2024-2025學年高中數學第三章函數的應用章末總結教案新人教A版必修1

PAGEPAGE1本章總結eq\a\vs4\al(專題一函數的零點與方程的根)依據函數零點的定義，函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的根，推斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是推斷方程f(x)＝0是否有實根，有幾個實根．函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸的交點三者之間有著內在的本質聯系，利用它們之間的關系，可以解決函數、方程與不等式的問題．確定函數零點的個數有兩個基本方法：一是利用圖象探討與x軸的交點個數或轉化成兩個函數圖象的交點個數定性推斷．二是利用零點存在性定理推斷，但還需結合函數的圖象和單調性，特殊是二重根簡單漏掉．[例1]設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x，x<0.))(1)f(x)有零點嗎？(2)設g(x)＝f(x)＋k，為了使方程g(x)＝0有且只有一個根，k應當怎樣限制？(3)當k＝－1時，g(x)有零點嗎？假如有，把它求出來，假如沒有，請說明理由；(4)請給k規(guī)定一個范圍，使得方程g(x)＝0總有兩個根．[解](1)畫出f(x)的圖象，如圖1，從圖象可以看出，圖象與x軸沒有交點，f(x)沒有零點．(2)從圖1可以看出f(x)>0.對于g(x)＝f(x)＋k，為了使方程g(x)＝0有且只有一個根，f(x)的圖象必需向下移動，但移動的幅度要小于1，否則g(x)＝0就有兩個根了．k應當限制為－1<k<0.幾何說明如圖2.(3)有，x＝0，它來源于2x－1＝0；x＝－1，它來源于－x－1＝0.(4)規(guī)定k的范圍是{k|k≤－1}．[例2]已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x)的零點，且m<n，則實數a，b，m，n的大小關系是()A．m<a<b<n B．a<m<n<bC．a<m<b<n D．m<a<n<b[分析]由m，n是f(x)的零點知f(m)＝f(n)＝0，采納數形結合法知，f(x)的零點事實上就是(x－a)(x－b)＝1的根，即y＝(x－a)(x－b)與y＝1交點的橫坐標．[解析]作出y＝1與y＝(x－a)(x－b)的圖象如圖．由圖得知m<a<b<n.[答案]Aeq\a\vs4\al(專題二函數模型及應用)把握函數模型的應用實例類型的分類，嫻熟駕馭不同類型應用題的解題步驟，比較例題的類型．通過體會實例來駕馭各類應用題的解法．函數模型的應用實例主要包含三個方面：1.利用給定的函數模型解決實際問題；2.建立確定性函數模型解決問題；3.建立擬合函數模型解決實際問題．[例3]2008年北京奧運火炬?zhèn)鬟f跨越了世界最高峰——珠穆朗瑪峰，火炬?zhèn)鬟f經驗低溫、缺氧、風速大、攀登難的挑戰(zhàn)．設海拔xm處的大氣壓是yPa，y與x之間的函數關系式是y＝cekx，(其中c，k為常數)，若某火炬手從大氣壓為1.01×105Pa的海平面地區(qū)，到了海拔1000m的高原地區(qū)，測得大氣壓為0.90×105Pa，感覺沒有明顯的高原反應，于是向海拔8000m進軍，從身體需氧的角度講，當大氣壓低于0.775×105Pa時就會比較危急，請你分析這位火炬手是否有危急？[解]因為y＝c·ekx，當海拔為0m時，大氣壓為1.01×105Pa，當海拔為1000m時，大氣壓為0.90×105Pa，把兩組數據代入解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.01×105＝c·e0，,0.90×105＝c·e1000k.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1.01×105，,k＝\f(1,1000)ln\f(90,101)≈－1.153×10－4，))可得y＝1.01×105·e－1.153×10－4·x，當x＝8000時，y＝1.01×105·e－1.153×10－4×8000≈0.402×105<0.775×105，因此，這位火炬手有危急．[點評]用待定系數法求出函數解析式后，要會利用所得函數模型解決問題．[例4]閱讀下列材料：“父親和兒子同時出去晨練．如圖①，實線表示父親離家的路程(m)與時間(min)的函數關系，虛線表示兒子離家的路程(m)與時間(min)的函數關系．由圖象可知，他們在動身10min時相遇一次，此時離家400m；晨練了30min，他們同時到家．”依據閱讀材料給你的啟示，利用指定的直角坐標系(圖②)，求解下列問題：一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100km的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100km/h和20km/h，巡邏艇不停地來回于A，B兩港口巡邏(巡邏艇掉頭的時間忽視不計)．(1)貨輪從A港口動身以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次(起先動身時相遇不計入相遇次數)?(2)動身多長時間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時距A港口多少千米？[解]如圖所示，在坐標系中畫出巡邏艇距離A港口的路程(km)與時間(h)的圖象照實線所示，畫出貨輪距離A港口的路程(km)與時間(h)的圖象如虛線所示．(1)從圖象可知，貨輪從A港口動身以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了4次．(2)從圖象看出，巡邏艇與貨輪第三次相遇是在動身后的3～4h內，設OC所在直線為y1＝mx(m≠0)，∵過點C(5,100)，∴100＝5m，m＝20，∴y1＝20x設EF所在直線為y2＝kx＋b(k≠0)，∵過E(3,100)，F(4,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝100，,4k＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－100，,b＝400，))∴y2＝－100x＋400.由－100x＋400＝20x，解得x＝eq\f(10,3)，即動身eq\f(10,3)h時巡邏艇與貨輪第三次相遇，此時距A港口20×eq\f(10,3)＝eq\f(200,3)(km)．[點評]本題中，圖象交點的個數就意味著貨輪與巡邏艇相遇的次數，留意二者之間的這種“對應”關系，正是實際問題與數學問題之間關系的反映，留意細致體會圖象法解題的優(yōu)越性．eq\a\vs4\al(專題三函數與方程思想的應用)函數思想，是用運動的和改變的觀點，集合與對應的思想，去分析和探討數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，利用函數的圖象和性質去分析問題和解決問題，使問題獲得解決．方程思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，使問題獲得解決．本章函數與方程思想的應用，主要體現在：求方程f(x)＝0的實數根，就是確定函數y＝f(x)的零點，就是求函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；其次，在應用題中利用函數建模，解決實際問題．[例5]設a∈R，試探討關于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的實根的個數．[解]原方程?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,3－x>0，,a－x>0，,x－13－x＝a－x.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,3－x>0，,x－13－x＝a－x.))整理，得－x2＋5x－3＝a(1<x<3)．在同一坐標系中分別作出函數y＝a及y＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)的圖象，如圖所示：當x＝1時，y＝1；當x＝3時，y＝3；當