高等數(shù)學(xué)第六版第二章第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

作業(yè)P862,3,5,6,7,11,14,16(2),

17,18,20

第二節(jié)預(yù)習(xí)

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則

第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma

在研究極值問題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二章一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)2.曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率記3.

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本問題生產(chǎn)x

數(shù)量產(chǎn)品所用的總成本.平均成本:邊際成本:4.

電流強(qiáng)度問題(電量增量與時(shí)間增量之比的極限)問題的共性:導(dǎo)數(shù)是一類問題的數(shù)學(xué)抽象所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).1)導(dǎo)數(shù)定義的幾種等價(jià)寫法說明：2)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率不存在,就說函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo).4)若也稱在5)若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為區(qū)間I內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無窮大.3)若極限設(shè)1）求函數(shù)的增量2）算比值3）求極限三、求導(dǎo)數(shù)舉例

用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟（求導(dǎo)三步法）例1.求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.

求函數(shù)解:說明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即同理用導(dǎo)數(shù)定義容易得到6個(gè)求導(dǎo)公式原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.

設(shè)存在,求極限解:

原式四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與

x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:例7.問曲線哪一點(diǎn)有鉛直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有鉛直切線五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù),但在該點(diǎn)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)六、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在

x=0處有定義2

.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且

在x

=0可導(dǎo)，因例8解

因可導(dǎo)必連續(xù)，故應(yīng)使

試確定a、b,使在x

=0點(diǎn)可導(dǎo).可使f(x)在x=0可導(dǎo),且內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且5.

設(shè),問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時(shí)此時(shí)在都存在,備用題

解:

因?yàn)?.設(shè)存在,且求所以在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖?，則有又在處連續(xù),所以存在,即在處可導(dǎo).2.設(shè)故牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茨

(1646–1716)德國(guó)