四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.2.若直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因直線的方向向量為，則直線的斜率于是直線的方程為，即.故選:A.3.成都市某高中為鼓勵全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查了10名同學(xué)在某天校園跑的時(shí)長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A.56 B.59 C.62 D.64.5【答案】B【解析】數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有10個(gè)，且為從小到大排列，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)據(jù)56和第8個(gè)數(shù)據(jù)62的平均數(shù)59，故選:B.4.設(shè)為定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，雙曲線的方程為.故選：B.5.不透明的口袋里有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，這6個(gè)球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個(gè)球，則抽出的2個(gè)球均為白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記4個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)白球，2個(gè)紅球中不放回抽取2個(gè)球有:，共種不同的取法，其中抽出2球均為白球有共種不同的取法，所以抽出的2個(gè)球均為白球的概率.故選：C.6.已知圓，直線，若圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由圓，可得圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為，由圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以.故選：A.7.如圖,在平行六面體中,,，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，.，.，異面直線與所成角的余弦值.故選：D.8.設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則，則，且，兩式相減，得，即，則直線斜率，直線的方程為：，由，消去，得，解得，.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A. B.點(diǎn)到直線的距離為C. D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：取，點(diǎn)到直線的距離，故B正確；C選項(xiàng)：，故C正確；D選項(xiàng)：，設(shè)平面的法向量為，故，取，則，故D錯(cuò)誤；故選:BC.10.已知事件，事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.若事件與事件互斥，則B.若事件與事件相互獨(dú)立，則C.若事件發(fā)生時(shí)事件一定發(fā)生，則D.若，則事件與事件相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】對于A，事件與事件互斥，，故A正確；對于B，事件與事件相互獨(dú)立，，，故B正確；對于C，若事件發(fā)生時(shí)事件一定發(fā)生，則，故C錯(cuò)誤；對于D，因則事件與事件相互獨(dú)立，故事件與事件相互獨(dú)立，故D正確.故選:ABD.11.已知橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn)相同，分別為，橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則下列說法正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：為焦點(diǎn)三角形，，故A正確；B選項(xiàng)：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故C正確；D選項(xiàng)：，故取，，當(dāng)且僅當(dāng),即，此時(shí)時(shí)取到等號，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11，則的平均數(shù)為______.【答案】90【解析】因的平均數(shù)則的平均數(shù)為：.故答案為：90.13.過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，代入三點(diǎn)，有解得故圓的方程為,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.已知橢圓的上頂點(diǎn)為分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線，垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，且，則的周長為______.【答案】26【解析】離心率，，，又因?yàn)闉榈冗吶切?，設(shè)，過點(diǎn)作線段的垂線，的傾斜角為，直線的方程為，代入中，得，周長.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.“世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個(gè)“世界讀書日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學(xué)生閱讀，現(xiàn)從參加競賽學(xué)生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組40,50，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這100名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（取各組區(qū)間中間值計(jì)算）；（2）已知成績落在的學(xué)生平均成績?yōu)?2，方差為9，落在的學(xué)生平均成績?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績的總體平均數(shù)和總體方差.解：（1）眾數(shù)：75，第1至第6組的頻率分別為，平均數(shù)：；（2）根據(jù)題意可知，成績落在的學(xué)生人數(shù)為20人，成績落在的學(xué)生人數(shù)為30人，總體平均數(shù)：，總體方差：.16.已知圓是直線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為.（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求切線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，求四邊形面積的最小值.解：（1）由圓，可得圓心，半徑，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，與圓相切，滿足題意，；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，此時(shí)切線方程為，即：，設(shè)圓心到切線的距離為，根據(jù)題意可得：，，此時(shí)，切線方程為，化簡，得，切線方程為或；（2）為公共邊，，，又當(dāng)最小時(shí)，最小，由題意可知，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，，，四邊形面積的最小值為.17.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若未命中，則換對方投籃一次.已知甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，第一次投籃者為甲.（1）求第3次投籃者為乙的概率；（2）求前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次的概率.解：（1）設(shè)事件"甲第次投籃投進(jìn)"，事件"乙第次投籃投進(jìn)"，事件"第三次投籃者為乙"，根據(jù)題意可知，與互斥，；（2）設(shè)事件"前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次"，根據(jù)題意可知：，事件互斥，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，.18.在平行四邊形中（如圖1）,為的中點(diǎn),將等邊沿折起，連接，且（如圖2）.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）點(diǎn)在線段上,若點(diǎn)到平面的距離為,求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）連接在中，，，在中，，同理可得：，平面（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，又平面平面平面，平面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，設(shè)直線與平面所成角為，（3）設(shè)，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，易求平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，.取，設(shè)平面與平面所成的角為，.19.一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切.（1）設(shè)動圓圓心的軌跡為，求曲線的方程；（2）①若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，直線與曲線分別交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為和，求的最大值.解：（1）設(shè)動圓的半徑為，動圓與圓外切，，又動圓與圓內(nèi)切，且