2023-2024學(xué)年山東省濰坊市高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】由.故選：C.2.設(shè)空間向量，，若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】由題意，解得．故選：A．3.已知兩直線的斜率分別為，且是方程的兩根，則與的位置關(guān)系為（）A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直【答案】B【解析】由題意，因此兩直線垂直．平面上的兩直線垂直時(shí)當(dāng)然相交．故選：B．4.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，因?yàn)?，，，點(diǎn)在上，且，所以.故選：A5.月光石是由兩種長(zhǎng)石混合組成的具有月光效應(yīng)的長(zhǎng)石族礦物.它的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的上焦點(diǎn)F0,1，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，半圓的方程為，在半橢圓中，則，故半橢圓方程為，將代入半橢圓，解得，將代入半圓，解得，故，然，故選：D6.有6名大學(xué)生到甲、乙、丙3個(gè)學(xué)校支教，要求一個(gè)學(xué)校3人，一個(gè)學(xué)校2人，另一學(xué)校1人，則不同的分法種數(shù)為（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】B【解析】選按人數(shù)3，2，1分成3組再分配到三個(gè)學(xué)校，不同分法種數(shù)為．故選：B．7.若圓與圓相交，則實(shí)數(shù)m取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，兩圓半徑分別為，，而兩圓相交，則，解得．故選：D．8.如圖，已知二面角的度數(shù)大小為，在與的交線上取線段，且分別在平面和平面內(nèi)，它們都垂直于交線，且，，則的長(zhǎng)為（）A.6 B.10 C. D.【答案】C【解析】由圖得：，又由題意知：，所以，所以，所以的長(zhǎng)為，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，點(diǎn)，則（）A.過點(diǎn)A與l平行的直線的方程為B.點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為C.點(diǎn)A到直線l的距離為D.過點(diǎn)A與l垂直的直線的方程為【答案】ACD【解析】與直線平行的直線方程可設(shè)為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，即，即平行線方程為，A正確；關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，B錯(cuò)；到直線的距離為，C正確；與直線垂直的直線方程可設(shè)為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，，直線方程即為，D正確．故選：ACD．10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，因此，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC11.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1，2；紅球有兩個(gè)，編號(hào)為3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“取出的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，則（）A.A與D相互獨(dú)立. B.A與B相互獨(dú)立C.B與D相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】不放回依次取出兩個(gè)，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，則，，，，，，，所以，所以A與D不相互獨(dú)立；，所以A與B相互獨(dú)立；，所以B與D相互獨(dú)立；，所以A與C相互獨(dú)立；故選：BCD12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，則（）A.的周長(zhǎng)為6 B.A，，三點(diǎn)共線C.A，兩點(diǎn)間的最短距離為2 D.【答案】ABD【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，則由橢圓方程可知，如圖：因?yàn)锳在橢圓上，所以，，所以的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)B：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，Ax1,y1由圖可知，過點(diǎn)作橢圓的切線，切線斜率必存在.所以過A點(diǎn)的切線方程可設(shè)為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，因?yàn)椋海?，所以?即.所以過點(diǎn)A的切線為：.又切線過點(diǎn)，所以.同理：.故A，兩點(diǎn)都在直線上，而點(diǎn)1,0也在這條直線上，所以A，，三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)C：若直線無斜率，則,若直線有斜率，結(jié)合B項(xiàng)結(jié)論可設(shè)其方程為：y=kx-1,聯(lián)立方程組：y=kx-1x24+整理得：3+4k則，，所以，所以：.綜上：.故C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，不妨設(shè)，則，易知，且均為銳角，故，所以，故D正確.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】160【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令，可得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：160.14.針對(duì)某種突發(fā)性的流感病毒，各國(guó)的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗.已知甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)各自研制成功的概率為，，而且兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，則甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的概率為______.【答案】【解析】由于兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，故甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的對(duì)立事件為甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)一個(gè)也沒有研制成功，所以甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的概率為：.故答案為：15.已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且P是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】8【解析】由題意拋物線的準(zhǔn)線的方程是，過作于，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，所以的最小值是8.故答案為：8.16.在直三棱柱中，，，平面經(jīng)過點(diǎn)A，且直線與平面所成的角為30°，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為H，則點(diǎn)到平面的距離為______，直線與BH所成角的范圍為______.【答案】2；【解析】如圖，連接，因?yàn)?，，所以，所以在以為直徑的球面上，又直線與平面所成角為，而即為直線與平面所成的角，因此，因此在以為軸，頂角為的圓錐面上，過作于點(diǎn)，則，其中的長(zhǎng)即為到平面的距離．所以在圓錐的底面圓上，為圓心，半徑為，以為軸，為軸，過與垂直的直線的為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，取的一個(gè)方向向量為，，又，所以，所以直線與所成角的范圍是，即，故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）在正方體中，四邊形是其對(duì)角面，則，平面，平面，于是平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，又平面，所以平面.（2）以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，顯然平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在其準(zhǔn)線上，，直線MF的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求C的方程；（2）求的面積.解：（1）因?yàn)橹本€的傾斜角為，記準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為K，易知為等腰直角三角形，且，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可得，F(xiàn)1,0，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即的方程為，聯(lián)立可得，所以所以，又點(diǎn)到直線AB的距離，所以的面積.19.現(xiàn)有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)車床加工的零件次品率為6%，第2臺(tái)車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺(tái)車床加工的零件數(shù)與第2臺(tái)車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個(gè).（1）求這個(gè)零件是次品概率；（2）已知這個(gè)零件是次品，求它是第一臺(tái)車床加工的概率.解：（1）記事件：第一臺(tái)車床加工的零件，記事件：第二臺(tái)車床加工的零件，記事件：這個(gè)零件是次品，由題意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）由（1）知，已知這個(gè)零件是次品，它是第一臺(tái)車床加工的概率為.20.已知雙曲線，點(diǎn)，都在雙曲線上，且的右焦點(diǎn)為.（1）求的離心率及其漸近線方程；（2）設(shè)點(diǎn)是雙曲線C右支上的任意一點(diǎn)，記直線和的斜率分別為，證明：.解：（1）由題意，把，代入雙曲線得：，解得，，，所以雙曲線的方程為，故離心率，漸近線方程為；（2）由題意得，一定存在且，，，，，則，又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則，故，所以.21.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，,M是棱PC上的點(diǎn)，且,.（1）求證：平面PAD；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值.解：（1）因?yàn)?，，所以，，在中，，，由余弦定理得，，所以，即，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面PAD，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，，平面，所以平?（2）取的中點(diǎn)N，連結(jié)，則，所以，以為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，又，設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n=x,y,z則即，當(dāng)時(shí)，平面平面，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得平面的法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由于平面與平面所成角的余弦值為，故有，解得或.22.如圖，已知圓，圓心是點(diǎn)T，點(diǎn)G是圓T上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為，線段GH的垂直平分線交線段TG于點(diǎn)R，記動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點(diǎn)H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）過點(diǎn)作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點(diǎn),使得.且，點(diǎn)D為垂足，證明：存在定點(diǎn)F，使得為定值.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，半徑，因?yàn)榫€段的中垂線交線段于點(diǎn)，所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以，，，故曲線E的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，與y軸不相交，不合題意，舍去，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，設(shè)，，由消去y整理得，恒成立，所以，又因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)為C，所以，所以，，，，又因?yàn)?，所以，同理，所以，且，所以，整理后得，所以為定值，原題得證.（3）設(shè)，顯然的斜率存在，，，設(shè)的方程是，由消去y得，則，即，由韋達(dá)定理得，根據(jù)已知，可得，即，又，，代入上式整理得，則或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)2,1與M重合，舍去，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，又因?yàn)椋訢在以線段MK為直徑的圓上.所以F為線段MK的中點(diǎn)，即，所以為定值.山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】由.故選：C.2.設(shè)空間向量，，若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】由題意，解得．故選：A．3.已知兩直線的斜率分別為，且是方程的兩根，則與的位置關(guān)系為（）A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直【答案】B【解析】由題意，因此兩直線垂直．平面上的兩直線垂直時(shí)當(dāng)然相交．故選：B．4.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，因?yàn)?，，，點(diǎn)在上，且，所以.故選：A5.月光石是由兩種長(zhǎng)石混合組成的具有月光效應(yīng)的長(zhǎng)石族礦物.它的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的上焦點(diǎn)F0,1，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，半圓的方程為，在半橢圓中，則，故半橢圓方程為，將代入半橢圓，解得，將代入半圓，解得，故，然，故選：D6.有6名大學(xué)生到甲、乙、丙3個(gè)學(xué)校支教，要求一個(gè)學(xué)校3人，一個(gè)學(xué)校2人，另一學(xué)校1人，則不同的分法種數(shù)為（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】B【解析】選按人數(shù)3，2，1分成3組再分配到三個(gè)學(xué)校，不同分法種數(shù)為．故選：B．7.若圓與圓相交，則實(shí)數(shù)m取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，兩圓半徑分別為，，而兩圓相交，則，解得．故選：D．8.如圖，已知二面角的度數(shù)大小為，在與的交線上取線段，且分別在平面和平面內(nèi)，它們都垂直于交線，且，，則的長(zhǎng)為（）A.6 B.10 C. D.【答案】C【解析】由圖得：，又由題意知：，所以，所以，所以的長(zhǎng)為，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，點(diǎn)，則（）A.過點(diǎn)A與l平行的直線的方程為B.點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為C.點(diǎn)A到直線l的距離為D.過點(diǎn)A與l垂直的直線的方程為【答案】ACD【解析】與直線平行的直線方程可設(shè)為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，即，即平行線方程為，A正確；關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，B錯(cuò)；到直線的距離為，C正確；與直線垂直的直線方程可設(shè)為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，，直線方程即為，D正確．故選：ACD．10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，因此，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC11.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1，2；紅球有兩個(gè)，編號(hào)為3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“取出的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，則（）A.A與D相互獨(dú)立. B.A與B相互獨(dú)立C.B與D相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】不放回依次取出兩個(gè)，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，則，，，，，，，所以，所以A與D不相互獨(dú)立；，所以A與B相互獨(dú)立；，所以B與D相互獨(dú)立；，所以A與C相互獨(dú)立；故選：BCD12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，則（）A.的周長(zhǎng)為6 B.A，，三點(diǎn)共線C.A，兩點(diǎn)間的最短距離為2 D.【答案】ABD【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，則由橢圓方程可知，如圖：因?yàn)锳在橢圓上，所以，，所以的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)B：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，Ax1,y1由圖可知，過點(diǎn)作橢圓的切線，切線斜率必存在.所以過A點(diǎn)的切線方程可設(shè)為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，因?yàn)椋?，，所以?即.所以過點(diǎn)A的切線為：.又切線過點(diǎn)，所以.同理：.故A，兩點(diǎn)都在直線上，而點(diǎn)1,0也在這條直線上，所以A，，三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)C：若直線無斜率，則,若直線有斜率，結(jié)合B項(xiàng)結(jié)論可設(shè)其方程為：y=kx-1,聯(lián)立方程組：y=kx-1x24+整理得：3+4k則，，所以，所以：.綜上：.故C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，不妨設(shè)，則，易知，且均為銳角，故，所以，故D正確.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】160【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令，可得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：160.14.針對(duì)某種突發(fā)性的流感病毒，各國(guó)的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗.已知甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)各自研制成功的概率為，，而且兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，則甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的概率為______.【答案】【解析】由于兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，故甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的對(duì)立事件為甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)一個(gè)也沒有研制成功，所以甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)中，至少有一個(gè)研制成功的概率為：.故答案為：15.已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且P是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】8【解析】由題意拋物線的準(zhǔn)線的方程是，過作于，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，所以的最小值是8.故答案為：8.16.在直三棱柱中，，，平面經(jīng)過點(diǎn)A，且直線與平面所成的角為30°，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為H，則點(diǎn)到平面的距離為______，直線與BH所成角的范圍為______.【答案】2；【解析】如圖，連接，因?yàn)?，，所以，所以在以為直徑的球面上，又直線與平面所成角為，而即為直線與平面所成的角，因此，因此在以為軸，頂角為的圓錐面上，過作于點(diǎn)，則，其中的長(zhǎng)即為到平面的距離．所以在圓錐的底面圓上，為圓心，半徑為，以為軸，為軸，過與垂直的直線的為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，取的一個(gè)方向向量為，，又，所以，所以直線與所成角的范圍是，即，故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）在正方體中，四邊形是其對(duì)角面，則，平面，平面，于是平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，又平面，所以平面.（2）以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，顯然平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在其準(zhǔn)線上，，直線MF的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求C的方程；（2）求的面積.解：（1）因?yàn)橹本€的傾斜角為，記準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為K，易知為等腰直角三角形，且，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可得，F(xiàn)1,0，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即的方程為，聯(lián)立可得，所以所以，又點(diǎn)到直線AB的距離，所以的面積.19.現(xiàn)有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)車床加工的零件次品率為6%，第2臺(tái)車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺(tái)車床加工的零件數(shù)與第2臺(tái)車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個(gè).（1）求這個(gè)零件是次品概率；（2）已知這個(gè)零件是次品，求它是第一臺(tái)車床加工的概率.解：（1）記事件：第一臺(tái)車床加工的零件，記事件：第二臺(tái)車床加工的零件，記事件：這個(gè)零件是次品，由題意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）由（1）知，已知這個(gè)零件是次品，它是第一臺(tái)車床加工的概率為.20.已知雙曲線，點(diǎn)，都在雙曲線上，且的右焦點(diǎn)為.（1）求的離心率及其漸近線方程；（2）設(shè)點(diǎn)是雙曲線C右支上的任意一點(diǎn)，記直線和的斜率分別為，證明：.解：（1）由題意，把，代入雙曲線得：，解得，，，所以雙曲線的方