高三理科數(shù)學二輪復習跟蹤強化訓練3

跟蹤強化訓練(三)一、選擇題1．(2017·武漢二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]解法一：當a<0時，不等式f(a)<1為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3，因為0<eq\f(1,2)<1，所以a>－3，此時－3<a<0；當a≥0時，不等式f(a)<1為eq\r(a)<1，所以0≤a<1.故a的取值范圍是(－3,1)，故選C.解法二：取a＝0,f(0)＝0<1，符合題意，排除A，B，D.[答案]C2．(2017·大同二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定義域是實數(shù)集R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(0,4)B．[0,4]C．(0,4]D．[0,4)[解析]因為函數(shù)f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定義域是實數(shù)集R，所以m≥0，當m＝0時，函數(shù)f(x)＝1，其定義域是實數(shù)集R；當m>0時，則Δ＝m2－4m≤0，解得0<m≤4.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是0≤m≤4.[答案]B3．(2017·太原模擬)4名大學生到三家企業(yè)應聘，每名大學生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用1名大學生的情況有()A．24種B．36種C．48種D．60種[解析]每家企業(yè)至少錄用一名大學生的情況有兩類：一類是每家企業(yè)都錄用一名，有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)；一類是其中一家企業(yè)錄用了2名，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)，所以一共有24＋36＝60(種)，故選D.[答案]D4．以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為eq\f(π,3)，則該雙曲線的離心率為()A．2或eq\r(3) B．2或eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(2\r(3),3) D．2[解析]當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋3)＝2；當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(3),3).故選B.[答案]B5．(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，則()A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0[解析]∵a，b>0且a≠1，b≠1，∴當a>1，即a－1>0時，不等式logab>1可化為alogab>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.當0<a<1，即a－1<0時，不等式logab>1可化為alogab<a1，即0<b<a<1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.綜上可知，選D.[答案]D6．如圖，過正方體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面CB1D1平行的直線有()A．18條 B．20條C．21條 D．22條[解析]設(shè)各邊的中點如圖所示，其中與直線D1B1平行的有F1G1，E1H1，F(xiàn)G，EH，NL，共5條；與直線CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5條；與直線CB1平行的有F1M，F(xiàn)L，HK，NH1，GE1，共5條．分別取CB1，B1D1，CD1的中點如圖，連接CO，D1P，B1T，與直線CO平行的有GH1，F(xiàn)E1，共2條；與直線D1P平行的有H1L，NF，共2條；與直線B1T平行的有E1N，GL，共2條．故與平面CB1D1平行的直線共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21條．[答案]C二、填空題7．(2017·鄭州模擬)過點P(3,4)與圓x2－2x＋y2－3＝0相切的直線方程為______________．[解析]圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.當直線的斜率不存在時，直線x＝3適合；當直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由eq\f(|k－0＋4－3k|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4).此時直線方程為y－4＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y＋7＝0.綜上所述，所求切線的方程為x＝3或3x－4y＋7＝0.[答案]x＝3或3x－4y＋7＝08．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為________．[解析]當矩形長、寬分別為6和4時，體積V＝2×eq\r(3)×eq\f(1,2)×4＝4eq\r(3)；當長、寬分別為4和6時，體積V＝eq\f(4,3)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(1,2)×6＝eq\f(8\r(3),3).綜上所述，所求體積為4eq\r(3)或eq\f(8\r(3),3).[答案]4eq\r(3)或eq\f(8\r(3),3)9．(2017·深圳模擬)若函數(shù)f(x)＝mx2－x＋lnx存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)m的取值范圍是________．[解析]f′(x)＝2mx－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(2mx2－x＋1,x)，即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解．當m≤0時顯然成立；當m>0時，由于函數(shù)y＝2mx2－x＋1的圖象的對稱軸x＝eq\f(1,4m)>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，故0<m<eq\f(1,8).綜上所述，m<eq\f(1,8)，故實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))三、解答題10．已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．[解](1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.當d＝0時，an＝2；當d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2.(2)當an＝2時，Sn＝2n.顯然2n<60n＋800，此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立．當an＝4n－2時，Sn＝eq\f(n[2＋4n－2],2)＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的n；當an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(a2,4)，求角A的大?。甗解](1)證明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故－π<A－B<π，所以，B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝eq\f(a2,4)得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2,4)，故有sinBsinC＝eq\f(1,2)sin2B＝sinBcosB，因為sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,2)±B.當B＋C＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,2)；當C－B＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,4).綜上，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,4).12．(2017·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－2，a∈R.(1)若曲線y＝f(x)在點P(2，m)處的切線平行于直線y＝－eq\f(3,2)x＋1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)在(0，e2]上有最小值2？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．[解](1)∵f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－2(x>0)，∴f′(x)＝eq\f(－a,x2)＋eq\f(1,x)(x>0)，又曲線y＝f(x)在點P(2，m)處的切線平行于直線y＝－eq\f(3,2)x＋1，∴f′(2)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)?a＝8.∴f′(x)＝eq\f(－8,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－8,x2)(x>0)，令f′(x)>0，得x>8，f(x)在(8，＋∞)上單調(diào)遞增；令f′(x)<0，得0<x<8,f(x)在(0,8)上單調(diào)遞減．∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,8)．(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(－a,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－a,x2)(x>0)．(ⅰ)當a≤0時，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(0，e2]上單調(diào)遞增，無最小值，不滿足題意．(ⅱ)當a>0時，令f′(x)＝0，得x＝a，所以當f′(x)>0時，x>a，當f′(x)<0時，0<x<a，此時函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0