分15分．12.二項(xiàng)式中展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____【答案】【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，所以，所以二項(xiàng)式中展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.13.四面體體積為6，，，，則異面直線與的夾角為_(kāi)___________【答案】或【解析】由題意，，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，又，設(shè)，則，解得，，此時(shí)，，因此，，，則或，則或，所以異面直線AD與BC的夾角為或.故答案為：或.14.從1，2，…，2024中任取兩數(shù)，（可以相同），則個(gè)位為8的概率為_(kāi)___________【答案】【解析】從1，2，?，2024中任取兩數(shù)a，b(可以相同)，共有種取法，因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)字隨著從1開(kāi)始，依次是，周期變化，的個(gè)位數(shù)字隨著從1開(kāi)始，則依次是，周期變化，故它們的周期均為，所以，中，共有種數(shù)型，且每種數(shù)型的個(gè)數(shù)是均等的，都是個(gè)，和的尾數(shù)中只有三種情形中個(gè)位數(shù)字是，即時(shí)，的個(gè)位數(shù)字是，，所以滿足的個(gè)位數(shù)字是的取法有種取法，所以所求概率為.即個(gè)位為的概率為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程及步驟．15.某品牌汽車制造廠引進(jìn)了一條小型家用汽車裝配流水線，本年度第一季度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表月份1月2月3月小型汽車數(shù)量（輛）306080創(chuàng)造的收益（元）480060004800（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)函數(shù)模型中：①，②，③選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述這條流水線生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的收益（元）之間的關(guān)系，并寫出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；（2）利用上述你選取的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，若這家工廠希望在一周內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6020元以上，那么它在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)多少輛小型汽車？解：（1）選?、?，由題表可知，隨著的增大，的值先增大后減小，而函數(shù)及均為單調(diào)函數(shù)，故不符合題意，所以選取②，將，，三點(diǎn)分別代入函數(shù)解析式，可得二次函數(shù)對(duì)稱軸為，故可將函數(shù)解析式設(shè)為，即得到，解出，∴，∴，，；（2）設(shè)在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)輛小型汽車，根據(jù)題意，可得，即，即，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由二次函數(shù)的圖象可知不等式的解為.因?yàn)橹荒苋≌麛?shù)值，所以當(dāng)這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量且之間時(shí)，這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.16.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求證：．（1）解：由知，若，則，若，則．又，所以．由，可得即（常數(shù)），故是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故．（2）證明：由得，①由得，②①②可得．當(dāng)時(shí)，，則．所以，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以．由上可知，，所以，即．17.如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：正方形中，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，又，，∴，又∵，∴，∴，又，∴，又，平面，∴平面.（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題意，由（1）知，平面，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BM，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為，∴，令，∴，，∴，由（1）知平面的法向量為，∴，即，即，即，解得或（舍去），所以存在一點(diǎn)，使得，即．18.設(shè)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間．（2）討論的零點(diǎn)數(shù)量．解：（1）當(dāng)時(shí)，.注意到，從而的正負(fù)只和有關(guān)，從而可作出下表：+0—0+從而的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）當(dāng)時(shí)注意到恒成立，從而沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，注意到所求可以化為的解的數(shù)量.設(shè)，，則，從而可以作下圖：0+++0——0001——0+++00當(dāng)時(shí)，，注意到，注意到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，從而單調(diào)遞增，零點(diǎn)若有則至多有一個(gè)，注意到設(shè)時(shí)有，，從而，設(shè)時(shí)有，從而，從而在上必然有一個(gè)零點(diǎn).從而總有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，我們考慮，注意到，從而可作出下表：10—0+++1從而其在之間有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其為，從而考慮，其在上的正負(fù)性和一樣，從而先單調(diào)減少后單調(diào)遞增，其極小值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，在處取到.注意到，從而此處，從而當(dāng)時(shí)，的最小值比0大，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的最小值恰好就是0，從而只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在處小于0，在時(shí)，從而在上有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，當(dāng)時(shí)，，從而在時(shí)，從而上有一個(gè)零點(diǎn)，從而此時(shí)共有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或者時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).19.定義若橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，則稱該橢圓為“完美曲線”．已知：（）為“完美曲線”，且和：，：均相切．（1）求的表達(dá)式和離心率（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在的第一象限上運(yùn)動(dòng)，和相切，和交