2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）第一章空間向量與立體幾何單元綜合測(cè)試卷

第一章空間向量與立體幾何單元綜合測(cè)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在長(zhǎng)方體中，若，，，則向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，長(zhǎng)方體中，若，，，則，所以向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是．故選：A．2．空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，連結(jié)，因，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，于是，.故選：B.3．已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，又，所以，解得.故選：A.4．已知向量，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B．0 C．5 D．【答案】C【解析】因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故選：C5．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則（

）A．平面EFG B．平面EFGC．平面EFG D．平面EFG【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)為，則平面即為平面,故與平面相交，故A錯(cuò)誤，,則,,由于，故是平面的一個(gè)法向量，故平面，故D正確，由正方體的性質(zhì)可得與不平行，因此不垂直于平面，C錯(cuò)誤，由于，，故與法向量不垂直，故與平面不平行，故B錯(cuò)誤，故選：D6．已知平行六面體中，棱兩兩的夾角均為，，E為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意以為基底表示出可得：，，又棱兩兩的夾角均為，不妨取，則；所以；；又；所以，因此異面直線與所成角的余弦值為.故選：D7．已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：取，，為基底，則，，所以.又，.所以.故選：C8．已知一對(duì)不共線的向量，的夾角為，定義為一個(gè)向量，其模長(zhǎng)為，其方向同時(shí)與向量，垂直（如圖1所示）．在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．B．當(dāng)時(shí)，C．若，，則D．平行六面體的體積【答案】C【解析】對(duì)于A，，而，故，正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，有意義，則，正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，的模長(zhǎng)即為平行六面體底面OACB的面積，且方向垂直于底面，由數(shù)量積的幾何意義可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模長(zhǎng)（即為平行六面體的高）乘以底面的面積，即為平行六面體的體積，正確．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．直線的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則平面平面C．若，則平面所成銳二面角的大小為D．若，則直線與平面所成角的大小為【答案】BCD【解析】由，則直線平面或，故錯(cuò)誤；由，則平面平面，故正確；若，設(shè)平面和平面所成角為，且，則，所以平面所成銳二面角的大小為，故正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，且，所以直線與平面所成角的大小為，故正確.故選：.10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則以下正確的是（

）A． B．夾角的余弦值為C．A，B，C，D共面 D．點(diǎn)O到直線AB的距離是【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，A正確；夾角的余弦值為，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正確；因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)O到直線AB的距離是，D正確．故選:ACD．11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所角的余弦值為C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D．點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】ACD【解析】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)到平面的距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．如圖，在空間四邊形中，是的重心，若，則.【答案】1【解析】D為AB中點(diǎn)，連接OD，CD，有，是的重心，則G在CD上，且，即，則有，所以，可得，則有.故答案為：113．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，，原點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，，則的長(zhǎng)為.

【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)作,垂足于點(diǎn)，如圖所示：因?yàn)?，，所?又，.因?yàn)?，，所以，則的長(zhǎng)為.故答案為：.14．已知梯形如圖1所示，其中，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面⊥平面，得到如圖2所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面，則λ的值為．

圖1

圖2【答案】/【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴則，若是平面的一個(gè)法向量，則可得，若是平面的一個(gè)法向量，則可得由平面平面，得，即，解得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）如圖所示，平行六面體中，.(1)用向量表示向量，并求；(2)求直線與直線所成角的余弦值.【解析】（1），則，所以.（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍?，所以，，則.則與所成的角的余弦值為.16．（15分）已知空間三點(diǎn)，，．(1)求的面積；(2)若向量，且，求向量的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)向量的夾角為，由空間三點(diǎn)，，，可得，，，，可得，因?yàn)?，所以，所以三角形的面積為．（2）因?yàn)椋?，其中，因?yàn)?，可得，即，所以，即或?7．（15分）如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面；（2）由于平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則,1,，,1,，,0,，,0,，,0,，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；（3）因?yàn)?，又平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為．18．（17分）如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.【解析】（1）連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以為平行四邊?由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫妫?，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，.，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，.，于是.所以，二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，則.從而.由（2）知平面的法向量為，由題意，，即，整理得，解得或，因?yàn)樗?，所?則N到平面的距離為.19．（17分）離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.如圖，在三棱錐中.

(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)若平面，，，三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為.①求點(diǎn)到平面的距離；②點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)度.【解析】（1）根據(jù)離散曲率的