2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周周回饋練四新人教A版選修2-2

PAGE1-周周回饋練(四)(滿分75分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．某學(xué)生通過計(jì)算發(fā)覺：21－1＝12能被12整除，32－1＝2×22能被22整除，43－1＝7×32能被32整除，由此猜想當(dāng)n∈N＋時(shí)，(n＋1)n－1能夠被n2整除．該學(xué)生的推理是()A．類比推理B．歸納推理C．演繹推理D．上述都不正確答案B解析此推理是從個(gè)別到一般的推理，是歸納推理．2．用反證法證明命題“若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是奇數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是奇數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)奇數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)奇數(shù)答案B解析命題“a，b，c中至少有一個(gè)是奇數(shù)”的否定是“a，b，c都不是奇數(shù)”．故選B.3．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面()A．各正三角形內(nèi)任一點(diǎn)B．各正三角形的某高線上的點(diǎn)C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點(diǎn)答案C解析正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的面，所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心．4．將石子擺成如圖的梯形形態(tài)，稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”，依據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2024項(xiàng)與5的差，即a2024－5＝()A．2024×2012 B．2024×1008C．1008×2024 D．1009×2024答案C解析由已知得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…a2024－a2024＝2024以上各式相加得a2024－a1＝eq\f(4＋2024×2024,2)＝1008×2024.∵a1＝5，∴a2024－5＝1008×2024.5．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)競賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段．下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成果，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊．學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a－1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則()A．2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B．5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C．8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D．9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽答案B解析由數(shù)據(jù)可知，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的8人為1～8號(hào)，所以進(jìn)入30秒跳繩決賽的6人從1～8號(hào)里產(chǎn)生．?dāng)?shù)據(jù)排序后可知3號(hào)，6號(hào)，7號(hào)必定進(jìn)入30秒跳繩決賽，則得分為63，a,60,63，a－1的5人中有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽．若1號(hào)，5號(hào)學(xué)生未進(jìn)入30秒跳繩決賽，則4號(hào)學(xué)生就會(huì)進(jìn)入決賽，與事實(shí)沖突，所以1號(hào)，5號(hào)學(xué)生必進(jìn)入30秒跳繩決賽．故選B.6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n－2n能被3整除”的其次步中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，為了運(yùn)用假設(shè)，應(yīng)將5k＋1－2k＋1變形為()A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2kC．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k答案B解析5k＋1－2k＋1＝5k×5－2k×2＝5k×5－2k×5＋2k×5－2k×2＝5(5k－2k)＋3×2k.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．我們知道：周長肯定的全部矩形中，正方形的面積最大；周長肯定的全部矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是____________________．答案表面積肯定的全部長方體中，正方體的體積最大；表面積肯定的全部長方體和球中，球的體積最大解析平面圖形與立體圖形的類比：周長→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長方體，圓→球．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)≤n時(shí)，從n＝k到n＝k＋1不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)是________．答案2k解析當(dāng)n＝k時(shí)，不等式左邊為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k)，共有2k－1項(xiàng)；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式左邊為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k＋1)，共有2k＋1－1項(xiàng)．故增加的項(xiàng)數(shù)為2k＋1－2k＝2k.9．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________．答案1和3解析為便利說明，不妨將分別寫有1和2,1和3,2和3的卡片記為A，B，C.從丙動(dòng)身，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C，最終由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時(shí)丙所拿的卡片為A.三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.證明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且a，b，c均為正數(shù)，將三式相加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題意得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)由基本不等式有eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c＝1.11．如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA.又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4.又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.12．給定常數(shù)c>0，定義函數(shù)f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|，數(shù)列a1，a2，a3，…滿意an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)若a1＝－c－2，求a2及a3；(2)求證：對(duì)隨意n∈N＋，an＋1－an≥c.解(1)因?yàn)閏>0，a1＝－(c＋2)，所以a2＝f(a1)＝2|a1＋c＋4|－|a1＋c|＝2，a3＝f(a2)＝2|a2＋c＋4|－|a2＋c|＝c＋10.(2)證明：要證明原命題成立，只需證明f(x)≥x＋c對(duì)隨意x∈R恒成立，只需證明對(duì)