四川省涼山州西昌市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省涼山州西昌市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1.本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，試題卷4頁，答題卡2頁.全卷滿分為150分，考試時間120分鐘.2.答題前考生務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并將條形碼站貼在答題卡的指定位置；選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，其他試題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡對應題框內，不得超越題框區(qū)域.考試結束后將答題卡收回.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在平面直角坐標系中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線方程為，所以斜率為1，故傾斜角為，故選:B.2.某學校高二年級選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學人數(shù)分別為240，90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出15位同學進行項調查研究，則“史地政”組合中選出的同學人數(shù)為（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】由題：，故“史地政”組合中選出的同學人數(shù)為4人，故選：C．3.已知為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】因為，所以，故選:B.4.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.（2，﹣1，2）C. D.（1，﹣2，1）【答案】A【解析】因為，，所以，，故向量在向量上的投影向量是.故選：A．5.若直線與圓相切，則m的值為（）A.21或 B.或1 C.5或 D.或15【答案】D【解析】圓的圓心為圓，半徑為2，由題意可得：，解得或.故選：D.6.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳析九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第二十層球的個數(shù)為（）A.210 B.220 C.230 D.240【答案】A【解析】設第層的小球個數(shù)為依次構成數(shù)列，由題：從而有規(guī)律：所以所以．即第20層有210個小球，故選：A．7.如圖，在棱長為1的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E，F(xiàn)為CD上兩個動點，且EF的長為定值，則點Q到平面PEF的距離（）A.等于 B.和EF的長度有關C.等于 D.和點Q的位置有關【答案】A【解析】取的中點G，連接，則，所以點Q到平面的距離即點Q到平面的距離，與的長度無關，B錯．又平面，所以點到平面的距離即點Q到平面的距離，即點Q到平面的距離，與點Q的位置無關，D錯．如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，則，∴，，，設是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個法向量．設點Q到平面的距離為d，則，A對，C錯．故選：A．8.已知，是橢圓的左、右焦點，橢圓與雙曲線的焦點相同，與在第二象限的交點為P，若的中點在雙曲線的漸近線上，且，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意：設，分別為的中點，橢圓長半軸長為，短半軸長為，雙曲線實半軸長為，虛半軸長為，則由橢圓及雙曲線定義可得：，解得，又因為，且分別為，的中點，可得，所以到漸近線的距離為，所以，，結合，可得：，因為，所以即，整理得：，將代入得，即，所以.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個非零向量，，不能構成空間的一個基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對于任意空間向量，，必有【答案】BD【解析】若為零向量，有，但不一定成立，A錯：三個非零向量，，不能構成空間的一個基底，則它們必共面，B對；若為零向量，，，但不一定成立，C錯：由，，而，所以，D對.故選：BD10.已知拋物線焦點為F，過點F的直線交拋物線于M，N兩點，則下列結論正確的是（）A.拋物線的焦點坐標是B.焦點到準線的距離是4C.的最小值為8D.若點P的坐標為，則的最小值為6【答案】BCD【解析】A項，拋物線，所以，焦點坐標為，即，所以A錯誤；B項，焦點到準線的距離為，即4，所以B正確；C項，焦點弦MN，由幾何性質可知通徑最小，為，所以C正確；D項，如圖所示，，當M，，P三點共線時有最小值為，所以D正確.故選：BCD.11.已知首項為1的數(shù)列的前n項和為，且，則下列結論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列不是等比數(shù)列C.D.中任意三項不能構成等差數(shù)列【答案】ABD【解析】對于A,中位數(shù)2，極差為5，所以最大值不會超過7，符合條件；對于B，若過去10天的人數(shù)分別為，滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但有一天人數(shù)超過7人，所以不符合條件，故B錯誤；對于C，因為平均數(shù)為2，標準差為，所以，若有一天人數(shù)超過7，設為8時，則，不符合題意，故沒有一天人數(shù)超過7，故C正確；對于D，若過去10天的人數(shù)分別為，滿足平均數(shù)為1，方差大于0，但有一天人數(shù)超過7人，所以不符合條件，故D錯誤，故選：AC.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為______.【答案】【解析】由雙曲線的標準方程可得：，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.如圖,電路中A、B、C三個電子元件正常工作的概率分別為,則該電路正常工作的概率______.【答案】【解析】由題，該電路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一個能正常工作，設A，B，C元件能正常工作為事件A，B，C，該電路正常工作為事件D，由題A，B，C相互獨立，則故答案為：．15.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最大值時的值為______．【答案】【解析】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，則當時，，當時，，所以當時，取得最大值，故答案為：.16.在中,,，，P為邊AB上的動點，沿CP將折起形成直二面角，當最短時，＝__，此時三棱錐的體積為____．【答案】;【解析】作于點，連接，設，則，所以，在中，由余弦定理可得，，因為為直二面角，所以平面平面，因為平面平面，，且平面，所以平面，因為平面，所以，則，當最短時，，所以，即此時為的角平分線，，且由角平分線定理可得，，即，所以，所以.故答案為:；.四、解答題（本題共有6個小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖,在空間四邊形中,,點為的中點,設.（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1）因為點E為的中點，所以．（2）因為，所以.18.某學校組織全校1000名學生參加了主題為“健康生活，積極運動”的大運會文創(chuàng)大賽，抽取了100名學生的得分進行分析，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校學生得分不低于80分的人數(shù)；（2）試估計該校學生比賽得分眾數(shù)和80%分位數(shù)（80%分位數(shù)保留小數(shù)點后2位）；（3）若樣本中有得分在的學生甲、乙兩人，得分在的學生a，b，c三人，從這五人中抽取2人集中學習，請寫出抽取的樣本空間，并求出這2人得分都在的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可知，，解得.該校學生得分不低于80分的人數(shù)為：.（2）眾數(shù)：75因為，，所以80%分位數(shù)在內，所以80%分位數(shù)為：.（3）樣本空間為共10種，2人得分在的情況有，，3種，所以這2人得分都在的概率為.19.已知圓，直線.（1）求證：直線恒過定點；（2）直線被圓截得的弦何時最長？何時最短？并求截得的弦長最短時的值以及最短弦長.解：（1）直線的方程可化為聯(lián)立，解得故直線恒過定點（2）當直線過圓心時，直線被圓截得的弦長最長設，當直線時，直線被圓截得的弦長最短則直線的斜率為由得直線的斜率為，解得此時的方程為，即圓心到直線的距離為∴最短弦長故當過圓心時弦長最長；當?shù)姆匠虨闀r最短；；最短弦長為20.已知等差數(shù)列與正項等比數(shù)列滿足，且，20，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，由題得，即，解得，，所以，；（2），則，.故.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E點在AD上，且．（1）求證：平面平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成的角為45°，求二面角的余弦值．解：（1）∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵，且，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，取BC中點G，連接AG，∴，即，由（1）可得，以A為坐標原點，AG為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示的坐標系由（1）可得，平面，∴為直線PC與平面所成角，即設平面的法向量為∵，∵，，∴，令，則，，∴∵x軸⊥平面，∴平面的法向量，設為二