黃金卷01（北京專用）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（北京專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列關(guān)于向量的描述正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓3．設(shè)集合，.若，則（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A．2024 B． C．1 D．5．若和都是定義在上的函數(shù)，則“與同是奇函數(shù)或偶函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件6．點F是雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，A、B分別為C的右頂點、虛軸的上端點，O為坐標原點，若∠OBA＝∠BFA，則雙曲線的離心率是（）A． B．﹣1 C．﹣1 D．7．若當時，函數(shù)始終滿足，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．8．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)且EF＝1，則當E，F(xiàn)移動時，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值9．已知等比數(shù)列滿足，，記，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項10．2015年4月22日，亞非領(lǐng)導(dǎo)人會議在印尼雅加達舉行，某五國領(lǐng)導(dǎo)人、、、，除與、與不單獨會晤外，其他領(lǐng)導(dǎo)人兩兩之間都要單獨會晤．現(xiàn)安排他們在兩天的上午、下午單獨會晤（每人每個半天最多進行一次會晤），那么安排他們單獨會晤的不同方法共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．8種第II卷（非選擇題）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域為．12．以點為圓心，且經(jīng)過原點的圓的方程為．13．已知函數(shù)（，）的最小正周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上既存在最大值也存在最小值，則實數(shù)m的取值范圍為．14．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是．15．某數(shù)學興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數(shù)列的課后閱讀之后，對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數(shù)列滿足：，，的通項公式為.在自然界，兔子的數(shù)量，樹木枝條的數(shù)量等都符合斐波那契數(shù)列．該學習興趣小組成員也提出了一些結(jié)論：①數(shù)列是嚴格增數(shù)列；②數(shù)列的前n項和滿足；③；④.那么以上結(jié)論正確的是．（填序號）三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。16．（13分）已知，．(1)求的值；(2)在平面直角坐標系中，以為始邊，已知角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，求的值．17．（13分）如圖，四棱錐底面為等腰梯形，AD//且，點為中點．（1）證明：DE//平面；（2）若平面，，直線與平面所成角的正切值為，求四棱錐的體積．18．（14分）根據(jù)《國家學生體質(zhì)健康指標》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下（單位：）立定跳遠單項等級高三男生高三女生優(yōu)秀260及以上194及以上良好及格不及格204及以下149及以下從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下（精確到）：男生：女生：假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立．(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率；(2)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設(shè)為這3人中立定跳遠單項等級為優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．19．（15分）已知函數(shù).(1)當時，求在點的切線方程；(2)若恒成立，求的取值范圍．20．（15分）已知橢圓的離心率為，長軸長為4．(1)求橢圓C的標準方程；(2)O為坐標原點，過點且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點T，使得．若存在，求出定點T的坐標；若不存在，說明理由．21．（15分）已知有限集，如果A中元素，滿足，就稱A為元“創(chuàng)新集”；（1）若，試寫出一個二元“創(chuàng)新集”A；（2）若，且是二元“創(chuàng)新集”，求的取值范圍；（3）若是正整數(shù)，求出所有的“創(chuàng)新集”．

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（北京專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678910BDDBADABAA第II卷（非選擇題）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．12．13．14．15．②③三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。16．（13分）【詳解】（1）因為，，所以，………2分所以，，………3分所以………5分（2）因為角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，………7分所以，，………10分所以.……………13分17．（13分）【詳解】（1）取中點為，連接，如下所示：……1分在三角形中，分別為的中點，故可得//，；………2分根據(jù)已知可得AD//，，故//，……………3分則四邊形為平行四邊形，故DE//，…………………4分又面面，故DE//面.…………………6分（2）作于點，如下圖所示：…………7分則．………8分在△中，，，則，，………………9分由平面知，直線與平面所成角為，故，即在△中，有，則，…………………11分所以，四棱錐的體積．……13分18．（14分）【詳解】（1）某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，………2分所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為；估計高三女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為．………4分（2）由題設(shè)，的所有可能取值為，……………5分則；…………6分；…………8分；…………10分．…………11分則的分布列為：…………………12分0123則的數(shù)學期望.…………14分19．（15分）【詳解】（1）當時，，則，，…2分∴，∴切線方程為，即.…4分（2）由題意得，，即，亦即,…6分設(shè)，易得恒成立.∴在上單調(diào)遞增;…8分易知：①當時，，恒成立,此時恒成立；…10分②當時，等價于，由①②知恒成立，則恒成立設(shè)，則.…12分當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，…14分∴，∴，即的取值范圍是.…15分20．（15分）【詳解】（1）由題意可得，，所以，……3分所以橢圓C的標準方程為.……4分（2）假設(shè)存在x軸上的定點，使得.則結(jié)合圖可得，所以.……5分由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，……6分由得，，……7分，則，……8分且.……9分因為直線ET的斜率為，直線的斜率為，由得.……10分因為，，所以，即，…………………12分所以，……13分所以，則，所以在x軸上存在一個定點，使得．……15分21．（15分）【詳解】（1）由“創(chuàng)新集”的定義得：，令，得，則；所以為二元“創(chuàng)新集”.……2分（2）若，且是二元“創(chuàng)新集”，不妨設(shè)，則由韋達定理知，是一元二次方程的兩個根，由，可得或，……4分所以或.……5分（3）若是正整數(shù)，不妨設(shè)中，由，所以，……6分當時，，所以，所以，顯然無解，所以時，不存在“創(chuàng)新集”.……8分當時，，故只能，求得，所以.……10分當時，由，則有成立，……11分但對時，恒成立，所以對恒成立，……12分所以對不成立，所以時不存在“創(chuàng)新集”.……14分綜上所述：“創(chuàng)新集”只有.……15分【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（北京專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，求出，再求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，從而可得結(jié)果.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第二象限，故選B.2．下列關(guān)于向量的描述正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓【答案】D【解析】根據(jù)向量的方向性可判斷A；根據(jù)平面向量數(shù)量積定義及夾角范圍可判斷B；共線向量有同向和反向兩種，可判斷C；根據(jù)向量模的定義可判斷D.【詳解】對于選項A：向量包括長度和方向，單位向量的長度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項A錯誤；對于選項B：因為，由知，不一定成立，故選項B錯誤；對于選項C：任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，故選項C錯誤；對于選項D：因為所有單位向量的模為，且共起點，所以所有單位向量的終點在半徑為的圓周上，故選項D正確；故選：D.3．設(shè)集合，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義可知，代入集合可求出的值，從而求解集合.【詳解】因為，所以，則，解得.則.故選：D4．已知，則（

）A．2024 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，等式的兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，再令，即可求解.【詳解】由，等式的兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，可得，令，可得.故選：B.5．若和都是定義在上的函數(shù)，則“與同是奇函數(shù)或偶函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】用定義證明f(x)與g(x)同是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，是偶函數(shù)，取反例說明是偶函數(shù)不能推出【詳解】若f(x)與同是奇函數(shù)，則，，所以，所以是偶函數(shù)，同理可證當f(x)與同是偶函數(shù)，反之，若是偶函數(shù)，f(x)與例如取，，均為非奇非偶函數(shù)，但是偶函數(shù).所以“f(x)與g故選：A6．點F是雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，A、B分別為C的右頂點、虛軸的上端點，O為坐標原點，若∠OBA＝∠BFA，則雙曲線的離心率是（）A． B．﹣1 C．﹣1 D．【答案】D【分析】里雙曲線定義及其性質(zhì)，分別在△AOB和△OBF中，表示出∠OBA和∠BFA，的正切即可解出.【詳解】由題意可知OB＝b，OA＝a，OF＝c，在△AOB中，，在△OBF中，，∵∠OBA＝∠BFA，∴且c2＝a2+b2，∴ac＝c2﹣a2，即e2﹣e﹣1＝0且e＞1，∴，故選：D．7．若當時，函數(shù)始終滿足，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)始終滿足，得到，再化簡，畫出的圖像，利用翻折變換得到的圖像，選出答案.【詳解】當時，函數(shù)始終滿足，必有，又先畫出函數(shù)的圖像，過點，單調(diào)遞減，再將y軸右側(cè)圖像翻折到左側(cè)，得到圖像．故選：A．【點睛】方法點睛：圖像變換的翻折變換有兩種：圖像保留x軸上方圖像，將x軸下方圖像翻折上去，得到的圖像；圖像保留y軸右邊圖像，并將其關(guān)于y軸對稱的圖像畫出，得到的圖像；8．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)且EF＝1，則當E，F(xiàn)移動時，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，判斷A選項是否正確，根據(jù)錐體體積計算公式，判斷BCD選項是否正確.【詳解】對于A選項，易得平面與平面平行，所以平面成立，A選項結(jié)論正確.對于B選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以四面體體積為定值，故B選項結(jié)論錯誤.對于C選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以三棱錐體積為定值，故C選項結(jié)論正確.對于D選項，由于三角形面積為定值，到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.綜上所述，錯誤的結(jié)論為B選項.故選：B9．已知等比數(shù)列滿足，，記，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】A【分析】求出等比數(shù)列的通項公式，進而求出，再由數(shù)列最大項、最小項的意義判斷作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項公式，，，由知，當時，，數(shù)列是遞增的，當時，，數(shù)列是遞減的，，，，，所以和分別是數(shù)列的最大項和最小項.故選：A.10．2015年4月22日，亞非領(lǐng)導(dǎo)人會議在印尼雅加達舉行，某五國領(lǐng)導(dǎo)人、、、，除與、與不單獨會晤外，其他領(lǐng)導(dǎo)人兩兩之間都要單獨會晤．現(xiàn)安排他們在兩天的上午、下午單獨會晤（每人每個半天最多進行一次會晤），那么安排他們單獨會晤的不同方法共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．8種【答案】A【分析】判斷總共的會晤次數(shù)與安排情況，根據(jù)排列數(shù)求解．【詳解】由題意得會晤共有共八場，則每個時段需要進行兩場，能夠滿足要求的有和兩種情況，故不同的安排方法共有故選：A第II卷（非選擇題）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域和二次根式的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為對數(shù)的真數(shù)大于零，二次根式被開方數(shù)為非負實數(shù)，所以有，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：12．以點為圓心，且經(jīng)過原點的圓的方程為.【答案】【分析】設(shè)圓的方程為，再把原點坐標代入求出可得答案.【詳解】由題設(shè)圓的標準方程為，因為原點在圓上，所以，所以圓的標準方程為.故答案為：.13．已知函數(shù)（，）的最小正周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上既存在最大值也存在最小值，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)周期求，根據(jù)對稱軸求，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解可得.【詳解】由題知，，所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，即，因為，所以，則，當時，，因為函數(shù)在上既存在最大值也存在最小值，所以或，解得或，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：14．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖象，然后根據(jù)圖象得出，再用表示出，根據(jù)所得關(guān)于的函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果．【詳解】函數(shù)大致圖象如下：則由圖可得，而，故，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以的取值范圍是，故答案為：15．某數(shù)學興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數(shù)列的課后閱讀之后，對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數(shù)列滿足：，，的通項公式為.在自然界，兔子的數(shù)量，樹木枝條的數(shù)量等都符合斐波那契數(shù)列．該學習興趣小組成員也提出了一些結(jié)論：①數(shù)列是嚴格增數(shù)列；②數(shù)列的前n項和滿足；③；④.那么以上結(jié)論正確的是（填序號）【答案】②③【分析】根據(jù)數(shù)列的特征以及遞推公式，即可判斷①；由已知可得，累加法即可得出②；，變形可得時，，然后累加，即可得出③；舉例，驗證，即可判斷④.【詳解】對于①，由題意可知，，，.由已知，則當時，單調(diào)遞增.所以，時，由已知可知，單調(diào)遞增，且.所以數(shù)列在時，為嚴格增數(shù)列.但是該數(shù)列的前三項不滿足，故①錯誤；對于②，當時，有，，，，，，兩邊同時相加可得，，所以，，故②正確；對于③，由已知可得，，，，，兩邊同時相加可得，，故③正確；對于④，當時，左邊為，右邊為，顯然不成立，故④錯誤.所以，結(jié)論正確的是②③.故答案為：②③.三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。16．（13分）已知，．(1)求的值；(2)在平面直角坐標系中，以為始邊，已知角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和正弦公式計算即可；（2）根據(jù)角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱求出，然后利用兩角和的余弦公式計算即可.【詳解】（1）因為，，所以，………2分所以，，………3分所以………5分（2）因為角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，………7分所以，，………10分所以.…………13分17．（13分）如圖，四棱錐底面為等腰梯形，AD//且，點為中點．（1）證明：DE//平面；（2）若平面，，直線與平面所成角的正切值為，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取中點為，在平面中，構(gòu)造與直線DE平行的直線，即可通過線線平行證明線面平行；（2）根據(jù)已知線面角，求得的長度以及底面的面積，結(jié)合棱錐體積的計算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）取中點為，連接，如下所示：……1分在三角形中，分別為的中點，故可得//，；………2分根據(jù)已知可得AD//，，故//，……………3分則四邊形為平行四邊形，故DE//，…………………4分又面面，故DE//面.…………………6分（2）作于點，如下圖所示：…………7分則．………8分在△中，，，則，，………………9分由平面知，直線與平面所成角為，故，即在△中，有，則，…………………11分所以，四棱錐的體積．……………13分18．（14分）根據(jù)《國家學生體質(zhì)健康指標》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下（單位：）立定跳遠單項等級高三男生高三女生優(yōu)秀260及以上194及以上良好及格不及格204及以下149及以下從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下（精確到）：男生：女生：假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立.(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率；(2)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設(shè)為這3人中立定跳遠單項等級為優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)；(2)【分析】（1）某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，計算頻率得到優(yōu)秀率的估計值；（2）由題設(shè)，的所有可能取值為，算出對應(yīng)概率的值，列出分布列，計算出的數(shù)學期望的估計值.【詳解】（1）某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，………2分所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為；估計高三女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為．………4分（2）由題設(shè)，的所有可能取值為，……………5分則；…………6分；…………8分；…………10分．…………11分則的分布列為：…………………12分0123則的數(shù)學期望.…………14分19．（15分）已知函數(shù).(1)當時，求在點的切線方程；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)得斜率，再利用點斜式求方程；（2）將不等式同構(gòu)變形為，構(gòu)造函數(shù)，判單調(diào)性得，分離參數(shù)求最值得解.【詳解】（1）當時，，則，，…2分∴，∴切線方程為，即.…4分（2）由題意得，，即，亦即,…6分設(shè)，易得恒成立.∴在上單調(diào)遞增;…8分易知：①當時，，恒成立,此時恒成立；…10分②當時，等價于，由①②知恒成立，則恒成立設(shè)，則.…12分當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，…14分∴，∴，即的取值范圍是.…15分【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式恒成立，解決問題關(guān)鍵是將不等式同構(gòu)為并構(gòu)造函數(shù).20．（15分）已知橢圓的離心率為，長軸長為4．(1)求橢圓C的標準方程；(2)O為坐標原點，過點且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點T，使得．若存在，求出定點T的坐標；若不存在，說明理由